Топология особенностей интегрируемых гамильтоновых систем (1097913), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Действительно, любое подмногообразие Qj имеет тривиальное нормальное расслоение и реализует нетривиальный цикл в гомологиях фазового пространства. Но в CP 2 таких подмногообразий не существует, поскольку для CP 2 формапересечения, определенная на двумерных гомологиях, положительно определена(если γ — образующая в H2 (CP 2 , Z), то γ ◦ γ = 1).Аналогичным образом можно показать, что интегрируемая гамильтонова система на (CP 2 , ω0 ) не может иметь фокусные особенности сложности больше 1.Действительно, особый слой фокусной особенности сложности больше 1 содержитвложенную лагранжеву сферу (см.
[12], [74]). Индекс самопересечения лагранжевой сферы равен 2 (поскольку ее окрестность симплектоморфна кокасательному расслоению; см. [95]), но таких подмногообразий в CP 2 также не существует. Действительно, если лагранжева сфера реализует цикл kγ в H2 (CP 2 , Z), то(kγ) ◦ (kγ) = k 2 ̸= 2.Учитывая эти замечания и классификацию почти торических слоений из работ[90] и [112], получаем следующее утверждение.173Теорема 27. Существует ровно четыре типа интегрируемых гамильтоновых систем с невырожденными особенностями на симплектическом многообразии(CP 2 , ω0 ). Соответствующие им слоения Лиувилля являются почти торическими слоениями с базой Dk2 , где k = 0, 1, 2, 3.Глава 5.
ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЯИНВАРИАНТОВ ИНТЕГРИРУЕМЫХ СИСТЕМРазличные интегрируемые системы, возникающие в геометрии, механике, математической физике, исследовались с топологической точки зрения многими авторами. Один из наиболее разработанных подходов к исследованию топологии интегрируемых гамильтоновых систем подробно изложен в книге [12].
В частности,там определяются инварианты, описывающие топологию особенностей и изоэнергетических поверхностей интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенямисвободы (молекулы или инварианты Фоменко–Цишанга).В этой главе исследована топология нескольких конкретных интегрируемых систем Каждый из выбранных примеров обладает некоторыми специфическими особенностями, что позволяет продемонстрировать применение различных методов,применяемых при топологическом анализе интегрируемых систем.В разделе 5.1 рассматривается так называемый случай Соколова.
Этот интегрируемый случай был обнаружен сравнительно недавно. Система задана на орбитахкоприсоединенного представления алгебры Ли so(4), ее гамильтониан квадратичен,а дополнительный интеграл имеет степень 4.В разделе 5.2 исследуется задача двух центров на двумерной сфере. Гамильтоновы поля, задающие эту систему не полны. Однако можно провести регуляризациюи после этого применить общую теорию.В разделе 5.3 рассматривается система, описывающая многомерное твердое тело (волчок Эйлера–Манакова). При ее исследовании существенно используется тотфакт, что она обладает бигамильтоновой структурой. Применяемый подход можетбыть использован для исследования топологии других бигамильтоновых систем.5.1.
Интегрируемый случай Соколована so(4)Новые интегрируемые случаи для уравнений Эйлера на семействе шестимерныхалгебр Ли (содержащем so(4), so(3, 1), e(3)) с квадратичным гамильтонианом и ин-175тегралом четвертой степени были обнаружены А. В. Борисовым, И. С. Мамаевым,В. В. Соколовым в работах [14], [56], [57] (см.
также [15]). В этом разделе мы рассматриваем один из этих случаев, который будем называть “случаем Соколова”.В работах [64], [65] Г. Хагигатдуст исследовал топологию изоэнергетических поверхностей для интегрируемых случаев Соколова на алгебре Ли so(4), т. е. совместных поверхностей уровня инвариантов алгебры Ли so(4) и гамильтониана для этихслучаев.
В частности, им были вычислены индексы критических точек гамильтониана (как функции на 4-мерных орбитах алгебры Ли so(4)), а также описан топологический тип изоэнергетических поверхностей для всех значений энергии и параметров, задающих орбиту (см. рис. 28).В разделах 5.1.1 и 5.1.2 мы излагаем некоторые необходимые для дальнейшегорезультаты, полученные Г. Хагигатдустом (и опубликованные в совместной работес автором [66]).
Результаты автора изложены в разделе 5.1.3: найдены типы критических точек ранга 0 (теорема 31), определены перестройки торов Лиувилля (теорема 32), а также вычислены инварианты Фоменко (см. таблицу 4 в теореме 33). Темсамым получена классификация изоэнергетических поверхностей для этого случаяс точностью до грубой лиувиллевой эквивалентности (см. рис. 32).5.1.1. Основные определения и описание системыПусть g — конечномерная алгебра Ли, а g∗ — соответствующая коалгебра (пространство линейных функций на g).
Рассмотрим базис e1 , . . . , en в алгебре g. Пустьckij — структурные константы алгебры g в этом базисе:[ei , ej ] = ckij ek .Рассмотрим линейные координаты x1 , . . . , xn на g∗ , соответствующие базисуe1 , . . . , en .Определение 51. Скобка Пуассона на пространстве g∗ , заданная формулой{f, g}(x) = ckij xk∂f ∂g,∂xi ∂xjгде f, g — гладкие функции на g∗ , называется скобкой Ли–Пуассона для алгебры Ли g.176Определение 52. Уравненияẋi = {xi , H},задающие динамическую систему на g∗ , где H — гладкая функция на g∗ , называютсяуравнениями Эйлера для алгебры Ли g.Хорошо известно (см., например, [60]), что динамическая система, задаваемаяуравнениями Эйлера, является гамильтоновой (с гамильтонианом H) на орбитахкоприсоединенного представления алгебры Ли g.
Многие динамические системы,описывающие задачи механики и физики, могут быть записаны в виде уравненийЭйлера для некоторой алгебры Ли. Например, различные задачи о движении твердого тела описываются уравнениями Эйлера для алгебры Ли e(3) (см. [60], [12], [15]).Рассмотрим на пространстве so(4)∗ , двойственном к алгебре Ли so(4), линейныекоординаты S1 , S2 , S3 , R1 , R2 , R3 , в которых скобка Ли–Пуассона имеет вид{Si , Sj } = ϵijk Sk ,{Si , Rj } = ϵijk Rk ,{Ri , Rj } = ϵijk Sk .(15)где ϵijk — знак перестановки (123)→(ijk). Координаты (S1 , S2 , S3 ) и (R1 , R2 , R3 ) удобно рассматривать как компоненты двух трехмерных векторов S и R.Уравнения Эйлера на so(4)∗ с гамильтонианом H имеют видṠi = {Si , H},Ṙi = {Ri , H}.Скобка (15) обладает двумя функциями Казимираf1 = S2 + R2 ,f2 = ⟨S, R⟩,где через ⟨ , ⟩ обозначено евклидово скалярное произведение в R3 (в частности,S2 и R2 — скалярные квадраты векторов S и R).
Функции f1 и f2 коммутируютотносительно скобки Ли–Пуассона (15) со всеми функциями, их совместные поверхности уровняMc,g = {(S, R) | f1 (S, R) = c, f2 (S, R) = g}являются орбитами коприсоединенного представления. Ограничение скобки (15)на Mc,g невырождено, т. е. задает на орбитах симплектическую структуру.
При выполнении условия 2|g| < |c| эти орбиты являются 4-мерными подмногообразиями177в R6 (S, R), диффеоморфными произведению двумерных сфер S 2 × S 2 , а в случае2|g| = |c| (особые орбиты) они диффеоморфны двумерной сфере S 2 .Мы будем исследовать интегрируемый случай Соколова для уравнений Эйлерана алгебре Ли so(4). Гамильтониан H и дополнительный интеграл K для этогослучая имеют следующий вид [56]:H = αS22 −1 2S + S1 R2 − S2 R1 ,α 1(16)K =(S1 R2 − S2 R1 )(S12 + S22 + S32 − R12 − R22 − R32 )−(17)(1)1222− α(S2 R3 − S3 R2 ) + (S3 R1 − S1 R3 ) +− α (S1 R2 − S2 R1 ) .ααЗамечание 34.
При умножении всех координат на некоторую константу(S, R) → λ(S, R) орбиты Mc,g переходят в орбиты Mλ2 c,λ2 g . Поскольку гамильтониан (16) и интеграл (17) рассматриваемой системы — однородные функции координат, при этом преобразовании они также умножаются на константу. Таким образом, случай произвольного c сводится к случаю c = 1. Поэтому в дальнейшеммы будем рассматривать лишь орбиты M1,g . Более того, без ограничения общности можно предполагать, что g ≥ 0, поскольку, например, при замене координат(S1 , S2 , S3 , R1 , R2 , R3 ) → (−S1 , S2 , S3 , R1 , −R2 , −R3 ) инвариант f1 , гамильтониан H иинтеграл K сохраняются, а инвариант f2 меняет знак.Аналогичным образом можно уменьшить количество рассматриваемых случаевдля параметра α.
При замене S1 → −S1 , R1 → −R1 и α → −α, а также при заменеS1 ↔ S2 , R1 ↔ R2 и α →1αинварианты f1 и f2 сохраняются, а гамильтониан Hи интеграл K лишь меняют знак (что не влияет на топологию рассматриваемойсистемы).Итак, в дальнейшем мы будем предполагать, что параметры рассматриваемойинтегрируемой системы с гамильтонианом (16) и интегралом (17) на орбитах Mc,gудовлетворяют следующим соотношениям:c = 1,10≤g< ,20 < α ≤ 1.Важной характеристикой интегрируемой гамильтоновой системы является топология поверхностей уровня ее гамильтониана. Они называются изоэнергетическимиповерхностями.178Если система задана уравнениями Эйлера для алгебры Ли so(4), то ее изоэнергетические поверхности зависят от значения гамильтониана h и от параметров, задающих орбиту.
Таким образом, в нашем случае изоэнергетические поверхности Q3g,h —это совместные поверхности уровня инвариантов f1 , f2 алгебры Ли so(4) и гамильтониана (16), заданных на пространстве R6 (S, R), т. е.Q3g,h = {(S, R) | f1 (S, R) = 1, f2 (S, R) = g, H(S, R) = h}.В работах [64], [65] (см. также [66]) доказана следующая теорема, описывающаятопологию изоэнергетических поверхностей Q3g,h гамильтониана (16) при различныхзначениях параметров g и h.h2S32N1N1gN52N1N32S3Рис. 28: Топологический тип изоэнергетических поверхностей Q3g,hТеорема 28. Связные компоненты изоэнергетических поверхностей Q3g,h гамильтониана (16) при различных значениях g и h гомеоморфны либо трехмернойсфере S 3 , либо связной сумме нескольких экземпляров многообразия S 1 × S 2 . Болееточно, различным областям на плоскости R2 (g, h), указанным на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
