Алгебраические и геометрические свойства систем, получаемых методом сдвига аргумента (1102320), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Картановская подалгебра h представляетсобой диагональные матрицы вида:D0,0 −DTгде матрица D — диагональная и размера n×n, а все остальные элементыматрицы равны нулю. Простые корни в этом случае имеют вид αi (H) =Hii − Hi+1,i+1 при 1 ≤ i < n и αn (H) = 2Hnn . В этом случае три группыположительных корней имеют следующий вид:aij (H) = Hii − Hjj , где 1 ≤ i < j ≤ n,bij (H) = Hii + Hjj , где 1 ≤ i < j ≤ n,ci (H) = 2Hii , где 1 ≤ i < n.Соответствующие корневые вектора имеют следующий вид:Eij − Ej+n i+n , Ei j+n + Ej i+n , Ei i+n .В качестве порождающих кольца инвариантов можно взять непостоянныекоэффициенты характеристического многочлена χ(µ) = det (X − µE)22(коэффициенты при четных степенях µ) в представлении минимальнойразмерности.Серия Dn .
Простые корни, как и в предыдущих сериях, обозначаемчерез α1 , ..., αn . Положительные корни в этом случае разбиваются на двегруппы aij и bij , которые задаются формулами:aij = αi + ... + αj , где 1 ≤ i < j < nbij = αi + ... + αj − 1 + 2αi + ... + 2αn−2 + αn−1 + αn , где 1 ≤ i < j < n − 1,bi n−1 = αi + ...
+ αn−2 + αn−1 + αn , 1 ≤ i < n − 1,bin = αi + ... + αn−2 + αn , 1 ≤ i < n − 1.Данной системе корней соответствует алгебра so(2n). В представленииминимальной размерности, это матрицы 2n × 2n вида:A B,C −ATгде A — произвольная матрица размера n×n, а B, C — кососимметрические,то есть B T = −B и C T = −C.
Картановская подалгебра h состоит издиагональных матриц вида:D0,0 −DTгде матрица D — диагональная и размера n×n, а все остальные элементыматрицы равны нулю. Простые корни в этом случае имеют вид αi (H) =Hii − Hi+1,i+1 при 1 ≤ i < n и αn (H) = Hn−1 n−1 + Hnn . В этом случае двегруппы положительных корней имеют следующий вид:aij (H) = Hii − Hjj , где 1 ≤ i < j ≤ n,bij (H) = Hii + Hjj , где 1 ≤ i < j ≤ n.Соответствующие им корневые вектора задаются формулами:Eij − Ej+n i+n ,Ei j+n − Ej i+n .В качестве порождающих кольцо инвариантов можно взять непостоянныекоэффициенты характеристического многочлена χ(µ) = det (X − µE)(коэффициенты при ничетных степенях µ) за исключением det X в представлении23минимальной√ размерности. Вместо определителя необходимо взять пфаффианP f (X) = det X.Особая система G2 .
Простые корни обозначим через α1 , α2 . Положительныекорни имеют вид:α1 + α2 , 2α1 + α2 , 3α1 + α2 , 3α1 + 2α2 .Этой системе корней соответствует особая алгебра g2 . Ее представлениеминимальной размерности — это матрицы 7 × 7 следующего вида:√√√√√√02y2y2y2y2y2y126453 −√2y a + 2bx1x50−y6 −y2 √ 4x4−b − a x6y60−y1 −√2y5(5)x2x3−by2y10 , −√2y3 −√2y10−y3−y5 −a − 2b −x4 −x2 − 2y2y0−y−xb+a−x3413√− 2y6y5y40−x5−x6bгде a, b, x1 , ..., x6 , y1 , ..., y6 — соответственно координаты на алгебре g2 .Картановская подалгебра h состоит из диагональных матриц следующеговида0 00 0 D0 ,0 0 −DTгде D - диагональная 3 × 3 матрица со следом ноль, а все остальныеэлементы равны нулю. Для H ∈ h простые корни имеют вид α1 (H) =−H22 и α2 (H) = H22 − H33 . Учитывая равенство H22 + H33 + H44 =0, получаем, что α1 (H) = H33 + H44 . Остальные положительные корниимеют следующий вид:α1 + α2 (H) = −H33 = H22 + H44 ,2α1 + α2 (H) = −H22 − H33 ,3α1 + α2 (H) = −2H22 − H33 = −H22 + H44 ,3α1 + 2α2 (H) = −H22 − 2H33 = −H33 + H44 .Соответствующие простым корням α1 и α2 корневые вектора задаютсяформулами:√2 E12 − E51 − E37 − E46 ,E23 − E65 .24Соответствующие остальным положительным корням корневые векторав этом случае имеют вид:√2 E13 − E61 − E27 − E45 ,√− 2 E41 − E17 + E62 − E53 ,E42 − E57 ,E43 − E67 .Замечание 2.1 В представлении (5) координаты выбраны таким образом,что корневые вектора корней α2 , 3α1 + α2 и 3α1 + 2α2 это в точностивектора, соответствующие координатам x1 , x2 , x3 , а корневые векторакорней α1 , α1 + α2 и 2α1 + α2 - вектора, соответствующие y1 , y2 , y3 .В качестве порождающих кольцо инвариантов можно взять коэффициентыхарактеристического многочлена χ(µ) = det (X − µE) в представленииминимальной размерности при µ и µ5 .33.1Бигамильтоновы цепочки и обобщенный методсдвига аргументаБигамильтоновы векторные поляДля дальнейшей работы нам потребуются некоторые технические результатыиз пуассоновой геометрии.
Всюду в разделе считаем, что у нас заданодействительное многообразие M , на котором рассматривается пространствогладких функций C ∞ (M ). Все утверждения формулируются в некоторойокрестности фиксированной точки P ∈ M .Напомним, что векторное поле v называется гамильтоновым, еслионо может быть представлено в видеv = Adf,для некоторой функции f . В случае, когда A - невырожденный тензор,поле гамильтоново [6] тогда и только тогда, когда Lv A = 0, где Lv— производная Ли вдоль векторного поля.
В случае, когда ранг A визучаемой окрестности постоянен (именно этот случай нас в дальнейшеми будет интересовать), ответ дает следующая хорошо известная лемма(см., например, [14], где она сформулирована в терминах когомологийЛихнеровича-Пуассона).25Лемма 3.1 Векторное поле v является локально гамильтоновым в окрестноститочки x тогда и только тогда, когда выполнены два условия:1) Поле касается симплектических слоев скобки2) Производная Ли Lv A = 0Фактически данная лемма утверждает, что векторное поле гамильтоновов окрестности, где ранг скобки постоянный, тогда и только тогда, когдавекторное поле гамильтоново на каждом симплектическом слое в даннойокрестности.Пусть теперь на изучаемой окрестности задана пара согласованныхскобок A1 и A2 .
Мы будем называть векторное поле v бигамильтоновым,если оно гамильтоново относительно A1 и A2 одновременно.Теорема 3.1 Пусть в изучаемой окрестности ранг скобки A1 постоянени определены функции f и g такие, что A2 df = A1 dg. Тогда существованиефункции h, удовлетворяющей условию A2 dg = A1 dh, равносильно тому,что векторное поле v = A2 dg касается симплектических слоев A1 .Доказательство. По лемме 3.1 векторное поле v гамильтоново, если итолько если Lv A1 = 0 и v касается слоев A1 . Покажем, что равенствонулю производной Ли вытекает из наличия тождества A2 df = A1 dg.По определению, согласованность скобок означает, что любая их линейнаякомбинация является снова скобкой Пуассона. Тождество Якоби длясуммы скобок эквивалентно следующему тождеству [22]{f, {g, h}2 }1 + {h, {f, g}2 }1 + {g, {h, f }2 }1 + {f, {g, h}1 }2 ++ {h, {f, g}1 }2 + {g, {h, f }1 }2 = 0,(6)которое выполняется для любых f, g и h.
Для произвольных функций pи q в окрестности x выполняется следующее тождество< Lv A1 , dp, dq >= Lv {p, q}1 − {Lv p, q}1 − {p, Lv q}1По определению векторного поля v правая часть равна{g, {p, q}1 }2 − {{g, p}2 q}1 − {p, {g, q}2 }1 .По тождеству 6 данное выражение равно{g, {p, q}1 }2 + {q, {g, p}2 }1 + {p, {q, g}2 }1 =− {g, {p, q}2 }1 − {q, {g, p}1 }2 − {p, {q, g}1 }226Учитывая, что A2 df = A1 dg, получаем, что это равно−{f, {p, q}2 }2 − {q, {f, p}2 }2 − {p, {q, f }2 }2 = 0.Равенство нулю этого выражения — в точности тождество Якоби дляпервой скобки.
Таким образом, теорема доказана. 3.2Бигамильтоновы цепочки. Их свойства и теоремасуществованияКак и в предыдущем разделе M — действительное многообразие с паройсогласованных пуассоновых структур A1 и A2 .Пусть задана бесконечная последовательность гладких функций {fi }i∈Z+(возможно определенных локально, то есть в окрестности точки P ∈ M ).Она называется бесконечной бигамильтоновой цепочкой, если выполненаследующая система соотношений:0 = A1 df0 ,A2 dfi = A1 dfi+1 , i ≥ 0.(7)Пусть задана конечная последовательность гладких функций f0 , ..., fk ,удовлетворяющая соотношениям0 = A1 df0 ,A2 dfi = A1 dfi+1 , 0 ≤ i ≤ k − 1.Если для fk векторное поле A1 dfk не касается симплектических слоевA2 , то подобную цепочку мы будем называть конечной бигамильтоновойцепочкой.
Из теоремы 3.1 вытекает, что конечная цепочка не может бытьначалом бесконечной.Интерес к бигамильтоновым цепочкам обусловлен тем, что они даюткоммутирующие функции. Следующая теорема дает достаточные условиякоммутативности.Теорема 3.2 Пусть пара функций fi и gj удовлетворяет одному изтрех условий:1) Они входят в некоторые бесконечные бигамильтоновы цепочки(возможно, совпадающие)2) fi входит в бесконечную бигамильтонову цепочку, а gj — в конечную.273) Они входят в одну конечную цепочку, то есть, фактически gj =fjТогда{fi , gj }1 = {fi , gj }2 = 0.Доказательство.
Сначала разберем первые два случая. Из условийвытекает, что fi — принадлежит бесконечной цепочке.{fi , gj }1 =< A1 , dfi , dgj >=< A2 , dfi , dgj−1 >==< A1 , dfi+1 , dgj−1 >= {fi+1 , gj−1 }1 .Применяем этот переход j раз. Тогда{fi , gj }1 = {fi+j , g0 }1 = 0.Аналогичным образом, проводя рассуждения для второй скобки, получаем{fi , gj }2 = {fi+j+1 , g0 }1 = 0/Пусть теперь на fi , gj наложено третье условие, то есть gj = fj . Безограничения общности считаем, что j > i. Тогда возможно два случая.Первый, когда j − i = 2l.
Тогда рассуждая аналогично предыдущемуслучаю получим{fi , fi+2l }1 = {fi+l , fi+l }1 = 0,и то же самое для A2 . Второй случай - когда j −i = 2l+1, тогда получаем{fi , fi+2l+1 }1 = {fi+l , fi+l+1 }1 {fi+l , fi+l }2 = 0,и аналогично для второй скобки. Таким образом, теорема доказана. Легко видеть, что это свойство функций никак не зависит от областиопределения.Пара согласованных скобок A1 и A2 порождает естественное кораспределение,которое мы будем обозначать через R: каждой точке x многообразия Mставится в соответствие WR , то есть объединение ядер регулярных скобокпучка билинейных форм на кокасательном пространстве, задаваемогоA1 = A1 |x и A2 = A2 |x . Кроме этого в каждой точке определено кораспределениеKerA1 ⊆ T ∗ M , которое каждой точке x ставит в соответствие ядрокососимметрической билинейной формы A1 = A1 |x .
При помощи этихдвух кораспределений мы можем определить базовое кораспределение,которое будем обозначать через B, по формуле B = R ∩ KerA1 .28Теорема 3.3 Пусть P ∈ M — регулярная точка для A1 и в окрестностиэтой точки определены функции Казимира, дифференциалы которыхнезависимы и порождают кораспределение KerA1 . Кроме этого считаем,что в окрестности P структура A1 и A2 в смысле теоремы ЖорданаКронеккера 2.1 одинакова.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
