Топология особенностей интегрируемых гамильтоновых систем (1097913), страница 7
Текст из файла (страница 7)
. . , Fn ) однозначно определяет соответствующее гамильтоново действиегруппы Rn . Переход от гамильтонова действия группы Rn на симплектическом многообразии (M, ω) к интегрируемой гамильтоновой системе (M, ω, F1 , . . . , Fn ) эквивалентен выбору базиса в Rn (если, конечно, нам не важен выбор гамильтониана;см. замечание 1). В этом смысле понятия интегрируемой гамильтоновой системы сn степенями свободы и гамильтонова действия группы Rn эквивалентны.Интегрируемой гамильтоновой системе (M, ω, F1 , . .
. , Fn ) соответствует отображение F : M → Rn , определяемое формулой F(x) = (F1 (x), . . . , Fn (x)). Оно называется отображением момента.1.1.2. Слоение ЛиувилляОсновным объектом исследования при изучении топологии интегрируемых гамильтоновых систем является слоение (с особенностями), определяемое следующимобразом.Определение 3.
Слоение на фазовом пространстве M интегрируемой гамильтоновой системы (M, ω, F1 , . . . , Fn ), образованное связными компонентами прообразов F−1 (y) при отображении момента (т. е. связными компонентами совместных поверхностей уровня первых интегралов F1 , . . . , Fn ), называется слоением Лиувилля,соответствующим этой системе.Обозначим множество критических точек отображения момента F черезK = {x ∈ M | rk dF(x) < n}.
Множество критических значений Σ = F(K) (образмножества K при отображении F) называется бифуркационной диаграммой отображения момента F.Слои слоения Лиувилля, не содержащие критических точек отображения момента, называются регулярными. Все остальные слои называются особыми (илисингулярными).По теореме Лиувилля все компактные регулярные слои являются торами Лиувилля. Если точка y в образе отображения момента движется по гладкой кривой,не пересекая бифуркационную диаграмму Σ, то торы Лиувилля в ее прообразе глад-30ко трансформируются.
Если же точка y пересекает Σ, то происходит некотораябифуркация этих торов.1.1.3. Типы эквивалентностиОсновная задача при топологическом (качественном) исследовании интегрируемой гамильтоновой системы состоит в том, чтобы описать топологию соответствующего слоения Лиувилля. Теорема Лиувилля дает полный ответ на этот вопросв окрестности лиувиллевых торов, но не содержит почти никакой информации оструктуре слоения Лиувилля в окрестности особых слоев.Чтобы “классифицировать” интегрируемые гамильтоновы системы в какомнибудь смысле, необходимо определить для них некоторое отношение эквивалентности.Определение 4. Две интегрируемые гамильтоновы системы на U1 and U2 называются лиувиллево эквивалентными, если существует гомеоморфизм Ψ : U1 → U2 ,отображающий каждый слой слоения Лиувилля на U1 в слой слоения Лиувилляна U2 .Рассматривая другие классы отображений Ψ, мы получим другие отношенияэквивалентности. Например, можно заменить “гомеоморфизм” в определении 4 на“диффеоморфизм” или “симплектоморфизм” (см.
[74]).Кроме того, можно по-разному выбирать множества U1 и U2 в определении 4.При изучении “глобальных” свойств интегрируемых систем в качестве такого множества естественно рассматривать все фазовое пространство или изоэнергетическую поверхность системы (т. е. поверхность уровня гамильтониана). Например, дляизоэнергетических поверхностей имеется полный топологический инвариант (решающий задачу классификации в этом случае), построенный в работе [63].Выбирая в качестве множеств U1 и U2 окрестности особых точек или окрестности особых слоев соответствующих слоений Лиувилля, мы, фактически, говорим об“эквивалентности особенностей” интегрируемых систем. Более точно, локальная иполулокальная классификации особенностей интегрируемых гамильтоновых системозначают их классификацию относительно следующих отношений эквивалентности.31Определение 5. Пусть x1 и x2 — критические точки отображений моментадля интегрируемых гамильтоновых систем на (M1 , ω1 ) и (M2 , ω2 ) соответственно,а L1 ∋ x1 и L2 ∋ x2 — особые слои соответствующих слоений Лиувилля.
Будемговорить, что эти особенности локально (соотв. полулокально) лиувиллево эквивалентны, если существуют такие окрестности U1 и U2 точек x1 и x2 (соотв. слоевL1 и L2 ), что системы на U1 и U2 лиувиллево эквивалентны, причем отображение Ψиз определения 4 отображает точку x1 в точку x2 (соотв. слой L1 в слой L2 ).Как и в определении 4, здесь можно определять другие отношения эквивалентности, рассматривая различные классы отображений Ψ.
Мы рассматриваем классификацию особенностей только с точностью до лиувиллевой эквивалентности. Поэтому в дальнейшем мы иногда будем называть “лиувиллеву эквивалентность” просто“эквивалентностью”.1.2. Невырожденные особенностиКритические точки отображения момента F, соответствующего интегрируемойсистеме (M, ω, F1 , . . . , Fn ), являются ее особыми точками. Если rk dF(x) = r, тоговорят, что x является особой точкой ранга r (или особой точкой коранга n−r). Этоусловие равносильно тому, что орбита Ox соответствующего гамильтонова действиягруппы Rn , проходящая через точку x, имеет размерность r.Ясно, что каждый регулярный слой слоения Лиувилля для интегрируемой гамильтоновой системы с n степенями свободы является n-мерной орбитой соответствующего гамильтонова действия.
Особый слой L может быть объединениемнескольких орбит (разных размерностей). Если r = min dim Ox , то говорят, что Lx∈Lявляется особенностью ранга r (коранга n − r).Как обычно, чтобы говорить о классификации особенностей, необходимо выделить некоторый класс “особенностей общего положения”. Напомним сначала определение невырожденности для особенностей ранга 0 (см.
[12], [74]).Пусть x ∈ M — особая точка ранга 0 интегрируемой гамильтоновой системы (M, ω, F1 , . . . , Fn ), т. е. dFi (x) = 0 для всех i = 1, . . . , n. Тогда для каждойфункции Fi можно определить линейный оператор AFi : Tx M → Tx M по формуле32AFi = ω −1 d2Fi (x). Этот оператор является линеаризацией векторного поля sgrad Fiв точке x и может быть интерпретирован как элемент алгебры Ли sp(Tx M ) (т. е.алгебры Ли группы линейных симплектических преобразований касательного пространства Tx M ).Легко проверяется, что если {Fi , Fj } = 0, то [AFi , AFj ] = 0.
Поскольку интегралы F1 , . . . , Fn попарно коммутируют, мы получаем, что каждая особая точка xранга 0 задает коммутативную подалгебру hx в sp(Tx M ) порожденную операторамиAF1 , . . . , AFn .Определение 6. Особая точка x ∈ M 2n ранга 0 называется невырожденной,если hx является подалгеброй Картана в алгебре Ли sp(Tx M ).Определение 6 можно также переформулировать следующим образом.Определение 6 ′ . Особая точка x ∈ M 2n ранга 0 называется невырожденной,если билинейные формы d2 F1 (x), . .
. , d2 Fn (x) линейно независимы и существует линейная комбинация λ1 d2 F1 (x) + · · · + λn d2 Fn (x), для которой корни ее “характеристического многочлена”(χ(t) = detn∑)λi d Fi (x) − t · ω2(1)i=1попарно различны.Теперь сформулируем определение невырожденности в общем случае.Пусть x ∈ M — особая точка ранга r интегрируемой гамильтоновой системы(M, ω, F1 , .
. . , Fn ). Тогда орбита Ox соответствующего гамильтонова действия, проходящая через точку x, имеет размерность r.Рассмотрим следующие два линейных подпространства в касательном пространстве Tx M : подпространство Lx = Tx Ox (порожденное косыми градиентами функцийF1 , . . . , Fn в точке x) и его косо-ортогональное дополнение L′x .
Поскольку функцииF1 , . . . , Fn коммутируют, Lx есть ядро ограничения симплектической структуры ωна L′x . Отсюда следует, что ω индуцирует симплектическую форму ω̃ на факторпространстве L′x /Lx .Размерность стабилизатора Stx точки x (при гамильтоновом действии, порожденном функциями F1 , .
. . , Fn ) равна n−r. Связная компонента единицы группы Stxизоморфна Rn−r и ее действие на M порождает действие на Tx M линейными сим-33плектическими преобразованиями. Поскольку Lx и L′x инвариантны относительноэтого действия, мы получаем симплектическое (относительно формы ω̃) действиегруппы Stx = Rn−r на пространстве L′x /Lx размерности 2(n − r).Таким образом, после описанной редукции ситуация становится аналогичнойслучаю особенностей ранга 0. В частности, мы получаем коммутативную подалгебруh̃x в алгебре Ли sp(L′x /Lx , ω̃).Определение 7. Особая точка x ∈ M 2n ранга r называется невырожденной,если h̃x является подалгеброй Картана в алгебре Ли sp(L′x /Lx , ω̃).Особый слой L слоения Лиувилля L будем называть невырожденным, если всеего точки являются невырожденными.Для невырожденных особенностей интегрируемых гамильтоновых систем задачалокальной классификации решена (даже с точностью до симплектической эквивалентности).
Ответ содержится в следующей теореме (см. [81], [117], [96], [124]).Теорема 2 (теорема Элиассона). Пусть x — невырожденная особая точка ранга r интегрируемой гамильтоновой системы (M, ω, F1 , . . . , Fn ). Тогда в некоторойокрестности точки x ∈ M существуют симплектические координаты q1 , . . . , qn ,p1 , . . . , pn и интегралы Fe1 , . . .
, Fen (задающие то же слоение Лиувилля, что и интегралы F1 , . . . , Fn ) такие, что функции Fei (q1 , . . . , qn , p1 , . . . , pn ) при i = 1, . . . , rзадаются формулойFei = pi ,а при i > r — одной из следующих формул:(1) Fei = p2i + qi2(эллиптический случай),(2) Fei = pi qi(гиперболический случай),(3)Fei = pi qi+1 − pi+1 qiFei+1 = pi qi + pi+1 qi+1(случай фокус-фокус).Из теоремы Элиассона следует, что локальная структура невырожденной особенности однозначно характеризуется ее рангом r и типом, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
