Топология особенностей интегрируемых гамильтоновых систем (1097913), страница 41
Текст из файла (страница 41)
раздел 5.2.4).Отметим также, что указанную процедуру регуляризации системы можно былоописать и без перехода к двулистному накрытию T2 → S2 . Однако, как оказалось,рассмотрение такой “накрывающей” системы сильно упрощает вычисление инвариантов Фоменко–Цишанга (описанное ниже в разделах 5.2.5–5.2.8).5.2.4. Бифуркационные диаграммыОтображение момента для интегрируемой гамильтоновой системы с двумястепенями свободы определяется как отображение F : M → R2 , сопоставляющееточке x ∈ M фазового пространства системы пару чисел (h, k), где h — значениегамильтониана H, а k — значение дополнительного интеграла K в точке x.Точка (h, k) называется регулярным значением отображения момента F, если еепрообраз не содержит критических точек отображения F.212Назовем точку (h, k) ∈ R2 правильной, если для некоторой окрестности U этойточки в плоскости значений отображения момента F, ее прообраз F−1 (U ) гомеоморфен прямому произведению U × F −1 (h, k), а отображение F на этом прообразе естьпроекция на первый сомножитель.Отметим, что в общем случае точка (h, k) может быть правильной, но не являться регулярным значением, а также может являться регулярным значением, ноне быть правильной (однако в случае, когда фазовое пространство M компактно,из регулярности следует правильность).Бифуркационной диаграммой отображения момента называется множество точек в образе, для которых нарушается либо условие регулярности, либо условиеправильности.
(Иногда это множество называют также расширенной бифуркационной диаграммой, а бифуркационной диаграммой — образ множества критическихточек; для компактного фазового пространства эти понятия совпадают.)Для рассматриваемой задачи фазовое пространство не является компактным.Более того, некомпактны даже изоэнергетические поверхности из-за того, что гамильтониан имеет особенности (как функция на T ∗ S2 ). Однако мы будем исследовать топологию “регуляризованной” системы, для которой изоэнергетические поверхности уже компактны.
А именно: вместо поверхности {H = h} мы будем рассматривать поверхность {Fh = 0} и исследовать ее слоение на поверхности уровнядополнительного интеграла. После этого, учитывая действие инволюции, мы получим описание аналогичного слоения для регуляризованной изоэнергетической поверхности исходной системы.При этом в качестве дополнительного интеграла на поверхности {Fh = 0} можно взять вместо функции L (см. раздел 5.2.2), которая имеет особенности, другуюфункцию, не имеющую особенностей. Например, в качестве такой функции можновзять функциюKh = 2L +sin2 2δ cn2 u − cos2 2δ cn2 vFh .sin2 2δ cn2 u + cos2 2δ cn2 vВычисляя, получаем()p2u − p2v+ h cos2 2δ cn2 v − sin2 2δ cn2 u −2γ1 − γ2γ1 + γ2−sin 2δ sn u dn u +cos 2δ sn v dn v .RRKh =(37)213Следующее утверждение проверяется прямым вычислением.Лемма 33.
Пусть Fh и Kh — функции на T ∗ T2 , заданные соответственноформулами (35) и (37). Тогда1) {Fh , Kh } ≡ 0,2) множество {Fh = 0, Kh = k} задается уравнениями2(γ1 − γ2 )sin 2δ sn u dn u + k ,R2(γ1 + γ2 )p2v = 2h cos2 2δ cn2 v +cos 2δ sn v dn v − k ,Rp2u = 2h sin2 2δ cn2 u +(38)3) при диффеоморфизме, описанном в п. 3) теоремы 34, точки множества{Fh = 0, Kh = 2l} переходят в точки множества {H = h, L = l}.Таким образом, построение бифуркационной диаграммы отображения моментадля (регуляризованной) задачи двух центров на сфере можно провести следующимобразом. Для каждого значения h найти критические точки функции Kh , ограниченной на поверхность {Fh = 0}, а затем объединить полученные критическиезначения в кривые с параметром h на плоскости R2 (h, k).Второе утверждение леммы, фактически, означает, что эти критические значения соответствуют “кратным корням” функций стоящих в правых частях уравнений (38).
Находя те пары (h, l) (где k = 2l), для которых такие корни существуют,получаем ответ.Бифуркационные диаграммы изображены на рис. 34. Верхняя диаграмма — дляслучая 0 < δ < π/2. При δ > π/2 качественный вид бифуркационной диаграммытакой же, но особые точки (т. е. точки касания и точки пересечения бифуркационных кривых) могут быть расположены по-разному в зависимости от соотношениявеличин cos δ и γ1 /γ2 . Два примера бифуркационных диаграмм для случая δ > π/2приведены на рис. 34 внизу. Как будет ясно из дальнейшего, для исследованиятопологии рассматриваемой системы на некоторой изоэнергетической поверхностиQ3h = {H = h} существенным является лишь взаимное расположение вертикальной прямой {h = const } и особых точек бифуркационной диаграммы на плоскостиR2 (h, l).
Используя приведенные ниже явные формулы, несложно проверить, чтовсего возможно 12 вариантов такого расположения. Они соответствуют изоэнергетическим поверхностям с различными инвариантами Фоменко–Цишанга (см. теоре-214мы 36 и 37). Вертикальные прямые hi (1 ≤ i ≤ 12) указаны на рис. 34. При этомздесь (и всюду в дальнейшем) предполагается, что γ1 > γ2 .Рис. 34: Бифуркационные диаграммы215Уравнения бифуркационных кривых:(γ1 −γ2 )2γ1 +γ2γ1 −γ2, Γ3 : l=sin δ, Γ5 : l= −sin δ,2R2R2R(γ1 +γ2 )2γ1 +γ2γ1 −γ2Γ2 : (2l−h cos δ)2 −h2 =, Γ4 : l=sin δ, Γ6 : l= −sin δ.2R2R2RΓ1 : (2l−h cos δ)2 −h2 =Точки касания гиперболы Γ1 с прямыми Γ4 и Γ5 имеют координаты( γ −γ)γ1 − γ212c= −ctg δ,sin δ ,R2R(γ − γ)γ1 − γ212d=ctg δ, −sin δ .R2RТочка касания гиперболы Γ2 с прямой Γ3 имеет координаты( γ +γ)γ1 + γ212b= −ctg δ,sin δ .R2RТочки пересечения гиперболы Γ1 с прямыми Γ3 и Γ6 имеют координаты( (γ + γ ) cos δ + 2√γ γ)γ1 + γ2121 2a= −,sin δ ,R sin δ √2R( (γ + γ ) cos δ + 2 γ γ)γ1 + γ2121 2e=,−sin δ .R sin δ2RПоследним двум точкам соответствуют два нерегулярных значения h гамильтониана.
Остальные значения гамильтониана регулярны.Бифуркационное множество разбивает образ отображения момента на областитак, что при движении точки внутри такой области торы Лиувилля в прообразеэтой точки не испытывают бифуркаций. Таким образом, каждой области соответствует определенное число торов Лиувилля. Эти числа можно определить, исследуяфункции (38) (это сделано в разделе 5.2.6). На рис.
34 номера областей отмеченыцифрами 1–6. Как показано в разделе 5.2.6 (см. рис. 35 и рис. 36, на которых номера1–6 соответствуют номерам областей на рис. 34), для областей 1, 3, 5 в прообразахточек лежит один тор, а для областей 2, 4, 6 — два тора.5.2.5. Боттовость интегралаКак было отмечено выше, инварианты Фоменко–Цишанга определены для изоэнергетических поверхностей, на которых дополнительный интеграл является боттовским. Для произвольных интегрируемых систем проверка боттовости дополнительного интеграла обычно нетривиальна.
Однако для систем, в которых переменные разделяются (как в рассматриваемой задаче) вычисления значительно упрощаются.216В рассматриваемой задаче проверка боттовости интеграла, фактически, сводится к проверке невырожденности критических точек функций (от одной переменной), определяемых правыми частями формул (38). Вычисляя, получаем следующееутверждение.Теорема 35.
Дополнительный интеграл Kh является боттовским на всехнеособых изоэнергетических поверхностях Qh = {H = h} кроме тех, для которыхh является абсциссой одной из точек касания бифуркационных кривых.Таким образом, для изоэнергетических поверхностей Q3h рассматриваемой системы, где h не является абсциссой какой-либо из точек касания или пересечениябифуркационных кривых, определены инварианты Фоменко–Цишанга (их вычислению посвящена оставшаяся часть раздела 5.2). Согласно теореме 4 слоение Лиувилля в окрестностях критических уровней интеграла Kh описывается некоторыми3-атомами.Как будет показано ниже, для формулировки ответа (списка инвариантовФоменко–Цишанга) нам понадобятся лишь следующие четыре 3-атома: A, B, C2(которые являются прямыми произведениями двумерных атомов, изображенных нарис.
1 и 2, на окружность S 1 и обозначаются теми же буквами) и A∗ = (B × S 1 )/Z2 .Эти 3-атомы описывают бифуркации торов Лиувилля при прохождении критического значения интеграла: 3-атому A соответствует рождение или исчезновениетора, 3-атому B — распад одного тора на два, или слияние двух торов в один, 3атому A∗ — перестройка одного тора в один тор, 3-атому C2 — перестройка двухторов в два тора.5.2.6. Области возможности движенияИсследование топологии натуральных механических систем удобно проводитьпри помощи проекции на конфигурационное пространство.
Каждый тор Лиувилляпри этом проектируется в некоторую область, которая называется областью возможности движения (для значений h и k гамильтониана H и интеграла K, определяющих данный тор).217Рассмотрим сначала проекции торов Лиувилля на конфигурационное пространство T2 , т.
е. для “накрывающей системы”.Каждый такой тор задается в T ∗ T2 уравнениями (38) с некоторыми константамиh и k, т. е. уравнениями видаp2u = f (u) ,p2v = g(v) .Так как f и g — функции от разных переменных, проекция тора Лиувилля естьнекоторая область на торе T2 , ограниченная линиями вида {u = const } и {v =const }.
При этом в каждую внутреннюю точку (u, v) этой области проектируется√√по 4 точки (u, v, ± f (u), ± g(v)) ∈ T ∗ T2 , а на границе области эти точки попарносклеиваются в 2 точки или 1 точку.Таким образом, вид проекции тора Лиувилля, задаваемого константами h и k,полностью определяется знаками выражений f (u) и g(v) из формул (38) и одинаковдля всех точек (h, k), лежащих в одной и той же области, на которые бифуркационная диаграмма разбивает плоскость R2 (h, k).Бифуркационная диаграмма разбивает плоскость R2 (h, k) на 6 областей, отмеченных цифрами на рис. 34 (здесь k = 2l; см. лемму 33).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
