Топология особенностей интегрируемых гамильтоновых систем (1097913), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Из невырожденности исходной особенности и соображенийтрансверсальности следует, что все эти 6 точек невырождены и имеют тип седлоседло.97Предложение 14. Невырожденная особенность (X 4 , ω̃, f˜1 , f˜2 ) типа седлоседло не является особенностью типа почти прямого произведения.Доказательство. Рассмотрим топологию особого слоя L red ⊂ X 4 построенной редуцированной системы. Как и в стандартной ситуации, он имеет структурудвумерного комплекса, в котором k-мерные клетки образованы критическими точками ранга k.
Для особенностей типа почти прямого произведения все двумерныеклетки являются “четырехугольниками”, поскольку каждая из них также должнабыть (почти) прямым произведением. Покажем, что в построенном примере этоне так.Действительно, особый слой L red можно рассмотреть как подмножество трехмерного особого слоя L исходной системы на M 6 , выделяемое условием g1 + g2 + g3 =12mod Z. Этот особый слой L является прямым произведением трех восьмерок, т.е.он склеен из шести трехмерных кубов, каждый из которых можно рассматриватькак прямое произведение трех ребер графа восьмерки (по одному из каждого экземпляра атома B).Рассмотрим один из этих кубов и обозначим соответствующие ребра черезγ1 , γ2 , γ3 .
По построению, функция gi монотонно возрастает на ребре γi , принимаявсе значения от 0 до 1. Поэтому можно рассматривать gi как координату на γi , атройку (g1 , g2 , g3 ) — как стандартную систему координат на единичном кубе. Двумерные клетки слоя L red получаются в результате пересечения каждого куба с “гиперплоскостями” g1 +g2 +g3 =12mod Z. Внутри куба γ1 ×γ2 ×γ3 = [0, 1]×[0, 1]×[0, 1]это уравнение выделяет два треугольника и один шестиугольник (а не четырехугольники).Таким образом, особый слой L red склеен из 8 шестиугольников и 16 треугольников (поскольку всего восемь кубов).
Значит, построенная особенность не являетсяособенностью типа почти прямого произведения.На рис. 7(a) изображен особый слой L red в виде “развертки”. Отождествляя ребра, отмеченные одинаковыми буквами, мы получим двумерный комплекс, гомеоморфный особому слою L red (каждое его ребро имеет кратность 4).Ясно, что “развертку” особого слоя можно изобразить многими способами. Если склеивать листы, продолжающие друг друга, то можно представить особый98слой как погружение некоторой гладкой двумерной поверхности.
Оказывается,что при таком представлении шестиугольники склеиваются с шестиугольниками,а треугольники с треугольниками. Склейка шестиугольников дает двумерную поверхность с эйлеровой характеристикой χ = −4, а склейка треугольников — двесферы.a′4a3a1b′1b2b′2b1b′4b3b′3b4a′2c′1a′1c1a2c′1a′2c1a1 c′4a′1c4a2 c′4c4b′2c2b1a4b′1c2b2a3b′3c3b4a4b′4c3b3a3c′2a′3c′2a′4c′3a′3c′3b′1b2b′2b′1b3c2b1b1b′4c1a′3a3a′4a′2a1a′1a2b′4b′3b′2c′1a4b2c′2b4c′4c4c′3c3b4b3b′3a′4a′2a1(a)(b)Рис. 7: Особый слой для редуцированной системыИтак, комплекс L red можно также описать следующим образом (см. рис. 7(b)).Его 1-остов имеет 6 вершин (0-клетки) и 24 ребра (1-клетки), которые можно представлять как вершины и (ориентированные) ребра октаэдра (т. е. каждое реброоктаэдра удвоено).
Все 16 треугольных 2-клеток приклеены к 1-остову вдоль 16ориентированных циклов длины 3 (т. е. каждая треугольная 2-клетка соответствует ориентированной грани октаэдра). Каждая из 8 шестиугольных 2-клеток такжесоответствует одной из граней октаэдра, но приклеивается к шести ее ориентированным ребрам так, что каждые два соседних ребра имеют различную ориентациюотносительно ориентации на границе шестиугольника.Как уже отмечалось, бифуркационная диаграмма отображения моментаf˜1 × f˜2 → R2 состоит из трех прямых (см.
рис. 8 (a)), пересекающихся в одной точке,что отражает невыполнение условия нерасщепляемости.99На рис. 8 (b) изображена круговая молекула, соответствующая точке пересечения трех прямых. Все бифуркации лиувиллевых торов имеют тип B.Рис. 8: Бифуркационная диаграмма и круговая молекула для редуцированной системыГлава 3. КЛАССИФИКАЦИЯ ПОТОКОВМОРСА–СМЕЙЛА НА ДВУМЕРНЫХМНОГООБРАЗИЯХВ этой главе рассматривается задача топологической траекторной классификации потоков Морса–Смейла на замкнутых двумерных поверхностях. Важные результаты в этом направлении были получены М.
Пейксото и его школой (см. [105],[106], [107], [82], [119]). Однако в этих работах имеются неточности (см. пример 8,замечания 20 и 21, а также обзор главы 3 во Введении). Подчеркнем, что несмотряна указанные неточности принципиально важный факт о сведении классификациипотоков Морса–Смейла к комбинаторной задаче безусловно доказан в указанныхработах М. Пейксото.Кроме исправления указанных неточностей мы описываем новый более простойинвариант, классифицирующий потоки Морса–Смейла.Материал этой главы был опубликован в совместной работе автора с В. В. Шарко [49]. Разделы 3.1.5, 3.2.1, 3.2.2, 3.2.3, 3.3.2 содержат результаты, в получениикоторых влияние В.
В. Шарко было определяющим (это утверждение о согласованной ориентации st-циклов и tu-циклов, описание и сравнение инвариантов Пейксото, Флейтаса и Вонга, а также описание v-атомов и утверждения об их свойствах).Результаты, содержащиеся в остальных разделах, а также основные идеи работыпринадлежат автору.3.1.
Классификация потоков МорсаВ этом разделе описано построение нового траекторного топологического инварианта, классифицирующего потоки Морса–Смейла без периодических траекторий.1013.1.1. Основные определенияМы рассматриваем только гладкие векторные поля (потоки) на замкнутых двумерных многообразиях (поверхностях). Напомним некоторые определения (подробнее см., например, в [50].Определение 25. Векторные поля v1 на поверхности M1 и v2 на поверхности M2 называются топологически траекторно эквивалентными, если существуетгомеоморфизм h : M1 → M2 , переводящий траектории векторного поля v1 в траектории поля v2 с сохранением ориентации на траекториях.Разумеется, задача классификации всех гладких векторных полей на поверхности представляется необозримой, если не накладывать никаких дополнительныхограничений на характер особенностей.
Даже локальная задача классификациивесьма нетривиальна, не говоря уже о классификации на поверхности в целом.Поэтому естественно решать задачу классификации в некотором классе типичныхвекторных полей. В качестве такого класса обычно рассматривают так называемыегрубые векторные поля.Определение 26. Векторное поле v на многообразии M называется грубым,если при малом возмущении поля v топологическое поведение его траекторий неменяется, т. е.
после возмущения поле топологически траекторно эквивалентно исходному.Замечание 12. Строго говоря, в определении грубости векторного поля надо указывать, в каком классе производится возмущение. Как уже было сказано,мы рассматриваем только гладкие векторные поля, т. е. поля класса C 1 . Отметимтакже, что в этом случае можно не делать различия между векторными полями ипотоками. В дальнейшем эти термины употребляются как синонимы.Согласно теореме Пейксото, на компактном двумерном многообразии грубымивекторными полями являются в точности поля Морса–Смейла (см.
[106], [107], [54]).Этот класс полей был впервые рассмотрен в работе [53] для многообразий произвольной размерности. Для двумерных поверхностей можно определить поля Морса–Смейла следующим образом.102Определение 27. Векторное поле v на замкнутой двумерной поверхности называется полем Морса–Смейла, если1) v имеет конечное число особых точек и периодических траекторий, причемвсе они гиперболические;2) не существует траекторий, идущих из седла в седло;3) для каждой траектории поля v ее α-предельное и ω-предельное множестваявляются либо особой точкой, либо периодической траекторией (предельным циклом).Важным этапом при траекторной классификации потоков Морса–Смейла на поверхностях является классификация потоков Морса–Смейла без периодических траекторий.
Мы будем называть такие потоки потоками Морса.Замечание 13. Потоки Морса имеют также другое естественное описание. Этов точности градиенто-подобные потоки без сепаратрис, идущих из седла в седло [113]. Здесь поток называется градиенто-подобным, если он топологически траекторно эквивалентен потоку grad f для некоторой функции f и некоторой римановойметрики gij на многообразии M .
См. также замечание 16.Замечание 14. Имеется ровно один (с точностью до топологической траекторной эквивалентности) поток Морса без седловых особых точек на связной замкнутой поверхности. Это — векторное поле v на сфере S 2 , которое можно описатьследующим образом: v = grad f , где метрика на сфере индуцирована стандартнымвложением в трехмерное евклидово пространство, а функция f есть ограничениенекоторой линейной функции (иногда такой поток называют северо-южным). Всепотоки, топологически траекторно эквивалентные описанному потоку, будем называть простейшими.
Если многообразие M несвязно, то (для краткости) фраза “поток Морса на M отличен от простейшего” будет означать, что поток не являетсяпростейшим ни на одной из компонент связности многообразия M .3.1.2. Построение инвариантаОпишем теперь некоторый инвариант, траекторно классифицирующий потокиМорса на двумерных поверхностях.103Определение 28. Граф T назовем трехцветным графом, если все его вершиныимеют степень 3, а ребра раскрашены в три цвета таким образом, что в каждойвершине сходятся ребра трех разных цветов. Цвета будем обозначать буквами s, t, u.Два трехцветных графа назовем изоморфными, если они изоморфны с сохранениемраскраски (т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
