Топология особенностей интегрируемых гамильтоновых систем (1097913), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Следующие свойства пучка P эквивалентны:1) Z — максимально изотропное подпространство относительно одной (выделенной) формы Aλ0 ∈ P ;2) Z — максимально изотропное подпространство относительно любой формыAλ ∈ P , λ ∈ C;3) разложение Жордана–Кронекера содержит только кронекеровы блоки;4) Aλ ∈ P имеет один и тот же ранг для любого λ ∈ C (т. е. все Aλ являютсяобщими формами).5.3.2. Описание системыРассмотрим g = so(n) как пространство кососимметричных (n × n)-матриц. Будем отождествлять so(n) и so(n)∗ с помощью формы Киллинга. Наряду с обычнымматричным коммутатором [X, Y ] = XY − Y X рассмотрим на so(n) следующую операцию:[X, Y ]C = XCY − Y CX,где C — некоторая симметричная матрица.Легко проверяется, что операция [X, Y ]C удовлетворяет тождеству Якоби и согласована со стандартным коммутатором в том смысле, что любая линейная комбинация λ[ , ] + λ′ [ , ]C = [ , ]λE+λ′ C также определяет структуру алгебры Ли на so(n)(рассматриваемом как пространство кососимметричных матриц).Переходя к двойственному пространству, можно сказать, что коммутаторы [ , ]C+λE определяют пучок согласованных скобок Пуассона { , }C+λE наso(n) = so(n)∗ .244Гамильтонова система на so(n), описывающая динамику n-мерного твердого тела, определяется следующим образом:Ẋ = [ϕ(X), X],(39)где ϕ(X) определяется соотношением [ϕ(X), C] = [X, B], в котором B и C — симметричные матрицы, причем все собственные значения C различны.
Можно проверить, что эта система является гамильтоновой относительно любой скобки из пучка{ , }C+λE (см. [6], [60], [8]). Поэтому функции Казимира пучка { , }C+λE являютсяее первыми интегралами (см. предложение 22). Можно также показать (см., например, [60], [8]), что эти функции Казимира могут быть выбраны в форме()kTr X(C + λE)−1 ,и что это семейство коммутирующих функций эквивалентно (в смысле функциональной зависимости) набору интеграловTr(X + λC)k ,найденных С. В.
Манаковым [32]. Раскладывая полиномы Tr(X + λC)k в ряд по λ,можно получить естественный базис в этом семействе, состоящий из однородныхполиномов. Не сложно проверить, что все коэффициенты при нечетных степенях Xравны нулю и эта процедура дает в точности s = 12 (dim so(n) + ind so(n)) нетривиальных коммутирующих полиномов (при этом если n четно, то вместо Tr X n надо√взять пфаффиан матрицы X, т.
е. det X). Обозначим полученный набор однородных полиномов черезFC = {G1 , . . . , Gs }.(40)То, что построенные полиномы G1 , . . . , Gs функционально независимы,Функциональная независимость полиномов (40) следует из общей теоремы, доказанной А. С. Мищенко, А. Т. Фоменко для произвольных полупростых алгебр Лив работе [37], где был предложен общий “метод сдвига аргумента”, позволяющийстроить примеры интегрируемых систем на широком классе алгебр Ли. Для рассматриваемой системы это утверждение можно сформулировать следующим образом.245Теорема 39 (А.
С. Мищенко, А. Т. Фоменко [37]). Пусть все собственные значения матрицы C различны. Тогда набор полиномов FC является полным коммутативным набором на so(n).Наша цель — исследовать особенности отображения момента для интегрируемойсистемы (39), т. е. особенности отображенияΦC : so(n) → Rs ,ΦC (X) = (G1 (X), . . . , Gs (X)),1s = (dim so(n) + ind so(n)).2(41)Мы получим описание множества особых точек для рассматриваемой системыкак следствие более общей теоремы для бигамильтоновых систем, удовлетворяющим некоторым условиям общего положения и обладающим полным набором интегралов. Эти условия и критерий полноты, принадлежащий А. В.
Болсинову, изложены в разделе 5.3.3.5.3.3. Постановка задачи и критерий полнотыРассмотрим многообразие M , на котором задан пучок P = {Aλ = A + λB}согласованных пуассоновых структур. Предполагая, что rank P < dim M , мы рассматриваем семейство FP , порожденное функциями Казимира всех общих скобокПуассона Aµ ∈ P. Это семейство состоит из первых интегралов динамических систем, которые являются бигамильтоновыми относительно P (см. предложение 22).Всюду в дальнейшем мы будем предполагать, что M и P вещественно аналитичны и удовлетворяют следующим условиям.Пусть по крайней мере для одной общей скобки, например A = A0 , существуют глобальные функции Казимира f1 , .
. . , fk , дифференциалы которых порождаютядро скобки A(x) в каждой точке x ∈ M максимального ранга, т. е.Ker A(x) = span{df1 (x), . . . , dfk (x) | fi ∈ Z(A)} если rank A(x) = rank P.Более того, предполагается, что каждую из этих функций fi ∈ Z(A) можно “продеформировать” fi (x) 7→ fi,λ (x) так, чтобы fi,λ (x) были глобально определеннымифункциями Казимира для Aλ = A + λB (по крайней мере для малых λ), удовлетворяющими тому же свойству:Ker Aλ (x) = span{df1,λ (x), . .
. , dfk,λ (x) | fi,λ ∈ Z(Aλ )} если rank Aλ (x) = rank P.246Пусть при этом функции fi,λ зависят от λ гладко. В частности, мы можем разложитьих в ряд Тейлора по λfi,λ (x) ≃ Fi,0 (x) + λFi,1 (x) + λ2 Fi,2 (x) + · · · + λm Fi,m (x) + . . .и затем взять коэффициенты Fi,m в качестве функций, порождающих коммутативное семейство FP .Сформулированные предположения гарантируют, что в каждой точке x ∈ M(такой, что rank P = rank P(x)) подпространство dFP (x) = span{df (x) | f ∈ FP }, порожденное дифференциалами наших первых интегралов, совпадает с подпространством в Tx∗ M , порожденным ядрами общих форм Aµ (x).Для семейства FP , определенного в предложении 22, из теоремы Жордана–Кронекера и предложения 24 можно вывести следующий критерий полноты.Теорема 40 (А.
В. Болсинов [75]). Семейство FP является полным тогда итолько тогда, когда для точки общего положения x ∈ M выполнено следующееусловие “максимальности ранга”:rank Aλ (x) = rank Pдля всех λ ∈ C.(42)Рассуждения, приводящие к описанию множества особых точек, в разделе 5.3.4существенно используют этот критерий, поскольку мы всегда будем предполагать,что рассматриваемой семейство FP полно.5.3.4. Множество особенностейРассмотрим бигамильтонову динамическую систему и алгебру FP ее интегралов,порожденную функциями Казимира пучка скобок Пуассона P = {A + λB | λ ∈ R}.Пусть эта алгебра полна.
Тогда согласно критерию полноты (теорема 40) все скобкив пучке имеют один и тот же ранг.Мы хотим описать критические точки для семейства FP . Учитывая сделанныевыше предположения, множество критических точек для семейства FP{}KP = x ∈ M dim dFP (x) < 21 (dim M + corank P)можно описать следующим образом.247Для каждого λ ∈ C рассмотрим множество особых точек пуассоновой структуры Aλ в MSλ = {x ∈ M | rank(A(x) + λB(x)) < rank P}.В частности, S∞ = {x ∈ M | rank B(x) < rank P}. Рассмотрим также множествоособых точек пучка PSP =∪Sλ .λ∈CВо введенных обозначениях, утверждение о множестве критических точек выглядиттак: KP = SP .Сформулируем это также более явно.Теорема 41.
Точка x ∈ M является критической точкой для FP тогда итолько тогда, когда существует такое λ ∈ C, что x ∈ Sλ .Обратимся теперь к системе, рассмотренной в разделе 5.3.2 (многомерное твердое тело). Мы хотим описать множество KC кососимметричных матриц X ∈ so(n),где дифференциалы интегралов Манакова (40) линейно зависимы, т. е. множествокритических точек отображения момента (41):ΦC : so(n) → Rs ,1s = (dim so(n) + ind so(n)).2Применение теоремы 41 к этой ситуации дает следующий ответ.Теорема 42. Кососимметричная (n × n)-матрица X является критическойточкой для семейства FC (или, что то же самое, для отображения момента ΦC ) тогда и только тогда, когда существует такое λ ∈ C, что X ∈ Sλ , гдеSλ ⊂ so(n) — множество особых точек для скобки { , }C+λE , т.
е.KC =∪Sλ .λ∈CПоскольку алгебра Ли gλ (кососимметричные матрицы с коммутатором [ , ]C+λE )почти все изоморфны (после комплексификации), мы можем описать множествосингулярных точек для каждой из них, используя подходящий изоморфизм с “модельной алгеброй Ли” so(n, C). Если C + λE невырождена, то такой изоморфизмможно задать так:X 7→ (C + λE)1/2 X(C + λE)1/2 ,248где (C + λE)1/2 — симметричная матрица (вообще говоря, комплексная).
Отсюдаследует, что особое множество Sλ для скобки { , }C+λE имеет вид()Sλ = Re (C + λE)1/2 Sing (C + λE)1/2 ,(43)где Sing ⊂ so(n, C) — объединение всех сингулярных орбит алгебры Ли so(n, C)(алгебраическое подмногообразие коразмерности 3).Получаем, что утверждение теоремы 42 можно переформулировать следующимобразом.Теорема 43. Кососимметричная (n × n)-матрица X является критическойточкой для семейства FC (или, что то же самое, для отображения момента ΦC )тогда и только тогда, когда выполнено одно из следующих условий:1) существует такое λ ∈ C, что det(C+λE) ̸= 0 и кососимметричная матрица(C + λE)−1/2 X(C + λE)−1/2 является сингулярным элементом в so(n, C);2) X является сингулярным ковектором в смысле алгебры Ли, определенной напространстве кососимметричных матриц коммутатором [ , ]C−ci E , где ci ∈ R —одно из собственных значений матрицы C.В случае n = 4 это описание выглядит достаточно просто, поскольку множество Sing есть просто объединение двух трансверсально пересекающихся трехмерных подпространств (они являются компонентами стандартного разложенияso(4) = so(3) ⊕ so(3)), а именно, Sing ⊂ so(4, C) состоит из двух трехмерных подпространств0z3−z2 z10 −z3 0z1 z2 P1 = z2 −z1 0 z3 −z1 −z2 −z3 0и−z3z2z1 z30 −z1 z2 .P2 = −z2 z10 z3 −z1 −z2 −z3 0Получаем следующее утверждение.Следствие 6.
Множество критических точек для интегралов Манакова FCпри n = 4 имеет видKC =∪λ∈C)где Piλ = Re (C + λE)1/2 Pi (C + λE)1/2 .((P1λ ∪ P2λ ),249В частности, мы получили естественную параметризацию множества критических точек отображения момента для 4-мерного твердого тела четырьмя параметрами z1 , z2 , z3 , λ (ср. [40]).5.3.5. Положения равновесияПусть, как и выше, P = {Aλ } — пучок согласованных пуассоновых структурна многообразии M , а FP — соответствующая алгебра, порожденная функциямиКазимира общих скобок Aµ ∈ P (которая предполагается полной на M ).Пусть x — точка на регулярном симплектическом листе пуассоновой структуры A = A0 . Будем говорить, что x — положение равновесия для FP , еслиsgradA f (x) = 0 для любой функции f ∈ FP , где через sgradA f (x) обозначен косойградиент функции f относительно пуассоновой структуры A.Теорема 44.
Точка x ∈ M является положением равновесия для FP тогдаи только тогда, когда ядра Ker Aµ (x) всех скобок, являющихся общими в этойточке, совпадают.Доказательство. Если ядра всех скобок (общих в точке x) совпадают, тодля любой функции f ∈ Z(Aµ ) из ядра общей скобки имеем df (x) ∈ Ker Aµ (x) =Ker A(x) и, следовательно, sgradA f (x) = 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
