Топология особенностей интегрируемых гамильтоновых систем (1097913), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Тем самым бесконечный “список” всех особенностейможно разбить на конечные части.Задача полулокальной классификации седловых особенностей с точностью долиувиллевой эквивалентности может быть сформулирована следующим образом:39описать алгоритм, позволяющий для данных n и k получить полный список неэквивалентных седловых особенностей сложности k для систем с n степенями свободы.Отметим, что кроме алгоритма необходим “простой язык” для описания самихсписков особенностей, а также особенностей конкретных систем. Представление особенностей в виде почти прямых произведений достаточно удобно для такого описания. Однако теорема о разложении не дает ответа на вопрос о том, как получитьсписок особенностей данного типа и данной сложности.2.1.

Атомы и f -графы2.1.1. Атомы как особенности систем с однойстепенью свободыПростейшими седловыми особенностями являются особенности систем с однойстепенью свободы. Все такие системы являются интегрируемыми по определению изадаются просто функцией (гамильтонианом H) на симплектическом многообразии(M 2 , ω). Слоями соответствующего слоения Лиувилля являются связные компоненты линий уровня гамильтониана H.Особые точки системы (M 2 , ω, H) — это критические точки функции H. Ихневырожденность (как особых точек системы) означает невырожденность второгодифференциала функции H в этих точках.Определение 11. Класс полулокальной лиувиллевой эквивалентности невырожденной особенности для системы с одной степенью свободы называется атомом.Представителей класса эквивалентности мы также будем называть атомами.Иными словами, атом можно рассматривать как гамильтонову систему (V, ω, H) сособенностью, где H — функция Морса с одним критическим значением 0, а V =H −1 [−ε, ε] — (замкнутая) связная окрестность особого слоя.Очевидно, что для систем с одной степенью свободы существует лишь однаэллиптическая особенность (с точностью до лиувиллевой эквивалентности).

Всеостальные невырожденные особенности являются седловыми атомами. Для крат-40кости будем называть их просто атомами. Количество седловых точек на особомслое (они также называются вершинами атома) называется сложностью атома.Пример 1. На рис. 1 и рис.

2 изображены все атомы сложности 1 и 2 соответственно. Они изображены в виде пары (V, L), где L — особый слой. Очевидно,что пара (V, L) однозначно определяет атом как класс полулокальной лиувиллевойэквивалентности.ABРис. 1: Эллиптический атом A и седловой атом B сложности 1C1C2D1D2Рис. 2: Список атомов сложности 22.1.2. Функции Морса и f -графы.В работе [43] рассматривалась задача классификации функций Морса на замкнутых двумерных поверхностях, имеющих единственный седловой критическийуровень, с точностью до послойного гомеоморфизма.

Как легко понять, для ориентируемых поверхностей эта задача эквивалентна задаче полулокальной классификации седловых особенностей систем с одной степенью свободы, т. е. атомов (определение 11).В работе [43] было введено понятие f -графа и построен инвариант, решающийуказанную задачу классификации (как для ориентируемых, так и для неориентируемых поверхностей). Кроме того, в работе [43] было описано соответствие междуf -графами и подгруппами конечного индекса в группе Z ∗ Z2 . Обобщение этой конструкции на многомерный случай содержится в разделе 2.4.41Поскольку при классификации особенностей интегрируемых систем нас интересует только ориентируемый случай, общую конструкцию можно упростить. Приведем некоторые определения и результаты из [43] с учетом этих упрощений.Определение 12.

Конечный граф Γ, некоторые из ребер которого ориентированы, называется f -графом, если все его вершины имеют степень 3 и в окрестностикаждой вершины он имеет следующую структуру: среди трех ребер, инцидентныхвершине, имеется одно неориентируемое, одно входящее и одно выходящее (приэтом одно и то же ориентированное ребро может быть одновременно входящим ивыходящим для некоторой вершины, т. е. граф Γ может иметь ориентированныепетли).Из определения f -графа следует, что его ориентированные ребра образуют непересекающиеся циклы, а каждое неориентированное ребро соединяет пару различных вершин.

Сложностью f -графа называется число его неориентированных ребер. Очевидно, любой f -граф сложности k имеет 2k вершин и 3k ребер.Замечание 2. Определение f -графа, данное в работе [43], отличается от определения 12, поскольку при изучении гамильтоновых систем нам достаточно рассматривать только ориентируемый случай. В исходном определении из работы [43]ребра f -графа были снабжены метками ±1. Такой объект (f -граф с метками) такжерассматривается в диссертации (в разделе 3.2.4) в связи с классификацией потоковМорса на поверхностях и назван там меченым f -графом.Рассмотрим седловую особенность гамильтоновой системы с одной степенью свободы, т.

е. гамильтонову систему (V, ω, H), где H — функция Морса с одним критическим значением 0, а V = H −1 [−ε, ε] — замкнутая связная окрестность особогослоя. Опишем конструкцию, сопоставляющую этой седловой особенности некоторый связный f -граф Γ.Рассмотрим уровень H −1 (−ε) как набор циклов, ориентированных потокомsgrad H. Рассмотрим также сепаратрисы векторного поля grad H (относительно любой метрики), начинающиеся на этих циклах и входящие в седловые точки на особом слое L = H −1 (0). Вершинами f -графа Γ будут концы сепаратрис, лежащие науровне H −1 (−ε).

Каждая пара сепаратрис, входящих в одну и ту же особую точку,42образует неориентированное ребро f -графа Γ. Ориентированными ребрами будутотрезки циклов H −1 (−ε) между вершинами.Определение 13. Будем говорить, что построенный f -граф Γ соответствуетгамильтоновой системе (V, ω, H) (или седловой особенности, заданной этой системой).Подчеркнем, что f -граф Γ, соответствующий атому (V, ω, H), не предполагается вложенным в V , а является абстрактным графом, удовлетворяющим условиямопределения 12.Два f -графа считаются одинаковыми (или изоморфными), если существует биекция множества вершин одного f -графа на множество вершин другого, при которой неориентированные ребра переходят в неориентированные, а ориентированные— в ориентированные с сохранением ориентации.Если f -графы Γ и Γ′ , соответствующие гамильтоновым системам (V, ω, H) и(V ′ , ω ′ , H ′ ), одинаковы, то эти системы эквивалентны.

Обратное утверждение “почти верно”. А именно, если система (V ′ , ω ′ , H ′ ) эквивалентна системе (V, ω, H), тосоответствующий ей f -граф Γ′ совпадает с одним из четырех f -графов, соответствующих четырем системам (V, ±ω, ±H).Это приводит к следующему определению.Определение 14. Два f -графа Γ и Γ′ называются эквивалентными, если Γ′можно получить из Γ, применяя одну из следующих двух операций (или их композицию):• изменение ориентации f -графа, т.

е. изменение ориентации у всех его ориентированных ребер;• переворачивание f -графа, т. е. замена окрестностей всех его неориентированных ребер по правилу????p _ N 6<+#k+?? |A}?? W g=⇒????p _ N 6B#S+?? A}?? W gОтметим, что изменение ориентации f -графа соответствует изменению знакау ω, а операция переворачивания — изменению знака у H и у ω. Обе операции,очевидно, являются инволюциями.43Пример 2. На рис. 3 изображены все f -графы сложности 1 и 2. Они соответствуют атомам B, C1 , C2 , D1 , D2 , приведенным на рис. 1 и 2.

При этом f -графысложности 1 переходят друг в друга при операции переворачивания. Два из пятиf -графов сложности 2 (они соответствуют атому D1 ) также переходят друг в другапри переворачивании, а остальные три при переворачивании не меняются. Отметим,что минимальная сложность f -графа, который не переходит в себя при измененииориентации, равна 4.5u_B??I?? )? ????iC1c#c#C25)iuW2_D1fD2Рис. 3: Список f -графов сложности 1 и 2Теперь соответствие между седловыми особенностями гамильтоновых систем содной степенью свободы и f -графами можно сформулировать в виде следующегоутверждения.Теорема 5 ([43]). Седловые особенности гамильтоновых систем с одной степенью свободы полулокально лиувиллево эквивалентны тогда и только тогда, когда эквивалентны соответствующие им f -графы.

При этом любой связный f -графсоответствует некоторой седловой особенности.Теорема 5 означает, что связный f -граф, рассматриваемый с точностью до переворачивания и изменения ориентации, является полным инвариантом для задачи классификации атомов. Поскольку f -граф является комбинаторным объектом,можно предъявить простой алгоритм для составления списка всех f -графов даннойсложности k. Приведем один из возможных способов алгебраического описания f графов, который удобен для их перечисления с помощью компьютера.Пусть Γ — f -граф сложности k.

Рассмотрим некоторую нумерацию его вершин1, 2, . . . , 2k. Тогда ориентированные ребра f -графа Γ задают перестановку µΓ ∈ S2k(где Sm — симметрическая группа степени m), которая переводит i в j, если существует ориентированное ребро, идущее из вершины с номером i в вершину сномером j. Аналогично, неориентированные ребра задают перестановку τΓ ∈ S2k ,44переставляющую местами i и j, если существует неориентированное ребро, соединяющее вершины с номерами i и j.По паре перестановок τΓ , µΓ ∈ S2k исходный f -граф Γ однозначно восстанавливается. А именно, в качестве множества вершин рассмотрим множество {1, 2, . . .

, 2k},неориентированные ребра задаются (неупорядоченными) парами {i, τΓ (i)}, а ориентированные ребра — упорядоченными парами {i, µΓ (i)}, где i = 1, 2, . . . , 2k. Очевидно, что эта процедура (построение f -графа по паре перестановок τ, µ ∈ S2k )корректно определена, если перестановка τ “разбивает вершины на пары”, т. е.

Характеристики

Список файлов диссертации