Топология особенностей интегрируемых гамильтоновых систем (1097913), страница 44
Текст из файла (страница 44)
[12], [10]).Напомним, что мы исследуем топологию системы, полученной в результате регуляризации задачи двух центров (см. раздел 5.2.3). В частности, топология слоения Лиувилля исследовалась отдельно на каждой изоэнергетической поверхности,а не во всем фазовом пространстве. Поэтому, строго говоря, при таком подходе круговые молекулы для рассматриваемой системы не являются обычными круговымимолекулами. Однако формально мы можем их построить аналогично тому, как этобыло сделано для изоэнергетических молекул.Рис.
46: Круговые молекулы особых точек бифуркационной диаграммыКруговые молекулы (с r-метками) для всех пяти особых точек, отмеченныхна рис. 34 буквами a, b, c, d, e, приведены на рис. 46. Они имеют тот же вид, чтои круговые молекулы для типичных особых точек, встречающихся в классических235Таблица 6: Список инвариантов для задачи двух центров на сфере236Таблица 6: Список инвариантов для задачи двух центров на сфере (продолжение)237Таблица 6: Список инвариантов для задачи двух центров на сфере (продолжение)238случаях интегрируемости (см. [12], [10]).
Для точек a и e круговые молекулы совпадают с круговыми молекулами точек типа центр-седло, для точки b — с круговоймолекулой особенности, называемой “вилка” (“pitch-fork”), а для точек c и d — с круговыми молекулами особенностей, являющихся соответственно гиперболическим иэллиптическим “удвоением периода” (“period-doubling”).5.3.
Многомерный волчокЭйлера–МанаковаВ этом разделе мы исследуем некоторые свойства особенностей отображениямомента для интегрируемой гамильтоновой системы на алгебре Ли so(n), описывающей динамику n-мерного твердого тела.Наш подход основан на использовании свойства бигамильтоновости этой системы и одна из целей такого рассмотрения — продемонстрировать, что предлагаемыйметод может быть успешно применен к различным системам, обладающим бигамильтоновой структурой.5.3.1. Бигамильтоновы системыНапомним сначала некоторые определения и факты о бигамильтоновых системах.Кососимметричное тензорное поле A = (Aij ) типа (2, 0) на гладком многообразииM называется пуассоновой структурой, если операция на C ∞ (M ), определеннаяформулой{f, g} = Aij∂f ∂g,∂xi ∂xjудовлетворяет тождеству Якоби:{f, {g, h}} + {g, {h, f }} + {h, {f, g}} = 0 для любых f, g, h ∈ C ∞ (M ).В этом случае пространство гладких функций C ∞ (M ) имеет естественную структуру бесконечномерной алгебры Ли, и { , } называется скобкой Пуассона.239Рангом пуассоновой структуры (скобки) A в точке x называется ранг кососимметричной матрицы Aij (x).
Рангом пуассоновой структуры A на многообразии Mназывается ее ранг в точке общего положения, т. е.rank A = max rank Aij (x).x∈MМы будем предполагать, что все рассматриваемые пуассоновы структуры вещественно-аналитичны и, значит, точки общего положения образуют открытое всюдуплотное подмножество в M .Функция f : M → R называется функцией Казимира пуассоновой структуры A,если {f, g} ≡ 0 для любой гладкой функции g. Будем обозначать множество всехфункций Казимира для пуассоновой структуры A через Z(A).Любая функция Казимира f характеризуется также следующим условием:df (x) ∈ Ker A(x) в каждой точке x ∈ M . Если пуассонова структура A вырождена,т.
е. rank A < dim M , то локально в окрестности точки общего положения функции Казимира всегда существуют и число функционально независимых функцийКазимира равно корангу пуассоновой структуры corank A = dim M − rank A, т. е.дифференциалы функций Казимира порождают ядро скобки A(x) в точке общегоположения x.Определение 53. Две пуассоновы структуры A и B называются согласованными если их сумма A + B (или, что то же самое, их произвольная линейная комбинация с постоянными коэффициентами) снова является пуассоновой структурой.Система называется бигамильтоновой, если она гамильтонова относительно двухсогласованных скобок Пуассона A и B.Бигамильтоновость системы дает возможность построить для нее “большой” набор коммутирующих интегралов с помощью так называемой схемы Магри–Ленара(см.
[93], [94]). Изложим одну из версий этой процедуры.Рассмотрим на многообразии M семейство (пучок) согласованных скобок Пуассона P = {λ′ A + λB | λ′ , λ ∈ R}.Замечание 40. Линейные комбинации λ′ A + λB удобно рассматривать с точностью до пропорциональности. Поэтому можно положить λ′ = 1, но допустить,240чтобы λ могло принимать значение ∞. Далее мы будем использовать обозначениеAλ = A + λB (предполагая, что λ ∈ R или λ ∈ C) и иногда писать A∞ вместо B.Предположим, что все Aλ ∈ P вырождены, i.e.
rank Aλ < dim M . Определимранг пучка P какrank P = max rank Aλ .λ∈RСкобки Пуассона Aλ , ранг которых максимален в семействе P, т. е. rank Aλ = rank P,будем называть общими. Аналогично, для любой точки x ∈ M определим rank P(x)как max rank Aλ (x) и будем говорить о пуассоновых структурах общих в точке x.λ∈R(Обычно мы будем писать Aµ для общей пуассоновой структуры и Aλ для произвольной пуассоновой структуры из пучка.)Следующее утверждение показывает, как построить “большой” набор коммутирующих интегралов для бигамильтоновой системы.Предложение 22. Пусть FP — алгебра, порожденная (относительно обычного умножения функций) функциями Казимира всех общих пуассоновых структурAµ ∈ P.1) Семейство FP коммутативно относительно любой пуассоновой структурыпучка Aλ ∈ P.2) Если динамическая система ẋ = v(x) гамильтонова относительно каждойобщей пуассоновой структуры Aµ ∈ P, то каждая функция из FP является еепервым интегралом.Отметим, что в предложении 22 ничего не говорится о количестве N функционально независимых интегралов в семействе FP .
Напомним, что условие полнотыдля семейства FP (которое гарантирует интегрируемость по Лиувиллю системыẋ = v(x) на M ) выглядит следующим образом:1N = (dim M + corank P).2Сформулируем также следующее эквивалентное определение (см. [7]).Определение 54. Семейство F коммутирующих функций на пуассоновом многообразии (M, A) называется полным, если подпространство dF(x) ⊂ Tx∗ M , порожденное дифференциалами df (x) всех функций f ∈ F, максимально изотропно относительно A для почти всех x ∈ M .241Поскольку мы хотим исследовать особенности интегрируемой бигамильтоновойсистемы, нас интересует множество тех точек x ∈ M , в которых условие полнотынарушается, т. е. падает размерность подпространства dFP (x) ⊂ Tx M .Для описания этого множества (а также для проверки условия полноты всегосемейства; см. [75]) полезна следующая теорема из линейной алгебры, описывающая канонический вид однопараметрического семейства (пучка) кососимметричныхформ (см.
[18], [114]).Теорема 38 (теорема Жордана–Кронекера). Пусть A и B — кососимметричные билинейные формы на конечномерном комплексном векторном пространстве V . Тогда существует базис в V , в котором пучок P = {A + λB} имеетблочно-диагональный видA1 (λ)A2 (λ)A + λB = ...Ak (λ)с блоками Ai (λ) следующих трех типов:λi −λ 11.λi −λ .
.0..10. 1λ......λi −λ1−1λ−λi−1 λ−λi......0−1 λ−λiжорданов блок для λi ∈ Cλ−λ −1......0−λ −1жорданов блок для λi = ∞2421λ10λ......1λ−1−λ −1.−λ . ...0. −1−λкронекеров блокТакже допускаются тривиальные (1 × 1)-блоки Ai (λ) = (0).Если rank Aµ = max rank Aλ , то форма Aµ является общей. Ясно, что почти всеλ∈Cформы в P являются общими. Как легко видеть, особые значения λ (называемыехарактеристическими числами пучка) — это в точности те λi (включая λi = ∞),которые соответствуют жордановым блокам из разложения Жордана–Кронекера,указанного в теореме 38. Кратность характеристического числа λi определяетсякак сумма размеров тех жордановых блоков, в которых появляется λi .
Ясно, чтократность здесь всегда является четным числом.Будем говорить, что пучок P = {A + λB} (или его “жорданова” часть) диагонализуется, если все жордановы блоки в разложении Жордана–Кронекера минимального размера, т. е. размера 2 × 2.Из теоремы Жордана–Кронекера не сложно получить следующие два утверждения.Предложение 23. Пусть Z — подпространство в V , порожденное ядрамивсех общих форм Aµ ∈ P :Z = span{Ker Aµ | Aµ — общая форма}.Тогда Z изотропно относительно любой формы Aλ ∈ P .243Отметим, что предложение 22 сразу следует из этого чисто алгебраическогофакта.Следующее утверждение дает необходимое и достаточное условие того, что Zмаксимально изотропно.Предложение 24.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
