Топология особенностей интегрируемых гамильтоновых систем (1097913), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Дополнительныйцикл µ выбирается так, чтобы при этом стягивании тора его направление стремилось к направления потока sgrad H на критической окружности (и чтобы пара λ, µбыла правильно ориентирована — см. выше). Отметим, что цикл µ определен неоднозначно.Отсюда, учитывая правило выбора ориентации и то, что для заштрихованногопрямоугольника pu , pv ≥ 0, получаем допустимые системы координат на граничномторе 3-атома A для всех 6 случаев ∅ → 1, ∅ → 5, ∅ → 6 и 2 → ∅, 3 → ∅, 4 → ∅.Ответ приведен на рис. 38.Напомним, что для первых двух перестроек, изображенных на рис. 38, склейкипрямоугольников производятся так, как показано на рис.
37. Поэтому, в частности,226изображение цикла λ на рис. 38 для перестройки ∅ → 1 получается в виде двухкусков.Рис. 38: Допустимые системы координат на 3-атомах AСлучай 1 → 2. В этом случае происходит следующее: один тор (который был вобласти 1) не изменяется, но появляется второй тор. Это происходит точно так же,как и при перестройке ∅ → 1, описанной выше (см. рис. 38).Случай 2 → 3. В этом случае два тора перестраиваются в один.
Эта бифуркацияописывается 3-атомом B.Правило выбора циклов для 3-атома B следующее: если рассматривать 3-атом Bкак (тривиальное) расслоение на окружности над окрестностью восьмерки, тоциклы λ должны совпадать со слоем этого расслоения и быть сонаправленными потоку на критической окружности, а циклы µ должны ограничивать некоторую двумерную поверхность, являющуюся трансверсальным сечением этого расслоения. Кроме того, как и выше остается условие правильной ориентации базиса λ, µ.227Аналогично предыдущему устанавливается, что критическая окружность проектируется в вертикальный отрезок. Поэтому в качестве слоев можно взять вертикальные отрезки.Тогда циклы µ, высекаемые на трех граничных торах 3-атома B глобальнымсечением расслоения, можно представить следующим образом.
Если рассматриватьна торах Лиувилля циклы a = {u = const } и b = {v = const }, то циклы µ имеют видa+b (пока без ориентации). Указанное семейство циклов µ склеивается в глобальноесечение и при этом трансверсально слоям {u = const }. Учитывая соглашения обориентации, получаем допустимые системы координат в рассматриваемом случае(рис. 39).Рис. 39: Допустимая система координат на 3-атоме B (случай 2 → 3)Случай 3 → 4.
Эта бифуркация, как и в предыдущем случае, описывается3-атомом B, но здесь, наоборот, один тор распадается на два тора.Правило выбора циклов λ, µ в данном случае — такое же, как и для 3-атома Bв случае 2 → 3.228Критическая окружность, очевидно, проектируется в горизонтальный отрезок.Поэтому циклы λ имеют вид {v = const }.Каждый из заштрихованных прямоугольников на рис. 35 (3,4) изображает проекции двух торов Лиувилля (для одного прямоугольника pu > 0, для другого pu < 0), но при факторизации эти торы отождествляются. Поэтому можно считать, что для разверток граничных торов Лиувилля (рассматриваемого 3-атома B) заштрихованная часть, как обычно, соответствует точкам, гдеpu , pv > 0.Рис.
40: Допустимая система координат на 3-атоме B (случай 3 → 4)В качестве циклов µ, высекаемых глобальным сечением, можно взять циклы{u = const }.Учитывая сформулированное выше правило выбора ориентаций на циклах λ, µ,получаем допустимые системы координат на трех граничных торах 3-атома B(см. рис. 40).229Случай 6 → 5. Здесь, как и в двух предыдущих случаях, перестройка двух торовв один описывается 3-атомом B. Критическая окружность проектируется в горизонтальный отрезок, поэтому циклы λ задаются условием {v = const }.
Глобальноесечение можно выбрать так, что высекаемые им циклы на всех торах (циклы µ)будут изображаться вертикальными отрезками.Как и выше, учитывая правило ориентации циклов λ, µ, получаем ответ(см. рис. 41).Рис. 41: Допустимая система координат на 3-атоме B (случай 6 → 5)Случай 1 → 3. В данном случае происходит перестройка одного тора в один тор,описываемая 3-атомом A∗ .На этом 3-атоме определена структура ориентированного слоения Зейферта с одним особым слоем (критическая окружность). Циклы λ в данном случае однозначноопределены как слои этого слоения. Очевидно, что при изображении торов в видеразверток в качестве слоев можно рассматривать вертикальные отрезки.
При этом230циклы λ ориентированы снизу вверх (так как на заштрихованной части разверткиpu , pv > 0).Один из циклов µ+ , µ− можно выбрать произвольно (но, конечно, так, чтобысоответствующая пара циклов λ, µ образовывала базис на торе и была правильноориентирована). Выберем цикл µ− на верхнем торе 3-атома A∗ в виде горизонтального отрезка (см.
рис. 42).Рис. 42: Построение допустимой системы координат для 3-атома A∗После того как цикл µ− зафиксирован, правило выбора цикла µ+ следующее.На границе окрестности критической окружности (особого слоя слоения Зейферта) имеются два однозначно определенных цикла: λ — слой; κ — цикл, которыйстягивается в этой окрестности в точку.
Ориентируем цикл κ так, чтобы пара циклов λ, κ была положительно ориентирована (напомним, что цикл λ ориентирован,так как на особом слое задано направление потоком sgrad H). Тогда на границеокрестности особого слоя однозначно определяется некоторый цикл µ из условияλ + 2µ = κ.231Теперь, удалив из 3-атома A∗ окрестность особого слоя, нужно построить сечениеслоения Зейферта (уже без особых слоев), совпадающее на верхнем торе 3-атома A∗с циклом µ− , а на границе окрестности особого слоя — с циклом µ.
Такое сечениеопределено однозначно и тем самым высекает некоторый цикл на втором (нижнем)торе 3-атома A∗ . Ориентировав этот цикл в соответствии с правилом ориентации,получим цикл µ+ .Процесс построения цикла µ+ изображен на рис. 42 (a) в виде разверток, ана рис. 42 (b) — в более наглядном виде с использованием “удвоенного” сечения слоения Зейферта (см. [12]). Пунктирные стрелки на рис.
42 (a) изображают сдвиг по направлению, трансверсальному семейству торов Лиувилля (вдоль потока ±grad K);они соответствуют пунктирным частям цикла κ на рис. 35 (b). Отметим также, чтобоковые стороны разверток на рис. 35 (a) соответствуют циклам, высекаемым сепаратрисами на граничных торах Лиувилля 3-атома A∗ . При этом надо учитывать,что для развертки (3) боковые стороны склеиваются, как обычно, горизонтальнымисдвигами, а для развертки (1) — так, как показано на рис. 37.Рис.
43: Допустимая система координат на 3-атоме A∗ (случай 1 → 3)Окончательный ответ — допустимая система координат на 3-атоме A∗ в случае 1 → 3 — изображен на рис. 43.232Случай 5 → 1. Здесь, как и в предыдущем случае, происходит перестройка одного тора в один тор, описываемая 3-атомом A∗ . Правило выбора циклов λ, µ ирассуждения аналогичны предыдущему случаю. Поэтому приведем лишь окончательный ответ (см.
рис. 44).Рис. 44: Допустимая система координат на 3-атоме A∗ (случай 5 → 1)5.2.8. Построение молекул и вычисление метокИтак, для всех возможных бифуркаций торов Лиувилля мы описали допустимыесистемы координат на граничных торах соответствующих 3-атомов. Изоэнергетическую поверхность можно представлять как результат склеек граничных торов3-атомов. Тогда на каждом таком торе возникают две пары базисных циклов λ− , µ−и λ+ , µ+ . Выражая циклы λ+ , µ+ через циклы λ− , µ− получаем матрицы склейкидля каждого ребра молекулы.Пример построения молекулы изображен на рис. 45.
Эта молекула соответствуетпрямой h4 на рис. 34. Прямая h4 пересекает бифуркационную диаграмму в четы-233рех точках, в которых происходят следующие перестройки: ∅ → 1 → 3 → 4 → ∅.Для каждого из трех однопараметрических семейств торов Лиувилля нужновзять циклы λ− , µ− и λ+ , µ+ , построенные в разделе 5.2.7 (для данного примерасм. рис.
38, 40, 43).Рис. 45: Пример построения молекулы (для прямой h4 )Аналогичным образом строятся молекулы для всех прямых h1 –h12 , отмеченныхна рис. 34.Молекулы с матрицами склейки полностью описывают топологию слоения Лиувилля на изоэнергетических поверхностях. Однако матрицы склейки определены неоднозначно (в силу неоднозначности выбора допустимых систем координат).Поэтому окончательный ответ удобно привести в виде меченых молекул (инвариантов Фоменко–Цишанга). Метки, кодирующие информацию о матрицах склейки,определены уже однозначно.
Определение меток и формулы для их вычислениясм. в [12].234Теорема 37 (Т. Г. Возмищева, А. А. Ошемков [17]). Для задачи двух центровна двумерной сфере полный список инвариантов Фоменко–Цишанга, описывающихслоение Лиувилля на изоэнергетических поверхностях {H = h} (при различныхзначениях параметров γ1 , γ2 , δ и h), состоит из 12 молекул, перечисленных в таблице 6 (номер i в таблице соответствует прямой hi на рис. 34).Для каждого из 12 случаев в таблице 6 кроме молекул с метками, приведенныхво втором столбце, в третьем столбце изображены те же молекулы с матрицамисклеек для допустимых систем координат, построенных в разделе 5.2.7.Бифуркационная диаграмма для рассматриваемой задачи имеет особые точки(точки трансверсального пересечения и точки касания бифуркационных кривых).Топологию слоения Лиувилля в окрестности таких точек удобно описывать при помощи круговых молекул, которые соответствуют трехмерным поверхностям в фазовом пространстве системы, являющимся прообразами маленьких окружностейс центрами в этих особых точках (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
