Топология особенностей интегрируемых гамильтоновых систем (1097913), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Это поле, создаваемое потенциалом Гука V = kr2 , где k — положительная константа. (Доказательство теоремыБертрана, а также различные ее обобщения для нецентральных или непотенциальных полей можно найти, например, в книге [51].)Для сферы и плоскости Лобачевского задача описания потенциалов, для которых все финитные траектории замкнуты, рассматривалась во многих работах(см.
[84], [110], [86], [77], [25]). Оказывается, что в этом смысле для сферы аналогаминьютоновского и гуковского потенциалов − 1r и r2 являются функции −ctg θ и tg 2 θ,а для плоскости Лобачевского — функции −cth θ и th 2 θ.2. Еще один подход к определению ньютоновского потенциала V в плоском пространстве заключается в решении уравнения Пуассона, которое для нулевой плотности материи превращается в уравнение Лапласа ∆V = 0. Кроме констант существуют лишь следующие сферически симметричные решения уравнения Лапласав n-мерном евклидовом пространстве (с точностью до умножения на константу):r2−n при n ≥ 3 и ln r при n = 2.
Таким образом, в трехмерном евклидовом пространстве гармонической является функция1.rЕсли рассматривать плоское дви-жение под действием гравитационного потенциального поля (например, в обычнойзадаче Кеплера) как редукцию трехмерной задачи, то и в двумерном случае можноопределять ньютоновский потенциал как − 1r .202Для n-мерной сферы (постоянной кривизны 1) и n-мерного пространства Лобачевского (постоянной кривизны −1) решениями уравнения Лапласа (инвариантными относительно вращений вокруг притягивающего центра) являются соответственно функции (tg r)2−n и (th r)2−n при n ≥ 3 и функции ln tg r и ln th r при n = 2(здесь r — это расстояние до притягивающего центра). Как и в плоском случае,для двумерной сферы можно считать, что аналог ньютоновского потенциала есть(с точностью до коэффициента) −ctg r, т.
е. гармоническая функция на трехмернойсфере.Замечание 38. Кажется маловероятным, чтобы для произвольной метрики существовали (притягивающие) потенциалы, для которых все финитные траекториибыли бы замкнуты. С геометрической точки зрения интересна обратная задача:описать метрики, для которых существуют такие потенциалы.Замечание 39.
Отметим еще одну из возможных интерпретаций выраженийдля ньютоновских потенциалов в плоском пространстве (1/r), на сфере (ctg r) ив пространстве Лобачевского (cth r). Рассмотрим функцию r в каждом из этих пространств, равную расстоянию до притягивающего центра. Тогда легко проверяется,что функция ∆r, где ∆ — оператор Лапласа, совпадает (с точностью до коэффициента) с1rв плоском пространстве, с ctg r на сфере и с cth r в пространстве Лоба-чевского, причем для любой размерности.Итак, в качестве ньютоновского потенциала на двумерной сфере мы рассматриваем функцию ctg θ, где θ — угловая величина дуги, соединяющей точку с притягивающим центром.Пусть r1 , r2 — радиус-векторы (с началом в центре сферы) неподвижных притягивающих центров, а r — радиус-вектор пробной частицы.
Тогда потенциал задачидвух центров на сфере имеет видV =−γ1γ2ctg θ1 − ctg θ2 ,RR(31)где R — радиус сферы, γ1 , γ2 — положительные константы, характеризующие силупритяжения, а θi — угол между векторами ri и r.Обозначим притягивающие центры через P1 , P2 , а диаметрально противоположные им точки через Q1 , Q2 . Из формулы для потенциала V видно, что в точках P1 , P2203этот потенциал имеет особенности типа − 1r , а в точках Q1 , Q2 — особенности типа 1r , т. е. для ньютоновского потенциала на сфере наличие притягивающего центраприводит к появлению дополнительного отталкивающего центра (в антиподальнойточке).Отметим, что при R → ∞ ньютоновский потенциал на сфере радиуса R стремится к ньютоновскому потенциалу на плоскости, если рассматривать эти потенциалыкак функции расстояния r до притягивающего центра.
Действительно, так как расстояние r на сфере радиуса R равно Rθ, то11r1ctg θ = lim ctg =R→∞ RR→∞ RRrlimдля любого фиксированного значения r.5.2.2. Интегралы системыРассмотрим сферу {x2 + y 2 + z 2 = R2 } в R3 с декартовыми координатами x, y, z.Пусть притягивающие центры P1 и P2 имеют координаты (α, β, 0) и (−α, β, 0), гдеα2 + β 2 = R 2 .Опишем координаты на сфере, в которых гамильтониан задачи двух центровимеет лиувиллев вид, указанные в работе [89]. Это сфероконические координаты ξ, η, определяемые следующим образом.
Рассмотрим уравнение (относительно λ)x2y2z2++= 0.λ − α2 λ + β 2λЛегко проверяется, что корни имеют разные знаки. Обозначая их через ξ 2 и −η 2 ,получаем координаты (ξ, η), где 0 ≤ ξ ≤ α и 0 ≤ η ≤ β.Координатными линиями этой системы координат являются линии пересечениясферы с двумя семействами конфокальных конусов с вершиной в центре сферы.Геометрические свойства этих линий на сфере во многом аналогичны свойствамобычных эллипсов и гипербол на плоскости. Кроме того, они являются “кеплеровскими” орбитами в задаче о движении точки по сфере в поле, создаваемом однимцентром (см.
[25]).204Формулы, выражающие декартовы координаты через сфероконические имеютвид1 2(α − ξ 2 )(α2 + η 2 ),α21y 2 = 2 (β 2 + ξ 2 )(β 2 − η 2 ),βR2z2 = 2 2 ξ 2η2 .α βКинетическая и потенциальные энергии, входящие в гамильтониан H = T + Vx2 =задачи двух центров на сфере, записываются в координатах (ξ, η) следующим образом:(α2 − ξ 2 )(β 2 + ξ 2 ) 2 (α2 + η 2 )(β 2 − η 2 ) 2pξ +pη ,2(ξ 2 + η 2 )2(ξ 2 + η 2 )√√−sgn (y)(γ1 +γ2 ) (α2 +η 2 )(β 2 −η 2 ) −sgn (x)(γ1 −γ2 ) (α2 −ξ 2 )(β 2 +ξ 2 )V =+.R(ξ 2 + η 2 )R(ξ 2 + η 2 )T =где pξ , pη — импульсы, соответствующие координатам ξ и η.
Коэффициент γ1 соответствует притягивающему центру P1 с координатами (α, β, 0), а коэффициент γ2 —притягивающему центру P2 с координатами (−α, β, 0).В координатах (ξ, η) система имеет лиувиллев вид, что позволяет найти дополнительный интеграл (см., например, [51]). Этот интеграл можно записать в следующемвиде:L=(α2 − ξ 2 )(β 2 + ξ 2 )η 2 2 (α2 + η 2 )(β 2 − η 2 )ξ 2 2pξ −pη +2(ξ 2 + η 2 )2(ξ 2 + η 2 )√√sgn (y)(γ1 +γ2 ) (α2 +η 2 )(β 2 −η 2 )ξ 2 − sgn (x)(γ1 −γ2 ) (α2 −ξ 2 )(β 2 +ξ 2 )η 2+.R(ξ 2 + η 2 )Как уже отмечалось, свойства координатных линий системы координат (ξ, η)аналогичны свойствам эллипсов и гипербол на плоскости.
Например, для каждойточки координатной линии {η = const } сумма расстояний (по сфере) от этой точкидо притягивающих центров P1 и P2 , а также разность расстояний от этой точкидо точек P1 и Q2 постоянны. Аналогичное свойство выполнено и для координатныхлиний {ξ = const }. Используя этот факт, можно записать гамильтониан и интегралрассматриваемой задачи в более наглядных координатах q1 и q2 , гдеq1 = θ 2 − θ 1 ,q2 = θ2 + θ1 ,а θ1 и θ2 — угловые величины дуг, соединяющих рассматриваемую точку с центрамиP1 и P2 .205Вводя импульсы p1 и p2 , соответствующие координатам q1 и q2 , гамильтониан иинтеграл можно записать в следующем виде:2(cos q1 − cos δ) 2 2(cos δ − cos q2 ) 2 (γ1 − γ2 ) sin q1 + (γ1 + γ2 ) sin q2,p +p −cos q1 − cos q2 1cos q1 − cos q2 2R(cos q1 − cos q2 )2 cos q2 (cos δ − cos q1 ) 2 2 cos q1 (cos δ − cos q2 ) 2L=p1 −p2 +cos q1 − cos q2cos q1 − cos q2γ1 sin(q1 + q2 ) + γ2 sin(q2 − q1 )+,R(cos q1 − cos q2 )H=где через δ обозначена угловая величина дуги между центрами P1 и P2 .Координаты q1 , q2 (как и координаты ξ, η), естественно, не являются глобальными координатами на сфере (таких координат на сфере не существует).
Системакоординат (q1 , q2 ) имеет особенности в точках пересечения сферы с плоскостью, содержащей центры. В частности, точкам сферы, симметричным относительно этойплоскости, соответствуют одинаковые координаты q1 , q2 .Однако, если переменные разделяются, их координатные линии определены однозначно (если система не резонансна) самой системой, поскольку они ограничивают проекции торов Лиувилля на конфигурационное пространство.
Поэтому длярассматриваемой системы любые другие “хорошие” (т. е. разделяющиеся) переменные должны иметь вид функций qe1 (q1 ), qe2 (q2 ).Опишем координаты u, v на сфере (с теми же координатными линиями), которыеболее удобны для вычисления топологических инвариантов системы.Хорошо известно, что двумерную сферу можно двулистно накрыть двумернымтором с четырьмя точками ветвления. Накрытие можно выбрать так, что точкамиветвления будут притягивающие центры P1 , P2 и диаметрально противоположныеим точки Q1 , Q2 , а прообразами “эллипсов” {q1 = const } и {q2 = const } будуткоординатные линии (глобальных) угловых координат u, v на торе.Это накрытие можно описать при помощи эллиптических функций Якоби(см., например, [4]).
Рассмотрим отображение тора T2 с угловыми координатами u, vв пространство R3 с декартовыми координатами x, y, z, задаваемое формуламиx = R sn(u, k1 ) dn(v, k2 ) ,y = R sn(v, k2 ) dn(u, k1 ) ,z = R cn(u, k1 ) cn(v, k2 ) .(32)206Здесь sn(u, k1 ), cn(u, k1 ), dn(u, k1 ) — функции Якоби с модулем k1 =sn(v, k2 ), cn(v, k2 ), dn(v, k2 ) — функции Якоби с модулем k2 =βRαR= sin 2δ , а= cos 2δ (где, как ивыше, δ — угловая величина дуги между центрами P1 и P2 ). В дальнейшем, длякраткости, мы не будем указывать модуль, подразумевая, что для функций Якобиот переменной u модуль равен k1 , а для функций Якоби от переменной v модульравен k2 .Используя свойства функций Якоби, легко проверить, что при отображении,задаваемом формулами (32), образ любой точки тора (u, v) есть точка на сфере{x2 + y 2 + z 2 = R2 }.
При этом в каждую точку сферы (кроме точек P1 , P2 , Q1 , Q2 )отображается по две точки тора. Таким образом, отображение (32) есть двулистноенакрытие T2 → S2 , разветвленное в четырех точках.Это накрытие удобно представлять следующим образом. Первые две из формул (32) задают непрерывное взаимно-однозначное отображение прямоугольника{|u| ≤ K1 , |v| ≤ K2 } на круг {x2 + y 2 ≤ R2 }, где K1 , K2 — полные эллиптическиеинтегралы первого рода, соответствующие модулям k1 , k2 .
При этом вершины прямоугольника переходят в точки граничной окружности с координатами (±α, ±β).Это отображение продолжается на всю плоскость R2 (u, v) при помощи симметрийотносительно сторон прямоугольника. Учитывая третью формулу (32), получаемотображение плоскости R2 (u, v) на сферу {x2 + y 2 + z 2 = R2 }.Рис. 33: Координаты u, v на сфереНа рис. 33 изображено разбиение плоскости R2 (u, v) на прямоугольники со сторонами 2K1 , 2K2 , каждый из которых отображается на полусферу (заштрихованные —на “верхнюю” {z ≥ 0}, незаштрихованные — на “нижнюю” {z ≤ 0}).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
