Топология особенностей интегрируемых гамильтоновых систем (1097913), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Для особенностей типа почти прямогопроизведения двумерные клетки являются “четырехугольниками” (поскольку каждая из них тоже есть почти прямое произведение), а в построенном примере этоне так.В главе 3 рассматривается задача классификации потоков Морса–Смейла на замкнутых двумерных многообразиях с точностью до гомеоморфизма, сохраняющеготраектории потока.Вопросы, связанные с качественным исследованием динамических систем надвумерных многообразиях (в частности, классификация таких систем) обсуждалисьмногими авторами.
Первые важные результаты в этом направлении были полученыв работах А. А. Андронова, Л. С. Понтрягина, Е. А. Леонтович, А. Г. Майера (см. [1],[27], [28], [31], а также [2], [3], [50], [100] об истории вопроса). В этих работах исследовались векторные поля достаточно общего вида. В дальнейшем С. Смейл [53], [54]12выделил класс потоков (названных впоследствии потоками Морса–Смейла), которые на двумерном многообразии, с одной стороны, являются типичными, а с другойстороны, имеют достаточно простое качественное описание.В работе [105] М. Пейксото ввел понятие “различающего графа”, сопоставляемого произвольному потоку Морса–Смейла, и сформулировал теорему о том, что этотграф является полным топологическим инвариантом, классифицирующим потокиМорса–Смейла на двумерных многообразиях с точностью до траекторной топологической эквивалентности (точные определения и описание инварианта Пейксотосм.
в разделах 3.1.1, 3.2.1, 3.3.1). В работе [105] доказана теорема реализации длятаких графов и тем самым, как утверждает М. Пейксото, “задача классификациипотоков Морса–Смейла на двумерных многообразиях сводится к задаче классификации различающих графов”.Однако инвариант, предъявленный М. Пейксото, имеет сложное описание. Поэтому трудно реализовать алгоритм сравнения двух таких графов или, например,алгоритм их перечисления для малого количества вершин. Более того, описанныйМ. Пейксото “различающий граф” является полным траекторным топологическиминвариантом на самом деле лишь для потоков Морса–Смейла без предельных циклов (иногда такие потоки называют потоками Морса).
Утверждение о том, чтоклассы эквивалентности потоков Морса–Смейла находятся во взаимно-однозначномсоответствии с различающими графами в самой работе [105] не доказывается, ноприводится ссылка на работу [107], где, как говорит М. Пейксото, “с точностью дообозначений доказана содержательная часть этого утверждения”. Однако все рассуждения в работе [107] проводятся для достаточно близких потоков и некоторые изних становятся неверными, если отбросить это условие. Для потоков Морса–Смейлас предельными циклами различающий граф Пейксото является инвариантом, но неполным, т.
е. существуют траекторно топологически не эквивалентные потоки с одинаковым различающим графом (см. пример 8 и предшествующее ему обсуждениев разделе 3.3.1).Позже появились другие описания инварианта Пейксото или похожих инвариантов. Так, например, Г. Флейтас в работе [82] описал некоторый инвариант дляпотоков Морса на двумерных многообразиях. Подход Г. Флейтаса отличается от13подхода М.
Пейксото, а предъявленный в работе [82] инвариант существенно проще,чем инвариант Пейксото (см. раздел 3.2.2). В работе К. Вонга [119] также предъявляется более простой чем у М. Пейксото инвариант для потоков Морса–Смейлана ориентируемых двумерных многообразиях. Но поскольку К. Вонг строит свойинвариант на основе работы М.
Пейксото, этот новый инвариант также являетсяполным инвариантом лишь для потоков Морса. Теорема 4.14 работы [119], утверждающая, что этот инвариант классифицирует потоки Морса–Смейла общего видана двумерных многообразиях, неверна (в работе [119] она не доказывается).Отметим, что позже предлагались и другие формы полных инвариантов для потоков Морса (см., например, [99], [108], а также недавний обзор этой тематики [21]),но мы ограничимся рассмотрением и сравнением упомянутых выше инвариантовПейксото, Флейтаса и Вонга. Кратко сформулируем сказанное выше об этих инвариантах:1) инвариант Пейксото, построенный для произвольных потоков Морса–Смейлана произвольных поверхностях, является полным траекторным топологическим инвариантом на множестве потоков Морса;2) инвариант Флейтаса является полным траекторным топологическим инвариантом для потоков Морса на произвольных поверхностях;3) инвариант Вонга, построенный для произвольных потоков Морса–Смейла наориентируемых поверхностях, является полным траекторным топологическим инвариантом для потоков Морса на ориентируемых поверхностях.Одна из целей главы 3 — дать аккуратное описание полного траекторного топологического инварианта, классифицирующего произвольные потоки Морса–Смейлана произвольных двумерных многообразиях.Поясним еще одну цель, которая ставилась при написании главы 3.В работах А.
Т. Фоменко [62], [61] была получена классификация особенностейботтовских интегралов на изоэнергетических поверхностях гамильтоновой системыс двумя степенями свободы. Позже, достаточно удобное и формальное описание этойклассификации было дано в работе А. В. Болсинова, С. В. Матвеева, А.
Т. Фоменко [9], где были введены понятия атомов и молекул. Разработанный подход, терминология, система обозначений оказались удобными для классификации не только14интегрируемых гамильтоновых систем, но и других естественных геометрическихобъектов. В главе 3 классификация потоков Морса–Смейла также проводится втерминах атомов и молекул. Сначала классифицируются каким-то образом достаточно простые объекты (мы называем их v-атомами), затем описываются правила “склейки” более сложных объектов (v-молекул) из этих v-атомов, и, наконец,классифицируются v-молекулы. Отметим, что для траекторной классификации потоков Морса достаточно v-атомов (см.
определение 36 и лемму 23), а v-молекулынужны для классификации потоков Морса–Смейла (см. определение 39 и теоремы 18, 19).Таким образом, вторая цель главы 3 — продемонстрировать, как указанный подход может быть применен к решению задачи траекторной топологической классификации потоков Морса–Смейла на двумерных поверхностях. Отметим, что некоторые идеи, используемые в главе 3, были реализованы также в работе [76], но вдругой форме.Опишем кратко структуру главы 3В разделе 3.1 строится инвариант для потоков Морса (трехцветный граф; см.определение 28), представляющий из себя граф, все вершины которого имеют степень 3, а ребра раскрашены в три цвета таким образом, что в каждой вершинесходятся ребра трех разных цветов. Два трехцветных графа считаются изоморфными, если они изоморфны как графы с сохранением раскраски.
Цвета обозначаютсябуквами s, t, u, а циклы, на которые распадается трехцветный граф после выбрасывания всех ребер одного цвета, называются tu-циклами, su-циклами и st-циклами.После этого описывается процедура сопоставления каждому потоку Морса (отличному от простейшего, т. е. не имеющего седел) некоторого трехцветного графа.Сепаратрисы потока разрезают поверхность на “четырехугольники”, каждый из которых затем разрезается еще одной траекторией, идущей из источника в сток, надва треугольника. Стороны каждого из полученных треугольников имеют тип s(траектория из источника в седло), u (траектория из седла в сток) и t (траекторияиз источника в сток).
Трехцветный граф, сопоставляемый потоку, можно рассматривать как граф, двойственный этому разбиению на треугольники, с естественнойраскраской.15Далее в разделе 3.1 доказывается, что трехцветный граф является полным топологическим инвариантом для задачи траекторной классификации потоков Морса(теорема 14). Затем доказывается, что допустимыми инвариантами являются в точности трехцветные графы с su-циклами длины 4 (теорема 15) и вычисляются топологические инварианты поверхности в терминах трехцветных графов (теорема 16).В разделе 3.2 дано описание других траекторных топологических инвариантов(Пейксото, Флейтаса, Вонга) для потоков Морса и, в частности, их выражение через трехцветный граф. Кроме того, здесь описана связь между классификациейпотоков Морса и классификацией функций Морса на двумерных поверхностях (раздел 3.2.4).Раздел 3.3 посвящен классификации потоков Морса–Смейла. Сначала обсуждается конструкция Пейксото и, в частности, приведен пример, показывающий, чторазличающий граф Пейксото не является полным топологическим инвариантомдля потоков Морса–Смейла (раздел 3.3.1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
