Топология особенностей интегрируемых гамильтоновых систем (1097913), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

е. тройкой чисел(m1 , m2 , m3 ), равных количеству эллиптических, гиперболических и фокусных компонент соответственно. (Отметим, что в случае двух степеней свободы особые точки34ранга ноль называются также точками типа центр-центр, центр-седло, седло-седло,фокус-фокус для типов (2, 0, 0), (1, 1, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 1) соответственно.)Задача полулокальной классификации особенностей гораздо сложнее. Даже “малые” окрестности особых слоев могут иметь сложную топологию и не задаютсяоднозначно простыми числовыми характеристиками (такими как ранг, количествоособых точек на слое и т.

п.).1.3. Почти прямые произведенияОпишем теперь некоторый метод, позволяющий конструировать “сложные” особенности из “простых”.Пусть (M 2k , ω, F1 , . . . , Fk ) и (M̃ 2l , ω̃, F̃1 , . . . , F̃l ) — интегрируемые гамильтоновысистемы. Рассмотрим прямое произведение M 2k × M̃ 2l . Интегралы Fi , F̃j и 2-формыω, ω̃ естественным образом поднимаются на многообразие M 2k × M̃ 2l (сохраним дляних прежние обозначения). В результате мы получаем новую интегрируемую систему (с k + l степенями свободы)(M 2k × M̃ 2l , ω + ω̃, F1 , .

. . , Fk , F̃1 , . . . , F̃l ).Точка (x, x̃) ∈ M 2k × M̃ 2l является особой точкой системы тогда и только тогда,когда хотя бы одна из точек x, x̃ является особой. Более того, особая точка (x, x̃)является невырожденной тогда и только тогда, когда x и x̃ являются невырожденными (или неособыми), причем ранг особой точки (x, x̃) равен сумме рангов точекx и x̃.Интегрируемая гамильтонова система, полученная описанным способом, называется прямым произведением. Аналогичным образом эту операцию можно определить для произвольного числа сомножителей.Особенность интегрируемой гамильтоновой системы, рассматриваемая с локальной (соотв. полулокальной) точки зрения, называется особенностью типа прямого произведения, если она локально (соотв.

полулокально) эквивалентна прямомупроизведению систем на некоторых окрестностях соответствующих точек (соотв.слоев).35Из теоремы Лиувилля следует, что любую интегрируемую гамильтонову систему с n степенями свободы в окрестности тора Лиувилля можно рассматривать какпрямое произведение n тривиальных систем с одной степенью свободы. ТеоремаЭлиассона говорит о том, что локально каждая невырожденная особенность может быть разложена в прямое произведение базисных невырожденных особенностей(двумерных и четырехмерных).Как было доказано Н. Т. Зунгом (см.

теорему 3), аналогичное описание топологии невырожденных особенностей существует и в полулокальном случае. Это описание дается в терминах “почти прямых произведений”, которые определяются следующим образом.Рассмотрим особенность U = W1 × · · · × Wm , являющуюся прямым произведением особенностей, и действия ρ1 , . . .

, ρm конечной группы G на ее сомножителях,удовлетворяющие следующим условиям:• каждое отображение ρi (g) : Wi → Wi является симплектоморфизмом, сохраняющим функции, которые определяют слоение Лиувилля на Wi ;• действие ρ группы G на U=W1 × · · · × Wm , заданное формулойρ(g)(x1 , . . . , xm ) = (ρ1 (g)(x1 ), . . . , ρm (g)(xm )), свободно.Факторизуя пространство U = W1 × · · · × Wm по действию ρ группы G, мыполучаем гладкое многообразие U/G, причем симплектическая структура и коммутирующие функции, определяющие слоение Лиувилля, переносятся естественнымобразом с U на U/G.Определение 8.

Особенности вида (W1 × · · · × Wm )/G называются почтипрямыми произведениями. Особенности, лиувиллево эквивалентные почти прямымпроизведениям, будем называть особенностями типа почти прямого произведения.Оказывается, что все невырожденные особенности, удовлетворяющие некоторому естественному “условию нерасщепляемости”, лиувиллево эквивалентны почтипрямым произведениям простейших (двумерных и четырехмерных) особенностей.Далее мы будем в основном рассматривать гиперболические особенности ранга 0. Поэтому сформулируем здесь “условие нерасщепляемости” (определение 9) и“теорему о разложении” (теорема 3) лишь для этого случая (соответствующие определения и формулировки в общем случае см. в [121], [12], [74, раздел 4.3]).36Пусть L — невырожденная гиперболическая особенность ранга 0 интегрируемой гамильтоновой системы с n степенями свободы.

Это означает, что все особыеточки x(1) , . . . , x(k) , лежащие на слое L, являются гиперболическими особыми точками ранга 0 (будем предполагать, что число особых точек конечно; см. раздел 1.5).Рассмотрим “локальную бифуркационную диаграмму” для точки x(j) , т.

е. бифуркационную диаграмму отображения момента F, ограниченного на малую окрестностьточки x(j) . Она имеет стандартный вид, поскольку в силу теоремы Элиассона она(j)(j)(j)(j)задается уравнением Fe1 · . . . · Fen = 0, где Fe1 , . . . , Fen можно рассматривать каккоординаты в окрестности образа точки x(j) при отображении момента F. Ясно, чтоF отображает все точки x(1) , . . .

, x(k) в одну и ту же точку. Однако локальные бифуркационные диаграммы для точек x(1) , . . . , x(k) , вообще говоря, могут быть различны.“Условие нерасщепляемости” заключается в том, чтобы они были в точности одни ите же для всех точек x(1) , . . . , x(k) . Более точно это условие можно сформулироватьследующим образом.Определение 9. Будем говорить, что невырожденная гиперболическая особенность ранга 0 для системы с n степенями свободы удовлетворяет условию нерасщепляемости, если для некоторой окрестности U особого слоя L бифуркационнаядиаграмма отображения момента F : U → Rn может быть переведена некоторымдиффеоморфизмом Rn → Rn в объединение координатных гиперплоскостей.Отметим, что для всех известных нам примеров интегрируемых гамильтоновыхсистем, возникающих в механике и физике, условие нерасщепляемости выполнено.“Искусственный” пример системы, для которой это условие не выполнено, можнопостроить уже в случае двух степеней свободы (см.

раздел 2.8). (Теперь мы можем сформулировать “теорему о разложении” (отметим еще раз,что мы приводим формулировку не для произвольных невырожденных особенностей, а лишь для гиперболических особенностей ранга 0).Теорема 3 (Н. Т. Зунг [121]). Любая невырожденная гиперболическая особенность ранга 0 (для системы с n степенями свободы), удовлетворяющая условиюнерасщепляемости, полулокально эквивалентна почти прямому произведению гиперболических особенностей систем с одной степенью свободы.37Сформулируем еще один результат для систем с двумя степенями свободы, который, формально говоря, следует из “общей” теоремы Зунга о разложении, но былполучен гораздо раньше и, фактически, являлся одним из источников развития теории топологической классификации, в рамках которой, в частности, была полученаи теорема Зунга.Определение 10. Пусть (M 4 , ω, H, F ) — интегрируемая гамильтонова системас двумя степенями свободы, а Q3h = {x ∈ M 4 | H(x) = h} — ее неособая изоэнергетическая поверхность.

Интеграл F называется боттовским на Q3h , если его критические точки (как функции на Qh ) образуют подмногообразия, а ограничение F намалую трансверсальную площадку к этим подмногообразиям является функциейМорса.Не сложно понять, что условие боттовости интеграла эквивалентно тому, чтокритические точки интеграла F на Qh являются для рассматриваемой интегрируемой гамильтоновой системы невырожденными особыми точками ранга 1 (в смыслеопределения def-nondeg) — эллиптическими или гиперболическими.Теорема 4 (А. Т. Фоменко, Х. Цишанг [63]). Пусть F — боттовский интеграл на компактной неособой изоэнергетической поверхности Q3h интегрируемойгамильтоновой системы с двумя степенями свободы. Слоение Лиувилля в окрестности критического уровня интеграла F в Q3h имеет один из следующих видов (сточностью до полулокальной лиувиллевой эквивалентности):1) A × S 1 , где A — эллиптическая особенность системы с одной степенью свободы;2) V × S 1 , где V — гиперболическая особенность системы с одной степеньюсвободы;3) (V × S 1 )/Z2 , где инволюция τ , определяющая действие группы Z2 , имеетнеподвижные точки только в некоторых особых точках точках ранга 0 на V идействует как сдвиг на S 1 .Перечисленные в теореме 4 три типа слоения Лиувилля (на трехмерных кускахизоэнергетической поверхности) иногда называют 3-атомами (в отличие от “двумерных” атомов, которые подробно обсуждаются в разделе 2.1).Глава 2.

КЛАССИФИКАЦИЯ СЕДЛОВЫХОСОБЕННОСТЕЙ ИНТЕГРИРУЕМЫХГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМВ этой главе рассматриваются невырожденные особенности ранга 0, имеющиетолько гиперболические компоненты. Основная цель — получить полулокальнуюклассификацию таких особенностей с точностью до лиувиллевой эквивалентности.Опишем более точно класс особенностей, для которых решается задача классификации:1) рассматриваемый особый слой невырожден и содержит лишь конечное числоособых точек ранга 0, причем все они чисто гиперболические;2) в некоторой окрестности рассматриваемого особого слоя все слои слоения Лиувилля компактны;3) рассматриваемая особенность удовлетворяет условию нерасщепляемости(см. определение 9).В силу теоремы Зунга о разложении (теорема 3) особенность, удовлетворяющуюусловию 3), можно рассматривать как почти прямое произведение двумерных особенностей.

Именно это свойство особенности мы будем использовать, и можно былобы потребовать его выполнения вместо условия 3). Однако при исследовании конкретных систем удобнее проверять условие 3). Особенности, для которых выполнены условия 1)–3), будем называть седловыми особенностями.Ясно, что имеется бесконечное число неэквивалентных седловых особенностей.Поскольку n (число степеней свободы) и k (сложность, т. е. количество особых точекранга 0 на слое) являются инвариантами седловой особенности относительно лиувиллевой эквивалентности, имеет смысл говорить о классификации особенностейдля данной пары чисел n и k.

Характеристики

Список файлов диссертации