Топология особенностей интегрируемых гамильтоновых систем (1097913), страница 6
Текст из файла (страница 6)
В частности, построен новый топологический инвариант(fn -граф), решающий эту задачу, описан алгоритм, реализующий перечисление указанных инвариантов, эффективность этого алгоритма продемонстрирована на примере составления списков особенностей малой сложности.• Для чисто гиперболических особенностей ранга 0 интегрируемых гамильтоновых систем с любым числом степеней свободы построен алгоритм нахождениясомножителей минимальной модели по fn -графу, а также получена оценка длясложности атомов, являющихся сомножителями минимальной модели особенности произвольной сложности, не зависящая от числа степеней свободы, чтообобщает известный ранее результат об особенностях сложности 1.• Описаны гомологические свойства комплекса особенностей для интегрируемойгамильтоновой системы с двумя степенями свободы. В частности, доказано,что циклы, заданные особыми точками интегрируемой гамильтоновой системыфиксированного ранга, двойственны по Пуанкаре соответствующим классамЧженя касательного расслоения фазового пространства.
Также доказано, чтоподмногообразия, заполненные гиперболическими особенностями, имеют тривиальное нормальное расслоение в фазовом пространстве системы. В качествеследствия получено описание всех систем с невырожденными особенностямина комплексной проективной плоскости.• Предъявлен новый топологический инвариант, классифицирующий потокиМорса–Смейла на двумерных поверхностях. В частности, получен список таких потоков для малой сложности.• Проведен топологический анализ интегрируемого случая Соколова на алгебреЛи so(4). В частности, вычислены инварианты Фоменко для этой интегрируемой системы.24• Исследована топология задачи двух центров на двумерной сфере.
В частности, вычислены соответствующие инварианты Фоменко–Цишанга. Тем самымна этом примере продемонстрирована возможность применения теории топологической классификации к интегрируемым системам, гамильтоновы потокикоторых не являются полными.• Для интегрируемых систем, обладающих бигамильтоновой структурой, получено описание в алгебраических терминах множества особенностей ранга 0 иусловие их невырожденности. В частности, на основе этих результатов получено описание особенностей многомерной интегрируемой системы, описывающейдинамику n-мерного твердого тела.Результаты диссертации неоднократно излагались на семинаре «Современныегеометрические методы» и Кафедральном семинаре кафедры дифференциальнойгеометрии и приложений Механико-математического факультета МГУ, а также нанаучно-исследовательских семинарах в различных зарубежных научных центрах(Токио, Лейпциг, Бохум, Бремен, Бонн, Йена, Белград, Лафборо).
Кроме того, былисделаны доклады на следующих международных конференциях:• International conference dedicated to the 90th anniversary of L. S. Pontryagin(1998, Москва).• Symposium dedicated to 150th anniversary of birthday of Sofia V. Kovalevskaya(2000, Санкт-Петербург).• International conference «Differential Equations and Related Topics» dedicated tothe Centenary Anniversary of I. G. Petrovskii (2001, Москва).• International conference «Contemporary Geometry and Related Topics» (2002,Белград).• International conference «Classical Problems in the Rigid Body Dynamics» (2004,Донецк).• The 3rd Seminar on Geometry & Topology (2004, Табриз).• International conference «Alexandroff Readings» dedicated to 110th anniversaryof birthday of P.
S. Alexamdroff (2006, Москва).25• International Conference «Geometry, Dynamics, Integrable Systems» (2008, Белград).• International conference «Modern problems of mathematics, mechanics andtheir applications» dedicated to the 70th anniversary of rector of MSU acad.V.
A. Sadovnichy (2009, Москва).Автор благодарен своему научному консультанту академику РАН АнатолиюТимофеевичу Фоменко за постоянное внимание к работе и поддержку, всемсотрудникам кафедры дифференциальной геометрии и приложений механикоматематического факультета МГУ за исключительно теплую и дружескую атмосферу, способствующую успешной работе, а также лично Алексею ВикторовичуБолсинову за многочисленные полезные обсуждения вопросов, затронутых в диссертации.Глава 1. ОСОБЕННОСТИ ИНТЕГРИРУЕМЫХГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМВ этой главе содержится краткое описание необходимых для дальнейшего определений и результатов, связанных с интегрируемыми гамильтоновыми системами иих особенностями.
(подробнее см., например, в книге [12] и обзоре [74]).1.1. Топологический анализинтегрируемых гамильтоновых систем1.1.1. Интегрируемые гамильтоновы системыСимплектическое многообразие (M, ω) — это гладкое 2n-мерное многообразие Mс заданной на нем невырожденной замкнутой 2-формой ω, которая называется симплектической формой (или симплектической структурой).Любая гладкая функция H на симплектическом многообразии (M, ω) задаетна нем векторное поле, называемое косым градиентом функции H (обозначение:sgrad H). Это поле двойственно дифференциалу функции H относительно симплектической формы ω.Если поле sgrad H является полным на M , то оно задает однопараметрическуюгруппу диффеоморфизмов ΦtH : M → M , являющихся сдвигами на время t вдольтраекторий поля sgrad H (гамильтонов поток ). Эта динамическая система называется гамильтоновой системой с гамильтонианом H на фазовом пространстве M .Если dim M = 2n, то говорят, что гамильтонова система имеет n степеней свободы.В локальных координатах (x1 , .
. . , x2n ) гамильтонова система задается уравнениями∂H−1ẋi = (ω −1 )ij ∂x— матрица, обратная к матрице симплектической формы ω.j , где ωДля симплектического многообразия (M, ω) можно задать билинейную кососимметрическую операцию на пространстве C ∞ (M ) гладких функций на M по формуле∂f ∂g{f, g} = (ω −1 )ij ∂xi ∂xj . Эта операция называется скобкой Пуассона и задает струк-27туру алгебры Ли на C ∞ (M ). В терминах скобки Пуассона гамильтонова система сгамильтонианом H записывается в виде ẋi = {xi , H}.Функция F на фазовом пространстве M называется первым интегралом (илипросто интегралом) гамильтоновой системы с гамильтонианом H, если F постоянна вдоль траекторий системы (т. е.
вдоль траекторий векторного поля v = sgrad H).Это означает, что v(F ) = 0. В терминах скобки Пуассона это условие переписывается следующим образом: {F, H} = 0.Если скобка Пуассона двух функций тождественно равна нулю, то говорят, чтофункции коммутируют (относительно данной скобки Пуассона). Таким образом,интегралы гамильтоновой системы — это в точности функции, коммутирующие сее гамильтонианом.Определение 1. Гамильтонова система на 2n-мерном симплектическом многообразии (M, ω) (т. е. система с n степенями свободы) называется интегрируемой поЛиувиллю (или просто интегрируемой), если для нее существует n попарно коммутирующих функционально независимых интегралов F1 , .
. . , Fn , для которых соответствующие векторные поля sgrad Fi полны на M .Отметим, что условие полноты векторных полей на многообразии M автоматически выполнено, если M компактно.Функциональная независимость интегралов F1 , . . . , Fn означает, что для почтивсех точек x ∈ M дифференциалы функций dF1 (x), .
. . , dFn (x) в точке x линейнонезависимы. Точки, в которых интегралы зависимы, называются особыми точкамисистемы.Смысл определения 1 проясняет следующая классическая теорема.Теорема 1 (Теорема Лиувилля). Пусть v = sgrad H — интегрируемая по Лиувиллю гамильтонова система на симплектическом многообразии (M 2n , ω) с интегралами F1 , . . .
, Fn . Пусть L — неособая (т. е. не содержащая особых точек )связная компонента совместной поверхности уровня интегралов F1 , . . . , Fn . ТогдаL диффеоморфно прямому произведению k-мерного тора T k и Rn−k .Более того, если многообразие L компактно, то оно диффеоморфно n-мерномутору T n , и некоторая окрестность U этого тора диффеоморфна прямому произведению T n и n-мерного диска Dn , причем существуют координаты s1 , . . . , sn на28диске Dn и угловые координаты φ1 , . . . , φn на торе T n , в которых симплектическаяn∑структура ω на U имеет видdsi ∧ dφi , а гамильтонова система записываетсяi=1в виде ṡi = 0, φ̇i = ci (s1 , . . .
, sn ).Торы T n , описанные в теореме 1, называются торами Лиувилля (или лиувиллевыми торами). Координаты s1 , . . . , sn , φ1 , . . . , φn называются координатамидействие-угол.Замечание 1. Хотя выбор интегралов для конкретной гамильтоновой системынеоднозначен, обычно мы будем считать, что они фиксированы. Более того, какправило, мы не будем выделять гамильтониан среди набора интегралов. Таким образом, говоря об интегрируемой гамильтоновой системе, мы будем иметь в видунабор данных (M, ω, F1 , . . .
, Fn ), подразумевая, что гамильтониан H есть некотораяфункция от F1 , . . . , Fn .Отметим, что выбор гамильтониана важен, если интересоваться динамикой наинвариантных многообразиях системы. Однако мы будем рассматривать лишь топологические свойства слоения, порождаемого этими инвариантными многообразиями, и игнорировать динамику на них (см. определение 4).С любой интегрируемой гамильтоновой системой (M, ω, F1 , . .
. , Fn ) связано следующее действие коммутативной группы Rn на фазовом пространстве M , порожденное гамильтоновыми потоками первых интегралов.Определение 2. Любой элемент λ = (λ1 , . . . , λn ) группы ∈ Rn задает диффеоморфизм Φ1Fλ : M → M , являющийся сдвигом на 1 вдоль траекторий косого градиента функции Fλ = λ1 F1 + · · · + λn Fn . Поскольку векторные поля sgrad F1 , .
. . , sgrad Fnкоммутируют и полны на M , отображение λ 7→ Φ1Fλ является гомоморфизмомRn → Diff M и, следовательно, определяет действие группы Rn на многообразии M .Мы будем называть это действие гамильтоновым действием 1 группы Rn , порожденным функциями F1 , .
. . , Fn (или соответствующим интегрируемой системе(M, ω, F1 , . . . , Fn )).1По-видимому, здесь нет единой терминологии. В различных работах это действие называюткак “гамильтоновым”, так и “пуассоновым”.29Как видно из этого определения, интегрируемая гамильтонова система(M, ω, F1 , .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
