Алгебраические и геометрические свойства систем, получаемых методом сдвига аргумента (1102320), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Кроме этого бифуркационная диаграмма оказывается полезнапри вычислении так называемых меченных молекул и атомов - инвариантовинтегрируемых по Лиувиллю систем.Известно, [1] что в случае некоторых действительных систем малойразмерности, биффуркационная диаграмма совпадает со спектральнойкривой лаксова представления системы, то есть точки диаграммы - этов точности такие значения интегралов, при которых соответствующаякривая R(λ, µ) = 0 имеет особенность. Кроме этого Ю.А. Браилову [2]удалось доказать следующий замечательный факт: для представленияминимальной размерности sl(n+1) бифуркационная диаграмма совпадаетсо спектральной кривой соответствующего лаксова представления системы.В работе Ю.А.Браилова и А.Т.Фоменко [4] была высказана гипотеза отом, что данный результат остается верным для представлений минимальнойразмерности других простых алгебр Ли.
При этом параметр a, на которыйсовершается сдвиг, во всех случаях считался регулярным полупростым.Бифуркационная диаграмма, как образ некоторого алгебраическогомножества при полиномиальном отображении из одного линейного пространствов другое, не обязана быть замкнутой, поэтому вместо нее естественнорассматривать Σ̄.Теорема 1.11 g обозначает одну из четырех изучаемых алгебр: sl(n +1), so(2n + 1), sp(2n) и g2 .
Пусть ρ — представление g минимальнойразмерности, элемент a ∈ g — регулярный (необязательно полупростой),в кольце инвариантов g фиксированы порождающие I1 , ..., In - некоторые11непостоянные коэффициенты характеристического многочлена представленияминимальной размерности, функция порядка k(i, j) произвольна. ПустьDz — дискриминант спектральной кривой Rz (λ, µ) = 0, определенной поэтим параметрам.
Тогда для замыкания бифуркационной диаграммы Σ̄отображения момента Fa , также построенного по эти параметрам,выполнено:Dz = Σ̄Теорема 1.12 Пусть теперь g = so(2n) и a — регулярный элементтакой, что инвариант I1 (a) 6= 0 на нем не обращается в ноль. Тогдадискриминант Dz спектрально кривой Rz (λ, µ) = 0 совпадает со всемпространством CN .В рамках доказательства этой теоремы использовалась методика, изначальноприменявшаяся В.В.Тарасовым для доказательства максимальности Fac .В частости, как следствие, удалось доказать следующие интересные алгебраическиефакты.Теорема 1.13 Пусть a — субрегулярный полупростой элемент простойкомплексной алгебры g.1) Fac свободно порождена и алгебраически замкнута как подкольцов кольце от элементов g.2) Подалгебра Fa , построенная обобщенным методом сдвига аргумента,совпадает с FacТеорема 1.14 Пусть g — простая комплексная алгебра Ли, a ∈ h —полупростой элемент, а I1 , ..., In —- порождающие кольца инвариантовприсоединенного представления данной алгебры.
Тогда dI1 (a), ..., dIn (a)порождают центр централизатора ga .Как оказалось, последний факт не верен, если отказаться от условияполупростоты - удалось показать, что подобное свойство не выполненодля субрегулярного нильпотентного элемента. В связи с данным результатом,естественно возникает вопрос - когда дифференциалы порождают всеядро.1222.1Предварительные сведения и обозначенияПринятые обозначения и определенияБигамильтонова геометрия и кораспределения.
Всюду в работетермин точка общего положения обозначает точку, принадлежащую некоторомуоткрытому всюду плотному множеству. Все топологические терминыприменяются исключительно в смысле обычной топологии R и C.Через A будем обозначать тензор Пуассона скобки Пуассона { , }.Допуская вольность языка зачастую скобку будем отождествлять с еетензором Пуассона и говорить "на многообразии задана скобка A". Когдана многообразии имеется пара согласованных скобок A1 и A2 (то естьтаких скобок, что любая их линейная комбинация - снова скобка Пуассона)множество всевозможных линейных комбинаций λA1 +µA2 , для которыхλ, µ одновременно не ноль, будем называть пучком скобок.Главным объектом исследования, как уже говорилось выше, будетвыступать линейное пространство, на котором задана пара согласованныхскобок - линейная и постоянная.
Эти скобки мы будем обозначать черезA и Ac , соответственно. Линейная скобка A по определению обладает темсвойством, что скобка двух линейных функций снова линейная функция,поэтому ее наличие позволяет отождествить векторное пространство скоалгеброй g∗ некоторой алгебры Ли g. Тензор A через структурныеконстанты ckij соответствующей алгебры записывается как ckij xk . ОбозначениеAa соответствует постоянной скобке, которая получается из стандартнойлинейной замораживанием аргумента: ее тензор имеет вид ckij ak для некоторогоa ∈ g∗ .Треугольные скобки будут обозначать: < ξ, x >, где ξ — вектор, а x— ковектор обозначает скаляр xi ξ i , а < A, df, dg >= Aij dfi dgj .
В работебудут фигурировать кораспределения R - отображения, которые каждойточке x многообразия M ставят в соответствие подпространство в T ∗xM . Соответственно двойственным к кораспределению будем называтьтакое распределение, что в каждой точке многообразия x ставится всоответствие подпространство R⊥ ⊂ T −xM , состоящее из всех векторов,зануляющих Rx .В работе будет встречаться термин функциональная алгебра, порожденнаянекоторым множеством функций. Этим термином мы условимся обозначатьвсе функции, получающиеся из данного набора суперпозицией с некоторойгладкой функцией от нескольких переменных. Все функциональные подалгебры13будем обозначать прописными буквами, например F, G и т.д. С каждойтакой подалгеброй связано естественное кораспределение, которые мыбудем обозначать как DF, сопоставляющее каждой точке многообразияпространство, порожденное дифференциалами функций этой подалгебры.Кораспределение будем называть интегрируемым, если (вообще говоря,в окрестности точки) оно представимо в виде DF для некоторой функциональнойподалгебры F.Алгебры Ли.
Алгебры Ли, фигурирующие в работе, условимся обозначатьготическими буквами: например, g, h и так далее. Под коалгеброй мыусловимся понимать пространство, двойственное к алгебре Ли, и будемобозначать ее через g∗ . Элементы коалгебры будем обозначать латинскими,а алгебры - греческими буквами. Если, как в случае простой алгебры, g иg∗ отождествляется при помощи формы Киллинга, то элементы алгебрыбудут также обозначаться латинскими буквами. Индекс алгебры, то естьядра A вточке общего положения, считаем равным n.
Через N обозначимчисло 21 dim g + indgНапомним, что регулярным элементом алгебры называется элемент,централизатор которого относительно присоединенного действия имеетминимальную возможную размерность. Централизатор элемента ξ в алгебреg, то есть множество таких η ∈ g, что [η, ξ] = 0, будем обозначать черезgξ . Регулярным элементом коалгебры будем называть элемент, в которомтензор A имеет максимальный возможный ранг. Таких элементов в коалгебре,очевидно, открытое всюду плотное множество. Ядро A в точке a, тоесть такие ξ ∈ g, что < a, [ξ, ζ] >= 0 для любого ζ, или эквивалентнымобразом ad∗ξ a = 0, будем обозначать через Ann a.Элемент (не важно алгебры или коалгебры), не являющийся регулярным,будем называть сингулярным.В случае, когда речь будет идти о простых алгебрах через ∆ будемобозначать систему корней, а строчными греческими буквами (если неоговорено противное - при описании некоторых конкретных систем корниудобно будет обозначать латинскими буквами с индексами) - сами корни,то есть α, β, ....
Подмножество корней M будем называть линейным, еслидля него выполнены свойства:1) Если корень α лежит в M , то и −α лежит в M ,2) Если α, β ∈ M и α + β корень, то α + β лежит в M . Если M неявляется линейным подмножеством, то L(M ) — минимальное линейноеподмножество ∆, содержащее M .14Считаем, что в простой алгебре g зафиксирован базис Вейля. Картановскуюподалгебру будем обозначать через h, а соответствующие корням корневыевектора через eα , eβ , .... Субрегулярным элементом простой алгебры называетсяэлемент, размерность аннулятора которого равна indg+2, то есть минимальновозможная из сингулярных элементов.Кроме этого, в дальнейшем нам будут встречаться некоторые фиксированныепредставления простых комплексных алгебр Ли.
Условимся обозначатьзаглавной латинской буквой матрицу, соответствующую элементу, обозначаемомустрочной: то есть элементу x соответствует матрица X, элементу a матрица A и так далее. Через Xij будем обозначать элемент матрицы X,стоящий на пересечении i−й строки и j−го столбца.2.2Теорема Жордана-Кронеккера и некоторые ее следствияВсе приведенные здесь факты касаются линейной алгебры. Данная теоремаизвестна как теорема Жордана-Кронеккера (подробнее об этом утверждениисм., например, [10]).Теорема 2.1 Пара кососимметричных билинейных форм A1 и A2 налинейном над C пространстве V подходящей заменой координат одновременноприводится к блочно-диагональному виду, где соответствующие парыблоков имеют один из следующих трех возможных видов:0Ek0Jk (µ)k,µk,µ1) H1 =, H2 =,−Ek 0−JkT (µ)0где Jk (µ) — жордановы блоки размера k × k с собственным значениемµ, а Ek — единичная матрица соответствующего размера;2)H1k,∞=0Jk (0)−JkT (0)0,H2k,∞=0Ek−Ek 0,где Jk (0) — жордановы блоки размера k × k с собственным значением 0;0D10D2kk3) K1 =, K2 =,−D1t 0−D2T 0где D1 — матрица размера k × k + 1, у которой на месте i, j стоит δij ,а D2 — матрица размера k × k + 1, у которой на месте i, j стоит δi j−1 .Такой вид и соответствующий базис будем называть каноническими.15Рассмотрим всевозможные линейные комбинации форм λA1 + ηA2 , гдеλ, η ∈ C и одновременно не обращаются в ноль (по аналогии с терминологиейпредыдущего раздела эти комбинации будем называть пучком билинейныхформ).
Регулярными будем называть формы из пучка, имеющие минимальныйвозможный коранг. Формы, не являющиеся регулярными, будем называтьсингулярными.Будем говорить, что вектора p и q косоортогональны относительнобилинейной кососимметрической формы A, если < A, p, q >= 0. Определимпространство W ⊂ V - как пространство, натянутое на ядра регулярныхформ пучка. Канонический базис в смысле теоремы Жордана-Кронеккера2.1 индуцирует разложение V в прямую суммуV1 ⊕ ... ⊕ Vl ⊕ U1 ⊕ ...Um ,(2)где ограничение форм A1 , A2 на Vi дает кронеккеров блок Ki , а на Ui —жорданов Hik,µ . По построению для регулярных скобок пучка ограничениена Ui невырожденно, поэтому W имеет ненулевое пересечение только сVi .Ключевым для дальнейших построений будет следующее свойствопространства W .Теорема 2.2 Пусть на комплексном векторном пространстве V заданабесконечная последовательность векторов vi , i ≥ 0 (не обязательно ненулевых),для которых выполнена следующая система соотношенийA1 v0 = 0,A2 vi = A1 vi+1 , i ≥ 0,(3)где A1 , A2 — кососимметричные билинейные формы.
Тогда все вектораvi лежат в W .Доказательство. Считаем, что A1 и A2 приведены к каноническомувиду. По построению система (3) разбивается в прямую сумм систем напространствах Vj , Uj из разложения (2). Пусть проекция vij вектора viна пространство Uj из разложения не равна нулю для некоторых i, j.Предположим сначала, что для соответствующего блока Hik,µ параметрµ 6= 0, ∞. Тогда определен оператор R : Uj → Uj действующий поправилу (H2k,µ )−1 H1k,µ при этом Rvij = vi−1j , где vi−1j — проекция vi−116на Uj . Так как оператор R — невырожден, то v0j 6= 0 и H1k,µ v0j 6= 0, чтопротиворечит условию A1 v0 H1 = 0.Пусть теперь µ = ∞. Обозначим базис в Uj , соответствующий каноническомувиду , через p1 , ..., pk , q1 , ..., qk . Заметим, чтоH1k,∞ pk = 0,H2k,∞ pi = −H1k,∞ pi−1 , 1 < i ≤ kпри этом для ковектора H2k,∞ p1 подходящего вектора p0 такого, чтобы−H1k,∞ p0 = H2k,∞ p1 не существует, так как H2k, p1 не лежит в образе H1k,0 .Аналогичная система выполнена для qi :H1k,∞ q1 = 0,H2k,∞ qi = −H1k,∞ qi+1 , 1 ≥ i < k,причем H2k,∞ qk = H1k,∞ qk+1 снова не имеет решений.Кроме этого, легко видеть, что в силу невырожденности H2k,∞ выполняетсяусловие - если vij 6= 0, то vi+1 j , определяемый из системы (3), - не ноль.При этом vi+1,j — проекция vi+1 на Uj .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
