Топология особенностей интегрируемых гамильтоновых систем (1097913), страница 25

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 25)

Простейший пример различающего графа, для которого существуют два топологически траекторно не эквивалентных потока, приведен на рис. 22(a).Эти потоки можно описать следующим образом. Рассмотрим на кольце K два потока, траектории которых изображены на рис. 22(b) и рис. 22(c). Для каждого изэтих потоков внутренняя граничная окружность кольца является отталкивающимпредельным циклом, а внешняя — притягивающим. При этом никаких других критических элементов поток не имеет. Как легко понять, потоки, изображенные нарис. 22(b) и рис.

22(c), топологически траекторно не эквивалентны. Действительно, если бы существовал гомеоморфизм, переводящий траектории одного потока втраектории другого, то при этом гомеоморфизме предельные циклы одного потокаотображались бы в предельные циклы другого потока, причем с сохранением ориентации на этих циклах, индуцированной потоком. Но это невозможно, потому чтодля одного потока эти циклы представляют один и тот же элемент в группе целочисленных гомологий кольца H1 (K; Z) = Z, а для другого — противоположные.127Для каждого из двух рассмотренных потоков на кольце можно построить аналогичный поток на торе, склеив два экземпляра кольца с одинаковыми потоками погранице. В результате получим два топологически траекторно не эквивалентныхпотока Морса–Смейла на двумерном торе, каждому из которых соответствует различающий граф Пейксото, изображенный на рис.

22(a).Замечание 20. Аналогичная ошибка содержится в работе [119]. При классификации потоков Морса–Смейла с предельными циклами К. Вонг тоже действуеттак, как описано выше: разрезаем поверхность по предельным циклам; для каждогополучившегося куска рассматриваем “раскрашенный двойственный граф” (см. описание инварианта Вонга в разделе 3.2); описываем спаривание циклов “раскрашенных двойственных графов”. Информация о спаривании циклов позволяет однозначно склеить поверхность, поскольку К.

Вонг рассматривает только ориентируемыемногообразия, но не определяет поток в окрестности склеек. Иными словами, инвариант Вонга, как и инвариант Пейксото, не меняется, если изменить поток лишь вмаленькой окрестности какого-нибудь предельного цикла так, чтобы на этом цикленаправление потока изменилось на противоположное.Замечание 21. В работе [97] сформулирована теорема о биекции между классами сопряженности ξ-функций (аналог a-функций для потоков Морса–Смейла)и классами топологической траекторной эквивалентности потоков Морса–Смейла.Более точно, для потоков Морса–Смейла на многообразиях произвольной размерности доказано, что из топологической траекторной эквивалентности потоков следует сопряженность ξ-функций (если значения этих ξ-функций одинаковы на соответствующих критических элементах потоков).

Кроме того утверждается, что длядвумерных многообразий верно и обратное, т. е. сопряженность ξ-функций влечет топологическую траекторную эквивалентность соответствующих потоков. Этиутверждения можно переформулировать следующим образом: для потока Морса–Смейла на многообразии произвольной размерности ξ-функция является топологическим траекторным инвариантом, а в двумерном случае этот инвариант являетсяполным. Однако утверждение о том, что в двумерном случае инвариант являетсяполным, неверно. При его доказательстве К. Р.

Мейер ссылается на работу [107],откуда возникает та же ошибка, что и в работах М. Пейксото и К. Вонга.128Таким образом, траекторная классификация потоков Морса–Смейла и послойная классификация ξ-функций являются разными задачами (хотя эти задачи эквивалентны в случае потоков Морса — см. теорему 17).Замечание 22. Отметим, что в работах [27], [28] введено понятие “схемы потока” для потоков на двумерной сфере. Для потоков Морса–Смейла эта “схема потока”аналогична различающему графу Пейксото. В общем случае описание “схемы потока” достаточно громоздко, поскольку она определяется для потоков более общеговида, чем потоки Морса–Смейла.

Тем не менее “схема потока” является полнымтопологическим траекторным инвариантом для потоков рассматриваемого вида, вчастности, потокам из примера 8 соответствуют разные схемы.3.3.2. Описание v-атомовКак уже говорилось, для построения инварианта потока Морса–Смейла мы будем использовать идею молекулы [9].Замечание 23. Ниже мы говорим о потоке Морса–Смейла на двумерном многообразии N с границей, предполагая, что поток трансверсален границе в каждойее точке.

Отметим, что в данной ситуации всегда можно считать, что N вложенов некоторое многообразие M (без границы) так, что рассматриваемый поток естьограничение некоторого потока Морса–Смейла, заданного на M . Топологическаятраекторная эквивалентность таких потоков определяется очевидным образом.Определение 35. Пусть N — связное компактное двумерное многообразие сграницей, на котором задан поток Морса—Смейла v, трансверсальный границе вкаждой ее точке. Назовем N элементарной областью, если выполнено одно из следующих условий:1) N содержит единственный критический элемент поля v, который есть либоисточник, либо сток, либо предельный цикл;2) все критические элементы поля v в N являются седловыми точками, причемимеется хотя бы одна седловая точка.В последнем случае будем называть элементарную область седловой элементарной областью.129Определение 36.

Будем говорить, что две элементарные области эквивалентны, если потоки, заданные на них топологически траекторно эквивалентны. Классыэквивалентности элементарных областей назовем v-атомами. В частности, классыэквивалентности седловых элементарных областей — седловыми v-атомами. Назовем сложностью седлового v-атома количество седловых особых точек в соответствующей ему элементарной области.Не сложно привести список всех не седловых v-атомов. Они отличаются толькотипом самого критического элемента и топологией его окрестности. То, что другихотличий нет, следует, по существу, из результатов работы [1] (см.

также [106], [107]).Сформулируем соответствующее утверждение в следующем виде.Лемма 21. Существует ровно 6 не седловых v-атомов. Соответствующиеим элементарные области N можно описать следующим образом:1) N есть диск, содержащий единственный критический элемент поля v, который есть источник (сток);2) N есть кольцо, содержащее единственный критический элемент поля v, который есть отталкивающий (притягивающий) предельный цикл;3) N есть лист Мёбиуса, содержащий единственный критический элемент поля v, который есть отталкивающий (притягивающий) предельный цикл.Оба v-атома из п.

1) леммы 21 (диск с источником и диск со стоком) будем обозначать буквой A. Остальные четыре v-атома (кольцо или лист Мёбиуса с отталкивающим или притягивающим циклом) обозначим буквой S. Элементарные области,соответствующие v-атомам A (v-атомам S) будем называть элементарными областями типа A (типа S).Опишем теперь процедуру разбиения замкнутой поверхности с потоком Морса–Смейла на элементарные области.Определение 37. Для поверхности M с заданным на ней потоком Морса–Смейла v назовем набор гладко вложенных в нее окружностей разрезающим, еслиэти окружности попарно не пересекаются и разбивают M на элементарные области,так что для каждой окружности хотя бы одна из прилегающих к ней элементарныхобластей не является седловой.130Лемма 22. Пусть v — поток Морса–Смейла на поверхности M .

Тогда1) в поверхности M существует разрезающий набор окружностей;2) для любых двух разрезающих наборов окружностей существует гомеоморфизм h : M → M , переводящий один набор в другой и отображающий каждуютраекторию потока в себя с сохранением направления.Доказательство. Рассмотрим достаточно маленькие окрестности всех источников, стоков и предельных циклов, граничные окружности которых трансверсальны потоку v.

Очевидно, этот набор граничных окружностей разбивает M на элементарные области и, возможно, некоторое количество колец, на которых поток неимеет критических элементов, а все траектории идут с одной граничной окружности кольца на другую (здесь используется то, что v является потоком Морса–Смейла — свойство (3) из определения 27). Выбрасывая для каждого такого кольцаграничную окружность, в точках которой поток направлен внутрь кольца, получимразрезающий набор. Первое утверждение леммы доказано.

Обозначим окружностипостроенного разрезающего набора R1 , . . . , Rl .Докажем второе утверждение леммы. Пусть дан произвольный разрезающийнабор окружностей P1 , . . . , Pl′ . Уменьшая окрестности, которые мы выбирали припостроении набора R1 , . . . , Rl , можно считать, что окружности P1 , . . .

, Pl′ не пересекаются ни с одной из этих окрестностей.Рассмотрим окружность Pi с угловой координатой φ(mod2π) на ней. В силу определения 37, по крайней мере одна из двух элементарных областей, прилегающих кокружности Pi , не является седловой. Пусть, для определенности, эта элементарнаяобласть содержит сток или притягивающий цикл (случай источника или отталкивающего цикла аналогичен).

Тогда этот критический элемент есть ω-предельное множество для всех траекторий потока, пересекающих окружность Pi . Отсюда следует,что каждая точка φ окружности Pi при сдвиге вдоль соответствующей траекториипотока v на некоторое положительное время τ (φ) попадает на некоторую окружность Ri (одну и ту же для всех φ). При этом функция τ (φ) будет непрерывной (идаже гладкой), так как окружности Pi и Ri трансверсальны потоку. Таким образом,окружности Pi и Ri ограничивают в многообразии M кольцо, на котором траектории потока v идут с граничной окружности Pi на граничную окружность Ri .131Из приведенного рассуждения ясно, что окружности R1 , .

. . , Rl взаимно-однозначно соответствуют окружностям P1 , . . . , Pl′ (в частности, l = l′ ), и для каждогоi = 1, . . . , l существует гомеоморфизм hi : M → M , который является тождественным вне некоторой окрестности кольца, ограниченного окружностями Pi и Ri , отображает окружность Pi в окружность Ri и переводит каждую траекторию потока v всебя с сохранением направления. Композиция h1 ◦ · · · ◦ hl переводит набор P1 , . .

. , Plв набор R1 , . . . , Rl .Для двух произвольных разрезающих наборов достаточно рассмотреть аналогичные гомеоморфизмы переводящие каждый из этих наборов в подходящий наборR1 , . . . , Rl , а затем взять их композицию.Утверждение (2) леммы 22 означает, в частности, что элементарные области, накоторые разбивается поверхность M , с точностью до эквивалентности не зависятот выбора разрезающего набора. Таким образом, каждому потоку Морса–Смейлаоднозначно ставится в соответствие некоторый набор v-атомов.Следствие 5.Указанная операция сопоставления произвольному потокуМорса–Смейла набора v-атомов является топологическим траекторным инвариантом.Доказательство. Пусть h : M1 → M2 — гомеоморфизм, устанавливающийтопологическую траекторную эквивалентность потоков v1 и v2 . Он переводит некоторый разрезающий набор для потока v1 в набор окружностей на поверхности M2 .Этот набор окружностей не обязан быть разрезающим для потока v2 по той причине,что образы окружностей при гомеоморфизме h могут быть не трансверсальнымитраекториям потока v2 (и вообще не гладкими).

Характеристики

Список файлов диссертации