Топология особенностей интегрируемых гамильтоновых систем (1097913), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Будем повторять процедуру пока не155прийдем к началу ребра 1. Таким образом можно построить путь четной длины отначала ребра K′ до начала ребра 1. Аналогично строится путь четной длины от начала ребра K до начала ребра 1. Объединение этих путей и u-ребра, соединяющегоначало ребра K′ и начало ребра K, есть цикл нечетной длины.Из лемм 27 и 28 следует, что для ориентируемой поверхности правило, описанноев замечании 31, определяет согласованные ориентации циклов графа T (см. такжезамечания 26, 28).Опишем теперь построение кода для данной v-молекулы W .Рассматривая множество всех трехцветных графов, соответствующих седловымвершинам v-молекулы W , как один (возможно, несвязный) трехцветный граф T ,занумеруем его su-циклы и выберем отмеченные вершины.
Действуя по алгоритмуиз определения 44, построим допустимую строчку C1 (используя s-ребра графа T ) идвойственную ей строчку C2 (используя u-ребра графа T ). Далее, занумеруем (произвольно) все ребра v-молекулы W , соединяющие не седловые вершины: e1 , . . . , ep(p ≥ 0). Припишем в начале каждой из строчек C1 и C2 по p отрезков нулевой длины и будем считать, что отрезку, стоящему на i-м месте (1 ≤ i ≤ p), соответствуетребро ei .В результате мы получим пару двойственных строчек C1 , C2 , причем каждомусимволу 0 в строчке C1 соответствует некоторое ребро v-молекулы W , начало которого есть A-вершина или S-вершина, а каждому символу 0 в строчке C2 соответствует ребро v-молекулы W , конец которого есть A-вершина или S-вершина.
Чтобыпостроенная пара строчек C1 , C2 однозначно определяла исходную v-молекулу W ,осталось лишь указать тип вершины и метку (±1) для каждого символа 0. Сделаемэто следующим образом: 1) если метка на ребре равна (−1), то вместо соответствующего символа 0 напишем 0̃; 2) занумеровав все S-вершины, поставим индексы усимволов 0 и 0̃, равные номеру соответствующей S-вершины (символы 0, соответствующие A-вершинам, остаются без индексов).Упорядочим новые символы вида 0m и 0̃m следующим образом:0 < 01 < 0̃1 < 02 < 0̃2 · · · < 1 < 1 < 1′ < 1′ < .
. .Каждую полученную пару строчек C1 , C2 рассмотрим как одну “длинную” строчку D = (C1 )(C2 ). Такие строчки можно сравнивать, используя определение 45.156Определение 49. Кодом D(W ) v-молекулы W называется строчка, являющаяся наименьшей среди всех строчек, которые можно сопоставить v-молекуле W ,действуя по описанному выше алгоритму.Аналогично тому, как это было сделано в предыдущем разделе для потоковМорса, можно доказать следующее утверждение.Теорема 22. Код D(v) является полным топологическим траекторным инвариантом для потоков Морса–Смейла, т. е. потоки Морса–Смейла v1 и v2 топологически траекторно эквивалентны тогда и только тогда, когда D(v1 ) = D(v2 ).Список кодов для потоков Морса–Смейла с ≤ 3 критическими элементами приведен в разделе 3.4.3 (см.
таблицу 3).3.4.3. Список потоков малой сложностиВ таблице 2 приведен список всех потоков Морса с количеством седловых точек ≤ 2 на связных двумерных многообразиях.Таблица 2: Список потоков Морса с числом седел ≤ 2№−v[·, ·, ·]M2Код C(v)Код D(v)1(0 )(0 ) (0 )1 [1, 0, 1]S22(0 1 0 1 )(0 1 0 1′ ) (0 1 1′ )3 [2, 1, 1]S23(0 1 1 )(0 1 1′ ) (0 1 0 1′ )2 [1, 1, 2]S24(0 1 1 )(0 1 1′ ) (0 1 1′ )4 [1, 1, 1] RP 25(0 1 0 1 2 0 2 )(0 1 0 1′ 2 0 2′ ) (0 1 2 2′ 1′ )8 [3, 2, 1]S26(0 1 0 1 2 2 )(0 1 0 1′ 2 2′ ) (0 1 2 1′ 0 2′ )6 [2, 2, 2]S27(0 1 0 1 2 2 )(0 1 0 1′ 2 2′ ) (0 1 2 2′ 1′ )9 [2, 2, 1] RP 28(0 1 1 2 2 )(0 1 1′ 2 2′ ) (0 1 2 0 1′ 0 2′ )5 [1, 2, 3]9(0 1 1 2 2 )(0 1 1′ 2 2′ ) (0 1 2 2′ 0 1′ )7 [1, 2, 2] RP 210(0 1 1 2 2 )(0 1 1′ 2 2′ ) (0 1 1′ 2 2′ )10 [1, 2, 1]K211(0 1 2 0 1 2 )(0 1 2 0 1′ 2′ ) (0 1 2′ 0 1′ 2 )11 [2, 2, 2]S212(0 1 2 0 1 2 )(0 1 2 0 1′ 2′ ) (0 1 2 1′ 2′ )15 [2, 2, 1] RP 213(0 1 2 1 2 )(0 1 2 1′ 2′ ) (0 1 2′ 1′ 2 )13 [1, 2, 1]T214(0 1 2 1 2 )(0 1 2 1′ 2′ ) (0 1 2 1′ 2′ )14 [1, 2, 1]K215(0 1 2 1 2 )(0 1 2 1′ 2′ ) (0 1 2′ 0 1′ 2 )12 [1, 2, 2] RP 2S2157В первой колонке указан номер потока Морса.
Все коды C(v) можно упорядочитьв соответствии с определением 45. Поэтому этот номер можно рассматривать какпорядковый номер потока в списке “всех” потоков Морса.Во второй колонке указан код C(v) потока v. Как легко понять, символ вида K′или K′ в допустимой строчке, являющейся кодом некоторого потока Морса, всегдавстречается после соответствующего символа K. Поэтому (для простоты) штрихиво второй колонке не проставлены.В третьей колонке указан код D(v) для данного потока Морса (рассматриваемогокак поток Морса–Смейла общего вида).
Отметим, что эта колонка приведена лишьдля удобства вычисления различных характеристик потока, поскольку для потоковМорса код D(v) однозначно вычисляется по своей “левой части” C(v).В остальных колонках таблицы 2 приведены некоторые характеристики потока v, которые, конечно, вычисляются по коду C(v). В четвертой колонке указанномер кода (из этой же таблицы) для потока −v. Этот код C(−v) есть минимальная допустимая строчка, эквивалентная “правой части” кода D(v).
В пятой колонке указано количество критических элементов потока v в виде [m0 , m1 , m2 ], гдеm0 , m1 , m2 — число источников, седловых точек и стоков потока v соответственно. Впоследней колонке указан топологический тип многообразия M , на котором заданпоток v (сфера S 2 , тор T 2 , проективная плоскость RP 2 , бутылка Клейна K 2 ).Рис. 26: Список трехцветных графов для потоков Морса с 1 и 2 седламиНа рис. 26 нарисованы соответствующие трехцветные графы.
Жирными, тонкими и пунктирными линиями изображены соответственно s-ребра, u-ребра и t-ребра.Рядом с каждым графом указан его номер из таблицы 2.158Таблица 3: Потоки Морса–Смейла с числом критических элементов ≤ 3[]№Код D(v)−v(·, ·, ·), ·, (·, ·, ·)M2[[]]1 (0 ) (0 )1(1, 0, 0), 0, (1, 0, 0)S2]][[(1, 0, 0), 0, (0, 0, 1)2 (0 ) (01 )3RP 2]][[3 (01 ) (0 )2(0, 0, 1), 0, (1, 0, 0)RP 2[[]]4 (01 ) (01 )4(0, 0, 1), 0, (0, 0, 1)K2[[]]5 (01 01 ) (02 02 )5T2(0, 1, 0), 0, (0, 1, 0)[[]]6 (01 0̃1 ) (02 0̃2 )6K2(0, 1, 0), 0, (0, 1, 0)[[]]7 ( 0̃1 ) ( 0̃2 )7(0, 0, 1), 0, (0, 0, 1)K2[[]]8 ( 0̃1 0̃1 ) ( 0̃2 0̃2 )8T2(0, 1, 0), 0, (0, 1, 0)[[]]9 (0 0 ) (01 01 )16(2, 0, 0), 0, (0, 1, 0)S2[[]]10 (0 01 ) (02 02 )17(1, 0, 1), 0, (0, 1, 0)RP 2[[]]11 (0 0̃1 ) (02 0̃2 )20RP 2(1, 0, 1), 0, (0, 1, 0)[[]]12 (0 1 1 ) (01 1 01 1 )24(1, 0, 0), 1, (0, 1, 0)K2[[]](1, 0, 0), 1, (0, 1, 0)13 (0 1 1 ) (01 1 0̃1 1 )26T2[[]]14 (0 1 1 ) (0 1 1 )14(1, 0, 0), 1, (1, 0, 0)RP 2[[]]15 (0 1 1 ) (01 1 1 )31(1, 0, 0), 1, (0, 0, 1)K2[[]]16 (01 01 ) (0 0 )9(0, 1, 0), 0, (2, 0, 0)S2[[]]17 (01 01 ) (0 02 )10(0, 1, 0), 0, (1, 0, 1)RP 2[[]]18 (01 01 ) (02 03 )22(0, 1, 0), 0, (0, 0, 2)K2[[]]19 (01 01 1 1 ) (02 02 1 1 )19N2(0, 1, 0), 1, (0, 1, 0)[[]]20 (01 0̃1 ) (0 0̃2 )11RP 2(0, 1, 0), 0, (1, 0, 1)[[]]21 (01 0̃1 ) (02 0̃3 )23(0, 1, 0), 0, (0, 0, 2)K2[[]]22 (01 02 ) (03 03 )18(0, 0, 2), 0, (0, 1, 0)K2[[]]23 (01 0̃2 ) (03 0̃3 )21(0, 0, 2), 0, (0, 1, 0)K2[[]]24 (01 1 01 1 ) (0 1 1 )12(0, 1, 0), 1, (1, 0, 0)K2[[]]25 (01 1 01 1 ) (02 1 1 )28(0, 1, 0), 1, (0, 0, 1)N2[[]]26 (01 1 0̃1 1 ) (0 1 1 )13(0, 1, 0), 1, (1, 0, 0)T2[[]]27 (01 1 0̃1 1 ) (02 1 1 )29(0, 1, 0), 1, (0, 0, 1)N2[[]](0, 0, 1), 1, (0, 1, 0)28 (01 1 1 ) (02 1 02 1 )25N2[[]](0, 0, 1), 1, (0, 1, 0)29 (01 1 1 ) (02 1 0̃2 1 )27N2[[]](0, 0, 1), 1, (0, 1, 0)30 (01 1 1 ) ( 0̃2 1 0̃2 1 )36N2[[]](0, 0, 1), 1, (1, 0, 0)31 (01 1 1 ) (0 1 1 )15K2[[]]32 (01 1 1 ) (02 1 1 )32(0, 0, 1), 1, (0, 0, 1)N2[[]]33 ( 0̃1 01 1 1 ) ( 0̃2 02 1 1 )33(0, 1, 0), 1, (0, 1, 0)N2[[]]34 ( 0̃1 0̃1 ) ( 0̃2 0̃3 )35(0, 1, 0), 0, (0, 0, 2)K2[[]]35 ( 0̃1 0̃2 ) ( 0̃3 0̃3 )34K2(0, 0, 2), 0, (0, 1, 0)[[]](0, 1, 0), 1, (0, 0, 1)36 (01 1 01 1 ) ( 0̃2 1 1 )30N2159В таблице 3 приведен список всех потоков Морса–Смейла с числом критическихэлементов ≤ 3 на связных двумерных многообразиях.
Эта таблица устроена аналогично таблице 2. В четвертой колонке указано количество критических элементовпотока v в виде [(m0 , k0 , l0 ), m1 , (m2 , k2 , l2 )], где m0 , m1 , m2 — число источников, число седловых точек, число стоков потока v, через k0 и l0 обозначены соответственночисло отталкивающих предельных циклов с ориентируемой и с неориентируемойокрестностью, через k2 , l2 — аналогичные числа для притягивающих предельныхциклов. Через N 2 в пятой колонке обозначено двумерное многообразие с эйлеровойхарактеристикой −1 (связная сумма трех проективных плоскостей). Отметим, чтопересечение таблицы 2 и таблицы 3 состоит лишь из простейшего потока (номер 1в обеих таблицах) и еще одного потока (4 в таблице 2 и 14 в таблице 3).(a)(b)(c)(d)(e)Рис.
27: Список v-молекул для потоков Морса–Смейла с числом критических элементов ≤ 3Для всех кодов, перечисленных в таблице 3, на рис. 27 изображены v-молекулы.На рис. 27(a,b,c,d,e) нарисованы v-молекулы для многообразий S 2 , T 2 , RP 2 , K 2 , N 2соответственно. В этих v-молекулах встречаются только три седловых v-атома, имеющие номера 2, 3, 4 в таблице 2. При изображении v-молекул v-атомы с номерами1602 и 3 (они отличаются лишь направлением потока) обозначены буквой B, а v-атом сномером 4 обозначен через B.
Для потоков v и −v нарисована одна v-молекула (соответствующая потоку v). Если изменить ориентацию всех ребер этой v-молекулы,то получится v-молекула, соответствующая потоку −v (на рис. 27 ее номер из таблицы 3 указан в скобках).Глава 4. ТОПОЛОГИЯ МНОЖЕСТВАОСОБЕННОСТЕЙ ИНТЕГРИРУЕМОЙГАМИЛЬТОНОВОЙ СИСТЕМЫВ этой главе мы рассматриваем множество особенностей интегрируемой гамильтоновой системы “в целом”, т.
е. как подмножество в фазовом пространстве, состоящее из всех особых точек системы. Мы предполагаем, что фазовое пространствокомпактно, а все особенности системы невырождены. В этом случае множество особых точек системы имеет достаточно хорошую структуру, а именно, может бытьпредставлено в виде объединения погруженных симплектических подмногообразий.В этой главе мы изучаем некоторые свойства этих подмногообразий для систем сдвумя степенями свободы.4.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
