Алгебраические и геометрические свойства систем, получаемых методом сдвига аргумента (1102320), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Кроме этого считаем,что в окрестности P структура A1 и A2 в смысле теоремы ЖорданаКронеккера 2.1 одинакова. Тогда найдется для точки P найдется такаяокрестность, что:1) В ней cуществует такая функциональная подалгебра G1 , чтоDG1 = B (то есть кораспределение интегрируемо).2) Для всякой бесконечной бигамильтоновой цепочки fi , определеннойв этой окрестности, функция f0 ∈ G13) Для всякой f ∈ G1 найдется бесконечная бигамильтонова цепочкаfi , для которой f0 = 0 и все функции определены на той же окрестностиP , что и f .4) Дифференциалы функций, входящих во всевозможные бигамильтоновыцепочки, начинающиеся в G1 , порождают в данной окрестности кораспределениеRРассмотрим теперь вещественное линейное пространство.
По аналогиис формальным методом сдвига аргумента будем называть обобщеннойподалгеброй Мищенко-Фоменко подалгебру, порожденную всеми полиномами,входящими в полиномиальные бигамильтоновы цепочки на коалгебре Лиg∗ , которые задаются парой скобок A и Ac . Обозначать эту алгебру будемFc . Метод получения такой коммутативной подалгебры будем называтьобобщеным методом сдвига аргумента.К несчастью, в случае сингулярной скобки Ac естественный классфункций для бигамильтоновых цепочек - это не полиномы, которых6может вообще не существовать (в регулярном случае G1 порождаласьAnn a, поэтому все было хорошо).
В рамках данной работы удалось описатьестественный класс функций, связанных с с бигамильтоновыми цепочками.Будемговорить, что f - локальный псевдомногочлен на окрестности некоторойточки P ∈ g∗ , если ограничение функции на листы скобки Ac в этойокрестности дает полиномиальные функции.Теорема 1.2 Пусть f — псевдомногочлен степени d и известно, чтосистемаAdf = Ac dgразрешима. В этом случае1) Всякое решение g данной системы является псевдомногочленомстепени не выше d + 22) Если свободный член g равен нулю в целой окрестности, то такойпсевдомногочлен единственный.3) При l > 0 всякая функция fl , входящая в бигамильтонову цепочку(конечную и бесконечную), является является псевдомногочленом степенине выше 2i.Псевдомногочлены оказываются полезны для решения другой геометрическойзадачи.
Пучок скобок называем плоским, если локально пара скобок Aи Ac приводятся к постоянному виду.Теорема 1.3 Если кронеккеров пучок пуассоновых структур на линейномвещественном пространстве V , задаваемый парой согласованных скобокПуассона A (линейной) и Ac (постоянной) плоский, то в окрестноститочки общего положения локальные функции Казимира A можно выбратьв виде псевдомногочленов степеней не выше 2i1 , ...2ik , где 2i1 +1, ..., 2ik +1— размеры кронеккеровых блоков.Данное необходимое условие оказывается полезным на практике - егоприменение к случаю алгебры A5,36 в обозначениях, принятых в [28],позволяет доказать неплоскость этого пучка.Второй раздел работы посвящен квадратичным функциям из Fa .
Онипредставляют интерес, поскольку по идущей из классической механикитрадиции именно квадратичные гамильтонианы представляют наибольшийинтерес (поскольку могут рассматриваться в качестве потенциалов). Этиквадратичные функции оказываются тесно связаны с так называемымисекционными "операторами".7Данный был предложен В.B.Трофимовым и А.Т.Фоменко в работе[23]. Впервые, однако, такие операторы появились в работе С.В.Манакова[16], где было показано, что отображение φ : so(n) → so(n), заданноеb −bформулой (φX)ij = aii −ajj Xij , т.е. удовлетворяющее тождествуX = (Xij ) ∈ so(n)[φX, A] = [X, B],где A и B — диагональные матрицы, обладает замечательным свойством:уравнения Эйлера Ẋ = [φX, X], обобщающие классические уравнениядинамики твердого тела на n-мерный случай, допускают представлениеЛакса со спектральным параметром и потому интегрируются в θ-функциях.В работах [18], [19], которые уже упоминались ранее, метод сдвигарассматривался именно как метод интегрирования систем с квадратичнымигамильтонианами H(x) = 12 hφx, xi, которые задавались несколькими сериямисамосопряженными операторов φ : g → g, основным алгебраическимсвойством которых было по-прежнему тождество вида:[φx, a] = [x, b],a, b ∈ h,где h — подалгебра Картана в g, и a ∈ h — регулярный элемент.В последующих работах А.Т.Фоменко и В.В.Трофимов (см.
[23, 22,24]) построили аналоги операторов φa,b,D на произвольном симметрическомпространстве, которые оказались тесно связаны с тензором кривизныэтих пространств. М.В Мещеряковым [17] было показано, что описанноевыше тождество является характеристическим свойством операторов φ :g → g, для которых соответствующие уравнения Эйлера ẋ = [φx, x]являются гамильтоновыми относительно всех скобок вида λAa + µA.Наконец, совсем недавно выяснилось, что тождество классическоетождество для секционных операторов на so(n) неожиданным образомвозникает совсем в других областях геометрии.
В работе [9] было показано,что этому тождеству удовлетворяют тензоры кривизны на римановыхмногообразиях, допускающих нетривиальные проективно эквивалентныеметрики, причем именно оно приводит к некоторым замечательным геометрическимсвойствам таких многообразий Термин “секционный”, разумеется, не былникак связан с тензором кривизны, однако, интересно отметить, что вописанной ситуации секционный оператор φ, ассоциированный с тензоромкривизны, описывает в точности секционную кривизну многообразия..Итак в общем случае удалось доказать теорему существования секционногооператора, а также предъявить его явную формулу, аналогичную классической,8приведенной в работе [18]. Считаем, что Ac = Aa , то есть постояннаяскобка задается элементом коалгебры. Образ Aa :→ g∗ обозначим черезTa , а через N будем обозначать трансверсальное к образу пространство.Кроме этого определим две подалгебры:1) содержащую аннулятор подалгебру видаba = {ξ ∈ g | had∗ξ a, ηi = 0 для всех η ∈ g0 = [g, g]}.2) gAnn a = {ξ ∈ g | [ξ, Ann a] = 0} — централизатор аннулятора Ann a,и каждому элементу a ∈ g∗ поставим в соответствие подалгебру ga =ba ∩ gAnn a .Теорема 1.4 Необходимым и достаточным условием существованиясекционного оператора φ с заданными параметрами a ∈ g∗ , β ∈ g,является включение β ∈ ga .Теорема 1.5 Пусть x = x1 + x2 ∈ g∗ — разложение произвольногоэлемента x, такое что x1 ∈ Ta , x2 ∈ N .
Тогда∗−1φ(x) = −adβ A−1a x1 + Aa adβ x2 + Dxгде D — произвольный самосопряженный оператор, образ которого содержитсяв Ann (a). При этом данная формула переписывается в виде:(a) φ = Bπ + C(id − π) + D,(b) φ = C + (id − π ∗ )Bπ + D,(c) φ = Bπ + (Bπ)∗ − π ∗ Bπ + D,(d) φ = C + C ∗ − π ∗ C + D.Используя эти теоремы изучается вопрос об интегрировании секционныхоператоров при помощи двух методов - метода сдвига аргумента и построениябигамильтоновой цепочки при помощи оператора рекурсии.Теорема 1.6 Пусть для параметров секционного оператора φ выполненосоотношение ad∗β a = 0. Тогда функции из Fa коммутируют с f на своейобласти определения.Теорема 1.7 Пусть g — фробениусова алгебра Ли, и φ — секционныйоператор с параметрами a и β ∈ ga , причем a ∈ g∗ — элемент общегоположения.
Тогда система уравнений Эйлераẋ = ad∗φx x9является гамильтоновой относительно двух скобок { , } и { , }a иимеет коммутирующие интегралы вида gk (x) = tr Rm (x) и fk (x), гдеfk (x) — однородный полином степени k+1, который однозначно определяетсяравенством dfk (x) = R∗ k β. Сам оператор φ определяется равенствомφx = R∗ β.Отдельно решен вопрос о выяснении, является ли конкретный операторсекционным (такая задача естественным образом возникает в случаетеории проективно эквивалентных метрик). В частности, построен алгоритмдля проверки этого свойства.
Кроме этого получено обобщение теоремыМещерякова на общий случай.В теории проективно эквивалентных метрик оказывается важен вопросоднозначности определения параметров секционного оператора. В рамкахработы для простой комплексной алгебры Ли g (а, следовательно, и длявсех ее вещественных форм) доказывается следующая теорема.Теорема 1.8 Пусть φ — секционный оператор с параметрами a, b, причемa — регулярный полупростой элемент картановской подалгебры h и b 6=λa.
Тогда всякая другая пара параметров p, q для оператора φ получаетсяиз данной одновременным умножением элементов a, b на некоторыйненулевой скаляр, то есть p = µa, q = µb для некоторого µ 6= 0.Как следствие из этой теоремы получается результат, касающийсяоднозначности определения алгебр FacТеорема 1.9 Пусть Fac = Fpc для некоторого регулярного полупростогоa.
Тогда p = µa для некоторой константы µ.Доказательство основного факта при этом опирается на замечательноесвойство корней простой комплексной алгебры Ли, заслуживающее отдельногоупоминания. Рассмотрим набор чисел Λ = {λα }α∈∆ , в котором элементызанумерованы корнями из ∆.
Для этого набора на картановской подалгебреh можно записать систему линейных уравнений:α(b) − λα α(a) = 0(1)решением которой будет пара элементов a, b ∈ h. Легко видеть, чтосистема избыточна - количество уравнений превосходит количество неизвестных(которых, в данном случае, 2n штук).10Теорема 1.10 Пусть не все числа из набора Λ равны между собой исистема 20 совместна, причем в решении {a, b} элемент a — регулярен.Тогда всякое другое решение p, q данной системы получается из a, bумножением на скаляр, то есть p = µa, q = µb, где µ ∈ C.Третий и последний раздел посвящен геометрии систем, получаемыхметодом сдвига аргумента в случае простых алгебр Ли, причем дляизучения данной геометрии сдвигов оказывается естественным (и необходимым)перейти к полю C.Одним из объектов изучения является бифуркационная диаграмма Σ, которая представляет собой сингулярные значения отображения момента.В терминах последнего исследовано большое количество как классическихинтегрируемых случаев - Эйлера, Лагранжа, Ковалевской, геодезическийпоток на n−мерном эллипсоиде, - так и современных (подробнее смотрикнигу [6]).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
