Топология особенностей интегрируемых гамильтоновых систем (1097913), страница 12
Текст из файла (страница 12)
. , x(k) состоит из 2n k элементов. Рассмотрим множество Π как множество вершин fn -графа Θ.Шаг 2. Опишем теперь множество неориентированных ребер fn -графа Θ.Каждая вершина v ∈ Π (т. е. связная компонента множества ∆(j) ) соответствует(j)(j)(j)прямому произведению Y1 × · · · × Yn , где Yi— один из двух квадратов (−ε, 0) ×(j)(j)(0, ε) или (0, ε) × (−ε, 0) на плоскости с координатами qi , pi(см. рис. 4). Каждоенеориентированное ребро, принадлежащее i-му семейству fn -графа Θ, соединяетпару вершин следующего вида:()(j)(j)× · · · × Yi−1 × (−ε, 0) × (0, ε) × Yi+1 × · · · × Yn(j) ,()(j)(j)(j)Y1 × · · · × Yi−1 × (0, ε) × (−ε, 0) × Yi+1 × · · · × Yn(j) .(j)Y1Шаг 3.
Осталось задать ориентированные ребра fn -графа Θ. Для этого напомним сначала операцию сдвига вдоль орбиты, введенную в работе [121].Пусть γi — одномерная орбита гамильтонова действия, заданная потоком(j)sgrad F̃i′в окрестности особой точки x(j) и идущая из точки x(j) в точку x(j ) . Тогдадля любой одномерной орбиты γm , которая в окрестности точки x(j) задана пото(j)ком sgrad F̃m , где m ̸= i, можно определить сдвиг этой орбиты вдоль орбиты γi .Действительно, из теоремы 3 следует, что имеется двумерная орбита гамильтонова действия (лежащая в особом слое L), которая является произведением орбит γi55и γm .
Поэтому можно определить сдвиг орбиты γm вдоль орбиты γi как сторону“квадрата” γi × γm , противоположную стороне γm .Поскольку для рассматриваемой особенности выполнено условие нерасщепляе(j)мости, операция сдвига вдоль орбиты γi каждой орбите, заданной потоком sgrad F̃mв окрестности точки x(j) , однозначно сопоставляет одну из орбит, заданных потоком(j ′ )sgrad F̃m′′в окрестности точки x(j ) (где m ̸= i). В окрестности особой точки x(j )(j ′ )(j ′ )имеется две входящие (вдоль оси pm ) и две выходящие (вдоль оси qm ) одномерные(j)орбиты, заданные потоком sgrad F̃m (см.
рис. 4). Поэтому для каждого m ̸= i орбита γi действует на соответствующих орбитах одним из двух возможных способов,отличающихся на центральную симметрию.(j)pm _ _ _ _ _ _ (j) Ym •O o (j) qm/ (j) −Ym _ _ _ _ _ _(j)(j)Рис. 4: Квадраты Ym и одномерные орбиты γm на поверхности VmРассмотрим теперь вершину v ∈ Π, заданную в виде произведения квадратов(j)Y1(j)× · · · × Yn .
Для каждого i = 1, . . . , n нам надо определить ориентированноеребро (для i-го семейства fn -графа Θ), выходящее из вершины v. Для этого до(j)(j ′ )статочно сопоставить каждому квадрату Ym один из двух квадратов ±Ym . Приm ̸= i описанная операция сдвига орбит вдоль орбиты γi естественным образом ин(j)(j ′ )дуцирует требуемое соответствие Ym 7→ ±Ym . При m = i соответствие задается(j)так: квадрат Yi , замыкание которого содержит начало орбиты γi , переходит в тот(j ′ )из двух квадратов ±Yi, замыкание которого содержит конец орбиты γi .Определение 18.
Пусть (W, ω, F1 , . . . , Fn ) — седловая особенность интегрируемой гамильтоновой системы с n степенями свободы, а Q — одна из камер в окрестности образа особого слоя при отображении момента. Будем говорить, что fn -графΘ, построение которого описано выше (шаги 1–3), соответствует седловой особенности (W, ω, F1 , . . . , Fn ) при выборе камеры Q.56Будем также говорить, что fn -граф соответствует особенности, если он соответствует ей при выборе одной из камер.(j)Замечание 4. Каждой одномерной орбите γm соответствует квадрат Ym , замыкание которого содержит ее начало (см. рис.
4). Любую n-мерную орбиту, лежащую в особом слое, можно рассматривать как произведение некоторых одномерныхорбит γ1 , . . . , γn . Таким образом, имеется естественное взаимно-однозначное соот(j)ветствие между произведениями квадратов Y1(j)× · · · × Ynи n-мерными орбита-ми, лежащими в особом слое. Это означает, что множество вершин построенногоfn -графа можно рассматривать также как множество n-мерных орбит, лежащих вособом слое.При n = 1, когда имеется лишь одна функция F1 = H, выбор камеры означает выбор одного из двух интервалов, разделенных критическим значение функции H. Поэтому в этом случае можно устранить неоднозначность, выбирая, например, тот интервал, где значения функции H меньше критического (что и былосделано в определении 13).
Таким образом, определение 13, фактически, являетсячастным случаем определения 18. Однако, говоря об f -графе, соответствующем атому (V, ω, H), мы (как и выше) будем подразумевать тот из двух f -графов, которыйсоответствует седловой особенности (V, ω, H) при выборе камеры H < 0.Отметим, что для особенностей сложности 1 (при любом n) камеру можно выбрать однозначно, т. е. независимо от набора интегралов, задающих данную особенность.В общем случае мы не можем выбрать камеру для данной особенности какимто “каноническим” образом.
Кроме того, при построении fn -графа использоваласьсимплектическая структура (для определения ориентации на одномерных орбитах).Изучим, как меняется fn -граф, соответствующий седловой особенности, при изменении симплектической структуры и при замене камеры.Лемма 1. Пусть (W, ω, F1 , . . . , Fn ) — седловая особенность интегрируемой гамильтоновой системы с n степенями свободы, а Θ — fn -граф, соответствующийей при выборе камеры Q.
Пусть ω ′ — симплектическая структура на W , относительно которой функции F1 , . . . , Fn также попарно коммутируют. Тогда fn -графΘ′ , соответствующий седловой особенности (W, ω ′ , F1 , . . . , Fn ) при выборе той же57камеры Q, можно получить из fn -графа Θ, изменяя ориентацию на всех ориентированных ребрах некоторых его семейств.Доказательство. Определение вершин (шаг 1) и определение неориентированных ребер (шаг 2) в процессе построения fn -графа, соответствующего особенности, не зависят от симплектической структуры.
При определении ориентированныхребер (шаг 3) симплектическая структура используется лишь для задания ориентации на них. При этом, фактически, использовалась не сама симплектическая структура, а ориентация одномерных орбит гамильтонова действия при помощи потоков(j)sgrad F̃i . Более того, ориентация на ребрах i-го семейства fn -графа задается ори(j)ентацией одномерных орбит, соответствующих функциям F̃i .Изменение ориентации на одной одномерной орбите γi приводит к изменениюориентации на всех одномерных орбитах, которые можно получить из γi , сдвигая еевдоль некоторых орбит. Поэтому из связности особого слоя (и теоремы 3) следует,что изменение ориентации на одной орбите γi влечет изменение ориентации на всех(j)орбитах, соответствующих функциям F̃i , а значит, и на всех ребрах i-го семействаfn -графа.Лемма 2.
Пусть Θ — fn -граф, соответствующий седловой особенности(W, ω, F1 , . . . , Fn ) при выборе камеры Q, а Γ1 , . . . , Γn — f -графы, образованные семействами его ребер. Тогда fn -граф Θ′ , соответствующий той же седловой особенности при выборе камеры Q′ , которая имеет общую (n − 1)-мерную грань с камеройQ, можно получить из fn -графа Θ, применяя к одному из f -графов Γi композициюопераций переворачивания и изменения ориентации.Доказательство.
Пусть для каждой точки x(j) выбраны нужные координа(j)(j)(j)(j)(j)(j)ты q1 , . . . , qn , p1 , . . . , pn и интегралы F̃1 , . . . , F̃n , соответствующие камере Q(см. шаг 1 построения fn -графа). Пусть камера Q′ граничит с камерой Q по i-й(n − 1)-мерной грани, т. е. прообраз камеры Q′ при отображении момента задаетсяв окрестности точки x(j) неравенствами(j)F̃1 < 0,...,(j)F̃i−1 < 0,(j)F̃i> 0,(j)F̃i+1 < 0,...,F̃n(j) < 0.Для того, чтобы прообраз камеры Q′ был задан неравенствами вида (4), достаточно(j)изменить знак у функции F̃i(j)(j)= pi · qi . Это можно сделать с помощью заме-58(j)(j)(j)(j)ны координат (qi , pi ) 7→ ±(pi , −qi ), сохраняющей симплектическую структуру.(j)В результате в окрестности каждой точки x(j) пара квадратов ±Yiи ориента-(j)ции одномерных орбит, заданные потоком sgrad F̃i , изменятся следующим образом(см.
также рис. 4): _ _ _ _ _ o •O_ _ _ _ _ _ _ _O _ _ =⇒/ _ _ _ _ _ /•o Согласно определению ориентированных ребер (шаг 3 построения fn -графа) такоепреобразование приводит к переворачиванию и изменению ориентации (см. определение 14) f -графа Γi , образованного ребрами i-го семейства fn -графа Θ.Ясно, что выбор камеры и симплектической структуры не влияет на класс лиувиллевой эквивалентности седловой особенности. Поскольку при изменении камеры или симплектической структуры fn -граф, соответствующий особенности, меняется так, как описано в леммах 1 и 2, естественно ввести следующее отношениеэквивалентности для fn -графов.Определение 19. Два fn -графа Θ и Θ′ называются эквивалентными, если Θ′можно получить из Θ, применяя следующие операции:• изменение ориентации любого из f -графов Γi ,• переворачивание любого из f -графов Γi ,где Γ1 , .
. . , Γn — f -графы, образованные n семействами ребер fn -графа Θ.Операции, указанные в определении 19, могут быть описаны на языке перестановок следующим образом. Пусть fn -граф задан набором перестановокτ 1 , µ1 , . . . , τ n , µn . Это означает, что τ 1 , .
. . , τ n образуют базисный набор (т. е. порождают свободное действие группы Zn2 ), и выполнены условия коммутирования (3). Тогда операции из определения 19 означают замену µi на µ−1и заменуiµi на τ i µi соответственно.Теперь мы можем сформулировать теорему классификации. Ее доказательствоприведено в разделе 2.4.59Теорема 7.
Две седловые особенности интегрируемых гамильтоновых системс n степенями свободы полулокально лиувиллево эквивалентны тогда и толькотогда, когда соответствующие им fn -графы эквивалентны. При этом любой связный fn -граф соответствует некоторой седловой особенности.2.4. Доказательство теоремыклассификацииИзложим кратко план доказательства.1) Сначала мы определяем “морфизмы” особенностей (определение 20). Затемдля каждого морфизма особенностей строится соответствующий ему морфизм fn графов (см. определения 17 и 21). Это соответствие согласовано с операцией композиции (лемма 3). Отсюда следует первая часть теоремы 7, т.
е. утверждение обэквивалентности fn -графов, соответствующих эквивалентным особенностям.2) Далее мы рассматриваем случай особенностей, являющихся прямыми произведениями. Для f -графов также можно определить операцию “умножения” (определение 22). Тогда любой fn -граф, соответствующий особенности типа прямого произведения, можно представить в виде произведения f -графов (лемма 4). Используяэту конструкцию и теорему 5, мы доказываем утверждение теоремы 7 для прямыхпроизведений (см.
лемму 5).3) Для любого fn -графа Θ мы строим “минимальное накрытие” Θ (определение 23), являющееся аналогом минимальной модели для особенностей (определение 15). После этого мы доказываем, что если fn -граф Θ соответствует особенностиW , то его минимальное накрытие Θ соответствует любой минимальной модели U/Gэтой особенности (лемма 9). Это позволяет свести общий случай к уже исследованному случаю прямых произведений (лемма 10).В частности из этой конструкции легко следует утверждение о единственностиминимальной модели (предложение 5).4) Последнее утверждение теоремы 7 (о реализуемости любого связного fn -графакак инварианта некоторой особенности) также доказывается с помощью перехода кнакрытиям.Приступим теперь к реализации этого плана.60Определение 20. Пусть (W, ω, F1 , .
. . , Fn ) и (W ′ , ω ′ , F1′ , . . . , Fn′ ) — седловые особенности интегрируемых гамильтоновых систем. Отображение Φ : W → W ′ назовемморфизмом особенностей, если Φ∗ (ω ′ ) = ω и Φ∗ (Fi′ ) = Fi .Отметим, что из условия Φ∗ (ω ′ ) = ω следует, что любой морфизм особенностейявляется локальным диффеоморфизмом, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
