Топология особенностей интегрируемых гамильтоновых систем (1097913), страница 42

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 42)

Определяя знаки выражений f (u) и g(v) для каждой из этих областей, получаем следующие проекции торовЛиувилля (см. рис. 35).На рис. 35 тор T2 изображается в виде прямоугольника, состоящего из четырехпрямоугольников плоскости с координатами (u, v) (см. рис. 33). При этом черные ибелые вершины имеют тот же смысл, что и на рис.

33, а заштрихованным прямоугольникам на рис. 33 соответствуют левый нижний и правый верхний прямоугольники на рис. 35. Заштрихованные области на рис. 35 изображают проекции торовЛиувилля.В некоторые из заштрихованных областей на рис. 35 проектируются сразунесколько торов Лиувилля. В каждом из 6 случаев их количество однозначно опре√√деляется видом проекции.

Действительно, 4 точки (u, v, ± f (u), ± g(v)), проектирующиеся во внутреннюю точку (u, v) заштрихованной области, при подходе этойточке к границе области склеиваются следующим образом: на горизонтальных от-218√√√√резках точка (u, v, f (u), g(v)) склеивается с точкой (u, v, f (u), − g(v)), а точ√√√√ка (u, v, − f (u), g(v)) склеивается с точкой (u, v, − f (u), − g(v)); на верти√√√√кальных отрезках точка (u, v, f (u), g(v)) склеивается с (u, v, − f (u), g(v)), а√√√√точка (u, v, f (u), − g(v)) склеивается с (u, v, − f (u), − g(v)). Отсюда получаем, что в область на рис.

35 (1) проектируется 1 тор, в каждую из двух областейна рис. 35 (2) и рис. 35 (5) — тоже по 1 тору, в область на рис. 35 (3) — 2 тора, и вкаждую из двух областей на рис. 35 (4) и рис. 35 (6) — по 2 тора.Рис. 35: Проекции торов Лиувилля на T2Перестройки торов Лиувилля при переходе точки (h, k) через бифуркационныекривые также можно определить, рассматривая перестройки соответствующих областей возможности движения, изображенных на рис. 35. После этого уже можновычислить инварианты Фоменко–Цишанга, описывающие слоение Лиувилля на поверхностях {Fh = 0} при различных значениях h.Напомним, что наша основная цель — исследование топологии системы на T ∗ S2 ,а не на T ∗ T2 , т.

е. на поверхностях {Fh = 0}/σ ∗ . (Вычисления для этого случая болеесложные и подробно описаны ниже в разделах 5.2.7 и 5.2.8.) Поэтому для “системына торе T2 ” приведем лишь ответ.219Теорема 36 (Т. Г. Возмищева, А. А. Ошемков [17]). Для системы с гамильтонианом Fh на T ∗ T2 полный список инвариантов Фоменко–Цишанга, описывающихслоение Лиувилля на поверхностях {Fh = 0} (при различных значениях параметров γ1 , γ2 , δ и h), состоит из 12 молекул, перечисленных в таблице 5 (номер i втаблице соответствует прямой hi на рис. 34).Рис. 36: Проекции торов Лиувилля на S2Области возможности движения для (регуляризованной) задачи двух центров насфере получаются из областей возможности движения, изображенных на рис.

35, врезультате факторизации их по действию инволюции σ : T2 → T2 . Они приведенына рис. 36 (номера 1–6 на рис. 36 соответствуют номерам областей на рис. 34). Количество торов Лиувилля для каждого из шести случаев, соответствующих шестиобластям на плоскости R2 (h, k), можно установить, учитывая как действует инволюция σ ∗ : T ∗ T2 → T ∗ T2 (см. формулу (36)). В результате получаем, что в случаях1, 2, 3, 5 на рис. 36 в каждую из областей (дисков) проектируется по одному торуЛиувилля, а в случаях 4 и 6 в каждую из областей (колец) проектируется по дватора. Отметим, что в случаях 4 и 6 проекции траекторий, лежащих на одном торе,при изменении направления на них переходят в проекции траекторий, лежащих навтором торе, который проектируется в то же кольцо.220Таблица 5: Список инвариантов для системы на накрывающем торе221Таблица 5: Список инвариантов для системы на накрывающем торе (продолжение)2225.2.7.

Построение допустимых систем координатДля того, чтобы вычислить инварианты Фоменко–Цишанга (меченые молекулы), описывающие топологию слоения Лиувилля на изоэнергетических поверхностях Qh = {H = h}, необходимо сделать следующее:1) определить тип перестроек торов Лиувилля в прообразе точки (h, k), движущейся вдоль прямой {h = const } на плоскости R2 (h, k), при пересечении этойточкой бифуркационной диаграммы;2) описать склейки граничных торов Лиувилля для прообразов отрезков вида{|k − k1 | ≤ ε}, {|k − k2 | ≤ ε}, лежащих на прямой {h = const }, где значенияk1 , k2 соответствуют двум последовательным бифуркациям (т.

е. для пары 3-атомовмолекулы, соединенных ребром).Для описания склеек граничных торов Лиувилля нужно специальным образомвыбрать на них базисные циклы (построить допустимые системы координат) ипосле этого выписать матрицы склейки в этих базисах. Общее правило для выборатаких циклов описано в [12]. При вычислениях, проводимых ниже, в каждом конкретном случае будет сформулировано нужное условие на эти циклы.Ясно, что для построения молекул, соответствующих произвольным значениям h, достаточно описать бифуркации и допустимые системы координат для каждойбифуркационной кривой, т.

е. для всех возможных переходов i → j (из области сномером i в область с номером j) через некоторую бифуркационную кривую. Приэтом будем считать, что мы всегда переходим из “нижней” области в “верхнюю” (этокорректно, так как в рассматриваемом случае бифуркационные кривые не имеютвертикальных касательных; см. рис. 34). Из рис. 34 видно, что всего возникает 12вариантов:1 → 2,2 → 3,3 → 4,1 → 3,5 → 1,6 → 5,∅ → 1,2 → ∅,3 → ∅,4 → ∅,∅ → 5,∅ → 6,где через ∅ обозначена область, состоящая из точек с пустым прообразом.Проекции торов Лиувилля, изображенные на рис. 35, имеют простой вид (грубоговоря, при этих проекциях торы “складываются” по двум или четырем циклам,223превращаясь в “прямоугольные” области).

Кроме того их перестройки также хорошоописываются в терминах этих проекций. Однако, для того чтобы описать допустимые системы координат на каком-либо торе, его удобно “развернуть”, превратив вплоский прямоугольник (соответственно в два или четыре раза больший, чем проекция). После этого надо еще учесть действие инволюции σ ∗ на этой “развертке”,чтобы получить уже изображение тора Лиувилля для рассматриваемой системы насфере.Рис. 37: “Разворачивание” и факторизация торов ЛиувилляНа рис.

37 изображена описанная процедура для случая (1) из рис. 35. Сначаламы “разворачиваем” тор, получая из 4 маленьких прямоугольников, наложенныхдруг на друга, один прямоугольник, в 4 раза больший. При этом будем считать, чтоположение одного из маленьких прямоугольников не изменилось (он на рисункезаштрихован), т. е. что для него по-прежнему горизонтальная ось есть ось u, авертикальная — ось v. Пусть этот прямоугольник состоит из точек, для которыхpu , pv ≥ 0.Таким образом, после первого шага тор изображен в виде большого прямоугольника, противоположные стороны которого отождествляются при помощи сдвигов,параллельных осям.

На втором шаге мы факторизуем этот тор по инволюции σ ∗ .Здесь надо учесть, что мы рассматриваем именно инволюцию σ ∗ , а не σ. Поэтому надо рассмотреть не просто центральную симметрию относительно центра заштрихованного прямоугольника, а ее композицию с центральной симметрией относительно центра большого прямоугольника (которая соответствует замене (pu , pv )224на (−pu , −pv )). Получаем, что инволюция σ ∗ на данном торе есть сдвиг на вектор,совпадающий с диагональю заштрихованного прямоугольника.Таким образом, тор Лиувилля для системы на сфере изображается в виде прямоугольника (состоящего из двух маленьких прямоугольников), стороны которогосклеиваются так, как показано на рис. 37 (надо отождествить стороны, отмеченныеодинаковыми буквами).Аналогичным образом (в виде разверток ) мы будем изображать торы Лиувилляи для остальных случаев (2)–(6) из рис. 35.

Здесь нужно отметить, что мы изображаем развертки торов Лиувилля после факторизации по инволюции σ ∗ . При этомв заштрихованную часть на развертке при факторизации попадают те точки, длякоторых pu , pv > 0. Единственный случай, где при таком подходе возникает неоднозначность, — это случай (5) на рис. 35. Здесь предполагается, что в заштрихованнуючасть развертки при факторизации попадают те точки, удовлетворяющие условиюpu , pv > 0, которые проектировались в левый (заштрихованный) прямоугольникна рис. 35 (5). Кроме того, для всех разверток кроме случаев (1) и (2) стороныпрямоугольников отождествляются горизонтальными и вертикальными сдвигами,а для случаев (1) и (2) — так, как показано на рис.

37. Эти соглашения всегда будут использоваться в дальнейшем при изображении допустимых систем координатна развертках торов Лиувилля.Сделаем еще одно замечание. Для каждого из граничных торов 3-атомов базисные циклы λ, µ допустимой системы координат должны быть подходящим образомориентированы. Если считать, что ориентация в фазовом пространстве гамильтоновой системы задается формой ω ∧ ω (где ω — симплектическая структура), а ориентация на изоэнергетических поверхностях определяется “нормалью” grad H (относительно какой-нибудь метрики), то на торах Лиувилля возникает естественнаяориентация, определяемая “нормалью” grad K.При описанном выше способе изображения торов Лиувилля эту ориентациюна развертках можно определить следующим образом: ориентацию, задаваемуюна заштрихованном прямоугольнике развертки тора координатами u, v, будемсчитать положительной.

Ясно, что тем самым ориентация определена на всехторах.225Далее, на граничных торах 3-атома будем выбирать базисные циклы λ, µ такимобразом, чтобы на “верхних” торах они задавали положительную ориентацию, а на“нижних” — отрицательную (напомним, что в данной задаче мы всегда рассматриваем бифуркации при переходе из “нижней” области бифуркационной диаграммы в “верхнюю”). Пару циклов на каждом верхнем торе 3-атома будем обозначать(λ− , µ− ), а на каждом нижнем торе — (λ+ , µ+ ).Теперь перейдем к описанию допустимых систем координат для перечисленных12 случаев.Случаи вида i → ∅ или ∅ → i.

Эти бифуркации соответствуют 3-атому A.У этого 3-атома только один граничный тор, который либо стягивается на осевуюокружность, либо, наоборот, рождается из нее в процессе бифуркации. При проекции на конфигурационное пространство эта окружность проектируется в вертикальный или горизонтальный отрезок. Эти две возможности соответствуют тому,что при подходе точки к граничной бифуркационной кривой либо функция f (u),либо функция g(v) стремится к нулю (см. раздел 5.2.6). Определяя, какая из этихдвух возможностей реализуется, получаем, что в случаях ∅ → 1, ∅ → 5, ∅ → 6 критические окружности проектируются в вертикальные отрезки, а в случаях 2 → ∅,3 → ∅, 4 → ∅ — в горизонтальные.Правило выбора цикла λ для 3-атома A следующее: этот цикл должен стягиваться в точку при стягивании тора на ось полнотория (3-атома A).

Характеристики

Список файлов диссертации