Топология особенностей интегрируемых гамильтоновых систем (1097913), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Этому потоку соответствуеткод C(ṽ). Отметим, что многообразие M̃ может быть несвязно, даже если многообразие M было связно.На языке v-молекул эта операция описывается следующим образом: v-атомы(. . . ←− S −→ . . . ) заменяются на пары v-атомов (.
. . ←− A A −→ . . . ), а v-атомы(S −→ . . . ) — на v-атомы (A −→ . . . ). При этом уничтожаются все имевшиеся наребрах v-молекулы метки (±1). Для того чтобы восстановить исходную v-молекулу,нужно указать, каким из v-атомов A в полученной v-молекуле W (ṽ) соответствуютv-атомы S в v-молекуле W (v), а также указать, какие метки стояли на ребрах,инцидентных этим v-атомам S.151Из построения кода для потока Морса ясно, что v-атомы (A −→ . .
. ) вv-молекуле W (ṽ) взаимно-однозначно соответствуют символам 0 в коде C(ṽ). Поэтому необходимую информацию о v-атомах S в v-молекуле W (v) можно приписатькаким-либо образом символам 0 в строчке C(ṽ) (см. ниже определение 49).Если поток Морса–Смейла v имеет притягивающие предельные циклы, то наязыке v-молекул ситуация полностью аналогична той, которая описана выше. Однако соответствие между притягивающими циклами и элементами кода C(ṽ) нетакое явное, как для отталкивающих циклов.
Дело в том, что мы строили код потока Морса, рассматривая s-ребра соответствующего трехцветного графа, т. е., посуществу, используя лишь информацию о том, как “взаимодействуют” источникии седла потока. Если же при построении кода потока Морса использовать u-ребравместо s-ребер, то символам 0 будут соответствовать притягивающие предельныециклы потока, поскольку замена s-ребер на u-ребра соответствует замене потока vна поток −v.Таким образом, при построении кода v-молекулы удобно использовать сразу обакласса допустимых строчек (т. е. построенных с использованием s-ребер и u-ребер).Из теоремы 21 следует, что коды, построенные этими двумя способами, выражаютсядруг через друга.
Опишем это соответствие в явном виде.Определение 47. Пусть допустимая строчка C1 построена по алгоритму, описанному в определении 44, для некоторого трехцветного графа T . Допустимуюстрочку C2 назовем двойственной к строчке C1 , если ее можно построить следующим образом: занумеруем su-циклы и выберем отмеченные вершины точно также, как и при построении строчки C1 ; далее будем действовать согласно алгоритму из определения 44, но рассматривая везде u-ребра вместо s-ребер. Кроме того,если строчка C1 имеет отрезки нулевой длины, то по определению полагаем, чтодвойственная строчка C2 имеет столько же отрезков нулевой длины.Замечание 30. Ясно, что отношение двойственности симметрично.
Поэтомуможно говорить о двойственных допустимых строчках. Отметим, что отношениедвойственности не сохраняется при замене допустимых строчек на эквивалентные.В частности, коды, соответствующие двойственным строчкам, не обязаны бытьдвойственными.152Для каждого ориентированного s-ребра трехцветного графа T определено следующее за ним ориентированное s-ребро в соответствующем st-цикле.
Если фиксировать нумерацию su-циклов графа T и выбор отмеченных вершин в них, тоэто соответствие однозначно определяет отображение AN → AN . Таким образом,для каждой допустимой строчки C определена некоторая биекция RC : AN → AN .Сформулируем это в виде следующего определения.Определение 48. Каждой допустимой строчке C сложности N сопоставимоперацию RC : AN → AN , действующую по следующим правилам:1) если символ X ∈ AN содержится в строчке C, то RC (X) есть символ, следующийза X в строчке C (при этом мы считаем, что за последним символом отрезкаследует его первый отличный от нуля символ);2) если символ X ∈ AN не содержится в строчке C, то RC (X) = RC−1 (X), где, каки раньше, мы полагаем по определению X = X, т.
е. в этом случае RC (X) естьсимвол, предшествующий символу X (который в силу определения 43 обязансодержаться в строчке C, если X не содержится в ней).Как легко понять, задание операции RC определяет саму строчку C с точностьюдо применения операций (3) и (4) из леммы 26. Из определения 47 следует, чтострочка, двойственная к данной строчке C1 тоже определена с точностью до применения операций (3) и (4) из леммы 26. Поэтому, для того чтобы описать правилопостроения некоторой допустимой строчки C2 , двойственной к строчке C1 , достаточно описать связь между операциями RC1 и RC2 .Лемма 27.
Пусть C2 — допустимая строчка, двойственная к допустимойстрочке C1 сложности N . Тогда RC2 = ψ ◦ RC1 ◦ φ, где операции φ, ψ : AN → ANопределяются следующим образом:φ:K 7→ K′ ,K′ 7→ K ,K 7→ K , K′ 7→ K′ψ :K 7→ K ,K′ 7→ K′ ,K 7→ K′ , K′ 7→ Kдля любого K ∈ {1, .
. . , N}.Доказательство. Геометрически операции φ и ψ означают следующее: еслиX ∈ AN есть обозначение ориентированного ребра в некотором su-цикле, то φ(X) —обозначение другого ребра с тем же концом, а ψ(X) — обозначение другого ребра стем же началом, что и у ребра X (см. рис. 25(a,b)).153Отсюда сразу следует утверждение леммы — см. рис. 25(c), где Y = φ(X),а RC2 (X) = ψ(RC1 (Y)).(a)(b)(c)Рис. 25: Соответствие между двойственными строчкамиИспользуя лемму 27, не сложно описать алгоритм построения некоторой строчки, двойственной к данной строчке.
Например, строчку C̃, минимальную среди всехстрочек, двойственных к данной строчке C, можно построить следующим образом.Сначала выписываем отрезки нулевой длины (столько, сколько их содержится встрочке C). Затем начинаем выписывать отрезки с символами из AN : первый символ первого отрезка есть 1, следующий за ним символ есть RC̃ (1), и т. д. пока неполучим опять символ 1. Начиная выписывать следующий отрезок, среди всех таких символов X, для которых ни X, ни X еще не использовались, выбираем наименьший — он будет первым символом отрезка. Если на каком-то шаге уже нельзявыбрать такой символ (это означает, что мы использовали 2N символов), то минимальная двойственная строчка построена.Пример 11.Рассмотрим описанный алгоритм на примере кода C=(0 1 0 1′ 2 2′ ) из примера 10: выписывая первый отрезокφRψC1 7−→ 1′ 7−→2 7−→ 2φRψC2 7−→ 2′ 7−→1′ 7−→ 1′φRψC1′ 7−→ 1 7−→1 7−→ 1 ,получаем 0 1 2 1′ ; выписывая второй отрезокφRψC2′ 7−→ 2 7−→2′ 7−→ 2′ ,получаем C̃ = (0 1 2 1′ 0 2′ ).
Отметим, что C̃ является минимальной двойственной к C строчкой, но не является минимальной строчкой в своем классе эквивалентности (которой в данном случае является исходная строчка C).Замечание 31. Для каждого трехцветного графа T однозначно определенкод C(T ), для которого также однозначно строится минимальная двойственнаястрочка C̃.
Используя эти строчки C и C̃, можно задавать ориентации st-циклов и154tu-циклов графа T . Действительно, каждый отрезок допустимой строчки есть последовательность ориентированных ребер графа T (s-ребер для строчки C и u-ребердля строчки C̃), принадлежащих одному циклу и задающих на нем одну и ту жеориентацию. В дальнейшем мы будем предполагать, что для трехцветного графа Tиз списка отрезки соответствующего ему кода C задают ориентацию st-циклов, аотрезки минимальной двойственной к коду C строчки C̃ задают ориентацию, противоположную ориентации tu-циклов.Докажем, что в ориентируемом случае описанное правило определяет согласованные ориентации циклов графа T в смысле определения 29.Лемма 28.
Пусть трехцветный граф T — есть инвариант потока Морса vна связной поверхности M . Код C(T ) не содержит символов с чертой тогда итолько тогда, когда поверхность M ориентируема.Доказательство. В одну сторону верно даже более общее утверждение.А именно: если некоторая строчка C̃(T ) не содержит символов с чертой, то поверхность ориентируема. Действительно, используя ориентацию s-ребер графа T ,соответствующую строчке C̃(T ), легко указать правильную (см.
лемму 19) расстановку меток в вершинах графа T : +1 в началах всех s-ребер и −1 в концах.Докажем теперь утверждение в другую сторону: если код C(T ) содержит символы с чертой, то поверхность M не ориентируема.Пусть s-ребра графа T ориентированы в соответствии с кодом C(T ). Для каждого st-цикла графа T имеется пересекающийся с ним su-цикл с минимальным номером. В этом su-цикле есть отмеченная вершина (назовем ее минимальной отмеченной вершиной для данного st-цикла). Как легко понять, если номер этой вершиныотличен от 1, то она не принадлежит данному st-циклу (иначе поверхность M была бы несвязной).
Из определения кода также легко следует, что первый символ счертой в строчке C(T ) не может иметь вид K. Пусть K′ — первый символ с чертойв строчке C(T ). Для любого s-ребра в st-цикле, содержащем K′ , или в более раннемst-цикле рассмотрим путь вида s–t–s–t–. . . –s–t–s–u от начала этого ребра до минимальной отмеченной вершины V для рассматриваемого st-цикла. Он, очевидно,четной длины. Вершина V также является началом некоторого s-ребра, посколькуK′ — первый символ с чертой в строчке C(T ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
