Топология особенностей интегрируемых гамильтоновых систем (1097913), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Далее строится инвариант (v-молекула),классифицирующий потоки Морса–Смейла с точностью до траекторной топологической эквивалентности (разделы 3.3.2 и 3.3.3), после чего (в разделе 3.3.4) доказываются три утверждения, аналогичные приведенным выше утверждениям о потоках Морса: теорема классификации 3.23, утверждающая, что v-молекула являетсяполным топологическим инвариантом; теорема реализации 3.24 о том, что любая vмолекула является допустимой; теорема 3.25, описывающая топологию поверхностичерез характеристики соответствующей v-молекулы.В разделе 3.4 описан один из возможных способов составления списка для построенных в данной работе инвариантов. Для этого описывается представлениетрехцветных графов и v-молекул в виде простого кода (строчки символов некоторого алфавита) и алгоритм перечисления этих кодов.
В качестве примера реализацииэтого алгоритма в разделе 3.4.3 приведен полный список этих кодов (а также соответствующих трехцветных графов и v-молекул) для потоков Морса с не более чемдвумя седловыми точками (15 потоков) и для потоков Морса–Смейла с не более чемтремя критическими элементами (36 потоков).Отметим, что материал главы 3 опубликован в совместной работе автора сВ. В. Шарко [49]. При этом разделы 3.1.5, 3.2.1, 3.2.2, 3.2.3, 3.3.2 содержат результа-16ты, в получении которых влияние В. В. Шарко было определяющим, а результаты,содержащиеся в остальных разделах (и основные идеи, используемые в главе 3),принадлежат автору.В главе 4 обсуждаются некоторые “глобальные” свойства интегрируемых гамильтоновых систем и их особенностей.Вопрос о том как “классифицировать” системы на данном фазовом пространствес точностью до лиувиллевой эквивалентности (т.
е. получить “список” таких систем)в общем случае не решен. Перечислим некоторые результаты, полученные в этомнаправлении.В случае одной степени свободы классификация гамильтоновых систем с невырожденными особенностями эквивалентна классификации функций Морса с точностью до послойного гомеоморфизма. Существуют различные описания такой классификации. Например, подробное изложение решения этой задачи на языке атомови молекул дано А. В.
Болсиновым и А. Т. Фоменко в книге [12]. Отметим также,что в случае одной степени свободы имеется классификация не только с точностьюдо гомеоморфизма (лиувиллева эквивалентность), но и с точностью до симплектоморфизма. Полный список симплектических инвариантов был получен в работахЖ.-П. Дюфура, П. Молино, А. Туле [80], [115].Для случая двух степеней свободы А. Т. Фоменко и Х. Цишангом [63] построенполный топологический инвариант, решающий задачу классификации (с точностьюдо лиувиллевой эквивалентности) интегрируемых гамильтоновых систем с невырожденными особенностями на трехмерных изоэнергетических поверхностях.Имеется также полное описание интегрируемых гамильтоновых систем (для любого числа степеней свободы) в случае, когда соответствующее гамильтоново действие есть действие тора.
Первые результаты в этом направлении были получены вработах М. Атьи [71], В. Гийемина, С. Стернберга [83], а классификация в случаедействия тора (даже с точностью до симплектоморфизма) была получена Т. Дельзантом [79]. Отметим, что в случае действия тора все особенности системы являютсяэллиптическими.Случай двух степеней свободы, когда система имеет только эллиптические и фокусные особенности (т. е. не имеет седловых особенностей) был исследован в работах17Н.
К. Леунг, М. Симингтон [90], [112]. Они получили список все возможных компактных фазовых пространств для этой ситуации и описали базы соответствующихслоений Лиувилля.Отметим также еще один результат о системах с любым числом степеней свободы, принадлежащий Н. Т. Зунгу [123]. Он вводит понятие “характеристическогокласса Чженя” для интегрируемой гамильтоновой системы и доказывает, что этотинвариант является полным инвариантом систем, рассматриваемых с точностьюдо лиувиллевой эквивалентности. Следует отметить, что инвариант, предложенныйН.
Т. Зунгом, является полезным инструментом при сравнении двух систем, но недает ответа на вопрос о том, как описать класс возможных систем, например, наданном конкретном фазовом пространстве.В главе 4 мы рассматриваем множество всех особых точек интегрируемой гамильтоновой системы как комплекс в фазовом пространстве (комплекс особенностей). В случае, когда фазовое пространство компактно, а все особенности системыневырождены, этот комплекс можно представить в виде объединения погруженныхтрансверсально пересекающихся симплектических подмногообразий.
В главе 4 изучаются некоторые свойства этих подмногообразий для систем с двумя степенямисвободы.Сначала в разделе 4.1.1 описывается классическая конструкция, связанная с геометрической интерпретацией классов Чженя комплексного векторного расслоения.А именно, если набор сечений s = (s1 , . . . , sk ) комплексного расслоения E ранга kнад компактной базой удовлетворяет некоторым естественным условиям “общегоположения”, то его цикл вырождения Dj (определяемый точками, в которых первыеj сечений набора зависимы) двойствен по Пуанкаре классу Чженя ck+1−j (E).Мы применяем эту конструкцию к множеству особенностей интегрируемой гамильтоновой системы. В качестве расслоения рассматривается касательное расслоение к фазовому пространству, на котором вводится почти комплексная структура,согласованная с симплектической формой. В разделе 4.1.2, показано, что такая процедура корректна, поскольку множество почти комплексных структур, согласованных с симплектической формой, определено однозначно с точностью до гомотопии,а зависимость коммутирующих гамильтоновых векторных полей над R эквивалент-18на их зависимости над C.
Отметим, что набор сечений sgrad F1 , . . . , sgrad Fn дажедля систем с невырожденными особенностями может не быть общим и, вообще говоря, не может быть сделан общим малым возмущением в классе коммутирующихгамильтоновых векторных полей.В разделе 4.1.3 мы рассматриваем систему с двумя степенями свободы на компактном многообразии M 4 и с невырожденными особенностями. В этой ситуациироль цикла вырождения играет множество K 1 , являющееся замыканием множестваособых точек ранга 1. Оно является объединением замкнутых двумерных подмногообразий, погруженных в фазовое пространство M 4 . Ориентируя подходящим образом эти двумерные подмногообразия мы получаем некоторый класс гомологий [K 1 ]в H2 (M 4 , Z) и доказываем, что он двойствен по Пуанкаре первому классу Чженяc1 (M 4 ) ∈ H 2 (M 4 ) (см. теорему 24).В разделе 4.2 исследуются некоторые другие свойства комплекса K, образованного особыми точками интегрируемой гамильтоновой системы с двумя степенямисвободы.
В частности, в разделе 4.2.1 доказано, что любое двумерное подмногообразие, входящее в состав комплекса особенностей K и заполненное гиперболическимиособыми точками, имеет тривиальное нормальное расслоение в M 4 (см. теорему 25),а также получены некоторые соотношения на топологические характеристики подмногообразий, образующих комплекс K (см.
теорему26).В качестве примера использования полученных ограничений на классы гомологий двумерных подмногообразий, образующих комплекс особенностей K, в разделе 4.2.2 дано описание всех систем с невырожденными особенностями на комплексной проективной плоскости: это почти торические слоения с базой Dk2 (двумерныйдиск, граница которого имеет k “углов” и внутри которого имеется 3 − k “узлов”,соответствующих фокусным особенностям), где k = 0, 1, 2, 3.Глава 5 диссертации посвящена применению различных методов топологического анализа интегрируемых гамильтоновых систем к нескольким конкретным системам.Имеется множество работ (как классических, так и современных), в которыхисследуются различные топологические свойства интегрируемых систем, возникающих в геометрии, механике, математической физике. Новый этап в развитии это-19го направления начался примерно в 1970-80-х годах после работ Ю.
Мозера [98],С. Смейла [55], Я. В. Татаринова [58], [59], М. П. Харламова [67].В настоящее время исследование интегрируемых систем проводится различными методами (топологический анализ, аналитическое исследование решений, алгебраические конструкции, компьютерное моделирование). Мы используем в основном методы “теории топологической классификации”. Этот подход был предложен А. Т. Фоменко [61], [62] и разработан в дальнейшем совместно с Х. Цишангом,С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
