Алгебраические и геометрические свойства систем, получаемых методом сдвига аргумента (1102320), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Тогда найдется для точки P найдется такаяокрестность, что:1) В ней cуществует такая функциональная подалгебра G1 , чтоDG1 = B (то есть кораспределение интегрируемо).2) Для всякой бесконечной бигамильтоновой цепочки fi , определеннойв этой окрестности, функция f0 ∈ G13) Для всякой f ∈ G1 найдется бесконечная бигамильтонова цепочкаfi , для которой f0 = 0 и все функции определены на той же окрестностиP , что и f .4) Дифференциалы функций, входящих во всевозможные бигамильтоновыцепочки, начинающиеся в G1 , порождают в данной окрестности кораспределениеRДоказательство.
Заметим, что (R ∩ KerA1 )∗ = R∗ + (KerA1 )∗ — гладкоераспределение, так как оба распределения в сумме гладкие. Кроме этого,все выкладки будем производить в окрестности точки P , в которой одновременновыполняются оба условие теоремы. В дальнейшем, однако, эту окрестностьпридется уменьшить.Лемма 3.2 Пусть вектор v из распределения (R∩KerA1 )∗ . Тогда найдутся:окрестность P и гладкое векторное поле vλ , гладко зависящее от действительногопараметра λ, что при 0 < |λ| < в целой окрестности vλ касается слоевA1 + λA2 и v0 = v.Доказательство. Рассмотрим пару форм A1 и A2 (канонический видA1 и A2 ) на комплексном линейном пространстве V ∗ .
Возьмем отдельноодин из кронеккеровых блоков Kl . Обозначим координаты в соответствующемв линейном пространстве Vl через y1 , ..., y2k+1 . В двойственной системекоординат dy1 , ..., dy2k+1 на Vl∗ из разложения (2), которая будет каноническойдля данного вида, формы заданы следующими соотношениями:< A1 , dyi , dyj >= δj,i+k , < A2 , dyi , dyj >= δj,i+k+1 ,а все остальные спаривания равны нулю.
Пересечение ядра A1 + λA2 спространством Vl∗ одномерно и натянуто на ковектор:dyλ = dy2k+1 + λdy2k + ... + λk dyk+1 .29Далее x мы будем рассматривать исключительно в качестве параметра.Рассмотрим систему уравненийJ T A 1 J = A1 ,J T A 2 J = A2 ,Решением данной системы является матричная, вообще говоря комплекснозначнаяфункция J(x). В каждой точки окрестности данная система квадратичныхуравнений с непостоянными коэффициентами на компоненты матрицыJ(x), разрешима и (в, быть может, чуть меньшей окрестности) гладкозависит от этих самых коэффициентов - суть компонент матриц A1 иA2 . Так как данные компоненты гладко зависят от параметра x, тополученное поле операторов J(x) также гладко зависит от параметраиз этой окрестности, которую мы и возьмем в качестве окрестности P ,фигурирующей в условии леммы.Рассмотрим вектор ṽ = J T (x)v(x) ∈ V , где v — просто параметризованноеточками изучаемой окрестности множество векторов. По определениювекторного поля v < dy2k+1,ṽ = 0 >.
Обозначим через ṽl проекцию v наVl .Для данного блока Kl положимṽλ,2k+1 = −λv2k − ... − λk vk+1 .Легко видеть, что < dyλ , ṽλ >= 0. Рассмотрим сумму таких векторовдля каждого кронеккерова блока и обозначим полученный вектор v̂λ (x).Легко видеть, что v̂0 = J T (x)v(x). Заметим теперь, что множество векторов(J −1 )T (x)v̂λ (x) гладко зависит от параметров λ, x. Возьмем вещественнуючасть полученного векторного поля, то есть векторное поле, у которогокаждая компонента - вещественная часть соответствующей координаты.Так как матрицы A1 , A2 — вещественные, то полученное множеcтвовекторов можно рассмотреть как векторное поле в некоторой окрестноститочки P ∈ M . При этом оно касается слоев A1 + λA2 и совпадает с v приλ = 0. Лемма доказана.
Пусть v 1 , ..., v r - вектора, порождающие распределение (R ∩ KerA1 )∗ .Применим к ним доказанную лемму. Так как эти векторные поля былилинейно независимы, то vλi также линейно независимы при достаточномалых λ (снова уменьшаем изучаемую окрестность P ). Отсюда следует,что из соображений размерности данные вектора порождают касательноепространство к слоям A1 + λA2 , и, следовательно, коммутатор любых30двух выражается через остальные. Устремляя λ к нулю получаем, что[v i , v j ] выражается через векторные поля v 1 , ..., v r и, следовательно, потеореме Фробениуса распределение интегрируемо. В качестве образующихG1 берутся интегралы данного распределения, определенные на некоторойокрестности точки P , то есть изучаемая окрестность снова уменьшается.Пусть теперь задана бигамильтонова цепочка f0 , ....
Рассмотрим вточке x ковектора dfi . Они удовлетворяют условию теоремы 2.3, а значитвсе dfi лежат в R. Из первого уравнения на бигамильтонову цепочкувытекает, что f0 — функция Казимира A1 , поэтому df0 ∈ R ∩ KerA1 , тоесть функция f0 лежит в G1 , то есть доказан второй пункт теоремы.Рассмотрим теперь векторные поля vλi , как поля на окрестности точки(P, 0), многообразия M × R. На этой окрестности задана скобка Ã1 длякоторой координатные функции x1 , ..., xn коммутируют как< Ã1 , dxi , dxj >=< A1 , dxi , dxj >,а λ — функция Казимира Ã1 , то есть в локальных координатах матрицаÃ1 — это просто матрица A1 с добавленными строкой и столбцом нулей.Так, как поля vλi на этой расширенной окрестности задают интегрируемоераспределение, то координатную функцию λ можно дополнить набороминтегралов fλ1 , ..., fλn .По построению, dfλ1 , ..., dfλn независимы и для каждого λ эти функции- в точности функции Казимира скобки A1 + λA2 , то есть(A1 + λA2 )dfλi = 0.Разлагая в этом выражении fλi в ряд по λ, получаем, что коэффициентыэтого ряда в точности задают бесконечную бигамильтонову цепочку.
Приэтом, так как дифференциалы dfλi независимы, то легко видеть, чтодифференциалы коэффициентов разложения порождают R, то есть последнийпункт теоремы доказан.Теперь рассмотрим произвольную f ∈ G и представим ее как F (f01 , ..., f0n ).Определим функцию Fλ = F (fλ1 , ..., fλn ). Легко видеть, что (A1 +λA2 )dFλ =0 по построению и F0 = f . Разлагая полученную функцию по λ, получаемтретье утверждение теоремы. Теорема полностью доказана. Данная теорема говорит о локальной интегрируемости кораспределенияB. Разумеется, в общем случае это кораспределение интегрируемым бытьвовсе не обязано.
Простейший пример - когда неинтегрируемо кораспределениеKerA1 .313.3Обобщенный метод сдвига аргумента. ПсевдомногочленыПусть на вещественном линейном пространстве V (которое, по сути,является простейшим многообразием M ) размерности 2k +n задана парасогласованных скобок - A и Ac - линейная и постоянная соответственно(напомним, что линейная скобка - это скобка Пуассона на линейномпространстве, которая из двух линейных функций снова делает линейную).Коранг последней считаем равным n. Задание линейной скобки превращаетV ∗ в некоторую алгебру Ли g, а исходное пространство позволяет отождествитьс коалгеброй g∗ . Постоянную скобку Ac можно рассматривать как линейноеотображение из g → g∗ . Ядро этого отображения - подпространство в g- будем обозначать через Ann c .Лемма 3.3 Ann c — подалгебра в g.Доказательство.
Пусть f, g ∈ Ann c — то есть линейные функции КазимираAc . По определению согласованности скобок получаем{f, {g, h}c } + {h, {f, g}c } + {g, {h, f }c }++ {f, {g, h}}c + {h, {f, g}}c + {g, {h, f }}c = 0.Так как f, g ∈ Ann c , то все слагаемые, за исключение второго, обращаютсяв ноль. Таким образом, выполнено тождество {h, {f, g}}c = 0 для произвольногоh. Отсюда {f, g} — функция Казимира скобки Ac , а из линейности A это линейная функция. Лемма доказана.
В работе [10] предлагается так называемый формальный метод сдвигааргумента, который позволяет строить коммутативные наборы, используябигамильтоновы цепочки, для случае, когда Ac = Aa и элемент a —регулярный элемент коалгебры. Когда Ac не удовлетворяет этому условию,естественным классом функций, связанным с бигамильтоновыми цепочками,оказываются псевдомногочлены.Будем говорить, что f - локальный псевдомногочлен на окрестностинекоторой точки P ∈ g∗ , если ограничение функции на листы скобки Acв этой окрестности дает полиномиальные функции. Данное определениекорректно, так как слои представляют собой аффинные пространства.
Вдальнейшем для удобства выкладок полагаем, что на g∗ и g зафиксированыдвойственные друг к другу системы координат u1 , ..., un , p1 , ..., p2k , в которыхпостоянная скобка Ac коранга n приведена к каноническому виду. Приэтом в изучаемой окрестности точки P фиксирована система координат,совпадающая с глобальной, сдвинутой в нее.32Степенью псевдомногочлена будем называть максимальную степеньполиномов, получающихся ограничением на симплектические слои в даннойокрестности. Легко видеть,что функция f является псевдомногочленомстепени d, если все производные∂ d+1 f= 0, i1 + ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
