Топология особенностей интегрируемых гамильтоновых систем (1097913), страница 16
Текст из файла (страница 16)
. . , µn ) и Θ(µ′1 , . . . , µ′n ) изоморфны.Наоборот, пусть fn -графы Θ(µ1 , . . . , µn ) и Θ(µ′1 , . . . , µ′n ) изоморфны. Тогда изпредложения 6 следует, что для некоторого g ∈ S2n k выполнено∗τi∗ = gτσ(i)g −1иµ′i = gµσ(i) g −1 .∗Подставляя выражение для τσ(i)из (7) в первое из этих равенств, получаем, чтоghσ ∈ ZT , т.
е. g имеет вид hh−1σ , где h ∈ ZT .Замечание 9. Перестановки hσ ∈ HT можно выбрать так, что соответствиеσ 7→ hσ задает гомоморфизм Sn → HT , т. е. группа HT изоморфна полупрямомупроизведению ZT h Sn . Это можно сделать, например, следующим образом. Каждый элемент N множества {1, . . . , 2n k} (множество номеров вершин fn -графа) будем[]+ 1, а α = (α1 , . . . , αn ) — набор из 0 изаписывать в виде пары (m; α), где m = N2−1n[]1, являющийся двоичной записью числа N − 2n N2−1.
Определим перестановки τi∗nи hσ следующими формулами:τi∗ : (m; α1 , . . . , αn ) 7→ (m; α1 , . . . , αi−1 , αi + 1(mod2), αi+1 , . . . , αn ),hσ : (m; α1 , . . . , αn ) 7→ (m; ασ −1 (1),...,ασ −1 (n)(8)).Легко проверяется, что тогда соотношение (7) выполнено, причем соответствиеσ 7→ hσ задает гомоморфизм, являющийся (правым) обратным к λ.Согласно теореме 7, для того чтобы описать седловые особенности в терминахперестановок, нужно выписать условия эквивалентности fn -графов Θ(µ1 , . .
. , µn ) иΘ(µ′1 , . . . , µ′n ), т. е. добавить к сопряжениям, указанным в предложении 7, операции, соответствующие переворачиваниям и изменениям ориентации f -графов, об-75разованных семействами ребер этих fn -графов (см. определение 19). В результатеполучаем следующее утверждение.Теорема 8. Два fn -графа Θ(µ1 , . . . , µn ) и Θ(µ′1 , . .
. , µ′n ) эквивалентны тогдаи только тогда, когда существуют такие σ ∈ Sn и h ∈ ZT , что для каждого±1±1−1′−1 ∗−1i = 1, . . . , n либо µ′i = hh−1σ µσ(i) hσ h , либо µi = hhσ τσ(i) µσ(i) hσ h .Итак, действуя по схеме, изложенной в этом разделе, список особенностей сложности k для систем с n степенями свободы можно получить следующим образом:1) фиксируем перестановки τi∗ и hσ из S2n k (например, определяем их формулами (8));2) строим список наборов (µ1 , .
. . , µn ), где µi удовлетворяют условиям коммутирования (3);3) применяя теорему 8, устраняем из полученного списка лишние наборы, оставляя лишь попарно неэквивалентные.Приведем результат вычислений по этому алгоритму в случае двух степенейсвободы для особенностей малой сложности.Предложение 8. Для интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы количество попарно неэквивалентных седловых особенностей сложности k = 1, 2, 3 равно соответственно 4, 39, 147.Отметим, что программа, реализующая указанный алгоритм, выдает не толькоколичество, но и список особенностей.
Для сложности 1 и 2 эти списки, конечно,совпадают с известными ранее (см. разделы 2.2 и 2.3).:d:BBBeEE%$ZzD$ZDDDe%Рис. 5: Список f2 -графов, соответствующих особенностям сложности 1Например, для особенностей сложности 1 получаем список из четырех fn -графов(n = 2), изображенных на рис. 5. В частности, для каждой из этих особенностейвидны сомножители ее минимальной модели (см. (2), а также предложение 4 илемму 9).762.6.
Сомножители минимальной моделиПоскольку fn -граф является полным инвариантом седловой особенности с точностью до полулокальной лиувиллевой эквивалентности (теорема 7), он, в частности, содержит информацию о ее минимальной модели. Для конкретного fn -графапроцедура восстановления сомножителей минимальной модели следует из предложения 4 и леммы 9. А именно: если Θ — fn -граф, а Γ1 , . . . , Γn — f -графы, каждыйиз которых образован всеми ребрами одного цвета fn -графа Θ, то1) для каждого i = 1, .
. . , n все связные компоненты f -графа Γi изоморфны некоторому f -графу Γ0i ,2) атомы V1 , . . . , Vn , соответствующие f -графам Γ01 , . . . , Γ0n , являются сомножителями минимальной модели для особенности, соответствующей fn -графу Θ.Исследуем теперь следующий вопрос: какие сомножители минимальной моделимогут получиться в результате применения этой процедуры при фиксированныхk (сложность особенности) и n (число степеней свободы)?Обозначим через Ak,n множество атомов, которые могут быть сомножителямиминимальной модели для седловой особенности сложности k интегрируемой гамильтоновой системы с n степенями свободы (в частности, Ak,1 — это просто множествовсех атомов сложности k).
Введем также следующие обозначения: |V | — сложностьатома V , а sV — несвязное объединение s экземпляров атома V .Теорема 9. Если V ∈ Ak,n , то1) |V | ≤ k22k ,2) |V | является делителем числа k2n−1 ,3) существует свободное действие группы Z2n−1 на sV , где s · |V | = k2n−1 .Доказательство. Пусть Γ — f -граф, соответствующий атому V , а Θ — fn граф, соответствующий особенности, для которой V является одним из сомножителей ее минимальной модели (V1 ×· · ·×Vn )/G. Пусть, V = Vj . Перестановки, заданныеребрами fn -графа Θ, обозначим через τ1 , . . . , τn , µ1 , .
. . , µn (см. определение 16).В силу предложения 4 и леммы 9, все связные компоненты f -графа Γj (подграфа fn -графа Θ, образованного всеми ребрами цвета j) изоморфны f -графу Γ.Поскольку сложность f -графа Γj равна k2n−1 , отсюда следуют второе и третье77утверждения теоремы (действие группы Z2n−1 на sV порождается перестановкамиτ1 , . .
. , τj−1 , τj+1 , . . . , τn ).Докажем первое утверждение. Неориентированные ребра fn -графа сложности kобразуют k экземпляров одномерного остова n-мерного куба. Рассмотрим вершиныfn -графа Θ как наборы вида (m; α1 , . . . , αn ), где m — номер куба, (α1 , . . . , αn ) = α ∈Zn2 , а действие перестановки τi на вершину (m; α) есть замена αi на αi + 1(mod2).Обозначим через N m,ε гипергрань в кубе с номером m, заданную уравнением αj = ε,где ε ∈ {0, 1}. Рассмотрим проекцию π множества вершин fn -графа Θ на Zn−1,2“отождествляющую” все эти гиперграни: (m; α) 7→ (α1 , .
. . , αj−1 , αj+1 , . . . , αn ).В силу условия (b) определения 16 все вершины гиперграни N m,ε под действи′′ем перестановки µj переходят в вершины одной и той же гиперграни N m ,ε , причем π(µj (m; α)) = π(m; α) + ξ m,ε , где ξ m,ε ∈ Z2n−1 зависит только от гиперграниN m,ε , в которой лежит вершина (m; α).
Отсюда следует, что если вершины (m0 ; α)и (m0 ; α′ ) лежат в пересечении связной компоненты f -графа Γj и некоторой гиперграни N m0 ,ε0 , то π(m0 ; α′ ) − π(m0 ; α) является линейной комбинацией элементовξ m,ε ∈ Zn−1(здесь мы рассматриваем Zn−1как линейное пространство над Z2 ).22Количество таких линейных комбинаций равно 22k , количество гиперграней N m0 ,ε0равно 2k. Поэтому количество вершин f -графа Γ, соответствующего атому V , непревосходит 2k · 22k (и равно 2|V |).Как было замечено В. В.
Калашниковым [24] (см. также предложение 10 в разделе 2.7), множества A1,n одинаковы при всех n ≥ 3: они состоят из четырех атомовB, D1 , C2 , P4 (см. рис. 1 и рис. 2, а также рис. 6 ниже), т. е. для особенностей сложности 1 все возможные сомножители их минимальных моделей “появляются” приперечислении особенностей с числом степеней свободы n = 3.Следующее утверждение показывает, что тот же эффект имеет место для любой сложности: все атомы, являющиеся сомножителями минимальных моделей дляособенностей сложности k, возникают при классификации особенностей с числомстепеней свободы n = 2k + 1 (в том числе, возможно, меньшей сложности).Теорема 10.
Если n ≥ 2k + 1, то Ak,n ⊂k∪Al,2k+1 .l=1Доказательство. Рассмотрим fn -граф Θ, соответствующий особенности, длякоторой V ∈ Ak,n является j-м сомножителем ее минимальной модели. Пусть Γ0j —78связная компонента f -графа Γj (она изоморфна f -графу Γ, соответствующему атому V ). Обозначим через Q множество тех n-мерных кубов (образованных неориентированными ребрами fn -графа Θ), которые имеют непустое пересечение с Γ0j .Пусть количество таких кубов равно l (очевидно, l ≤ k).Действуя так же, как и при доказательстве первого утверждения теоремы 9,можно считать, что для любой вершины (m; α), принадлежащей f -графу Γ0j , векторπ(m; α) есть линейная комбинация векторов ξ m,ε ∈ Z2n−1 , где ε ∈ {0, 1}, а m принадлежит множеству номеров кубов из Q.
Рассмотрим подпространство P в Z2n−1 ,порожденное этими 2l векторами ξ m,ε , и выберем в нем базис η1 , . . . , ηr (очевидно,r ≤ 2l).Опишем теперь построение fr+1 -графа Θ′ , у которого связные компоненты подграфа, образованного всеми ребрами цвета r + 1, изоморфны f -графу Γ. Определиммножество Π вершин графа Θ′ как пересечение множества π −1 (P ) с множествомвершин кубов из Q. Множество Π является подмножеством множества вершин fn графа Θ и инвариантно относительно действия на нем перестановок τj и µj . Значит,эта пара перестановок задает на множестве Π структуру f -графа. Поэтому мы можем определить ребра fr+1 -графа Θ′ цвета r + 1 как ребра fn -графа Θ цвета j (соединяющие вершины из Π). Далее, все ориентированные ребра fr+1 -графа Θ′ цветов1, .
. . , r определим как петли, а неориентированные ребра цветов 1, . . . , r зададимследующим образом: вершины (m; α) и (m; α′ ) из Π соединены неориентированнымребром цвета i ∈ {1, . . . , r}, если они лежат в одной и той же гиперграни N m,ε (fn графа Θ) и π(m; α′ ) − π(m; α) = ηi .Построенный fr+1 -граф Θ′ является связным и имеет сложность l.
Его ребрацвета r + 1 образуют f -граф, связные компоненты которого изоморфны Γ. Этоозначает, что атом V является сомножителем минимальной модели для особенности,соответствующей fr+1 -графу Θ′ , т. е. V ∈ Al,r+1 , где l ≤ k и r ≤ 2l. Кроме того,Ak,n ⊂ Ak,n+1 для любых k, n, поскольку умножение любой седловой особенностина атом B увеличивает число степеней свободы на 1, но не меняет сложность.Следующее утверждение, очевидно, эквивалентно теореме 10.Следствие 1. Если n ≥ 2k + 1, то Ak,n ⊂k∪l=1Al,2l+1 .79Отметим, что, вообще говоря, Ai,2i+1 не содержится в Aj,2j+1 при i < j. Например, атом D2 принадлежит множеству A2,5 , но не принадлежит A3,7 .
Действительно,рассматривая прямые произведения D2 × B × · · · × B, получаем, что D2 ∈ A2,n длялюбого n. С другой стороны, поскольку группа симметрий атома D2 тривиальна,любое почти прямое произведение вида (D2 × V1 × · · · × Vn )/G есть прямое произведение D2 и (V1 × · · · × Vn )/G, т. е. имеет четную сложность.2.7. Случай особенностей сложности 1В случае сложности 1 условия, накладываемые на рассматриваемые особенности, и описание инварианта можно упростить.Во-первых, очевидно, что “условие нерасщепляемости” автоматически выполнено для гиперболических особенностей сложности 1 (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
