Топология особенностей интегрируемых гамильтоновых систем (1097913), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Более того, используяте же рассуждения, что и при доказательстве леммы 5, можно считать, что атомам(Vi , ωi , Hi ) и (Vi′ , ωi′ , Hi′ ) соответствует один и тот же f -граф Γi .Из процесса построения индуцированного морфизма (см. определение 21) ипредложения 4 следует, что действие ρ группы G на U и действие ρ′ группы G′ на U ′индуцируют одно и то же действие ρ̂ = ρ̂′ группы π1 (Θ, v0 )/GΘ,v0 на Θ. В частности, группы G и G′ изоморфны и их действия на атомах (Vi , ωi , Hi ) и (Vi′ , ωi′ , Hi′ )индуцируют одно и то же действие на f -графе Γi .Таким образом, для доказательства леммы достаточно доказать следующееутверждение для атомов (а потом определить диффеоморфизм Ψ : U → U ′ покомпонентно): если действия ρ и ρ′ конечной группы G на атомах (V, ω, H) и (V ′ , ω ′ , H ′ )индуцируют одно и то же действие ρ̂ = ρ̂′ на f -графе Γ (соответствующем обоиматомам), то существует диффеоморфизм ψ : V → V ′ такой, что ψ ∗ (H ′ ) = H иψ ◦ ρ(g) = ρ′ (g) ◦ ψ для любого g ∈ G.Можно считать, что на вершинах атома (т.

е. особых точках) диффеоморфизмψ уже определен. Введем на атомах метрики, инвариантные относительно рассматриваемых действий. Тогда можно определить ψ и на сепаратрисах. Сепаратрисыразрезают каждый из атомов на “шестиугольные” области. Ясно, что ψ можно продолжить на эти области так, что условие ψ ∗ (H ′ ) = H будет выполнено.Рассмотрим одну из шестиугольных областей D в атоме V . Поскольку отображение ψ уже задано на сепаратрисах, аналогичная шестиугольная область D′ , вкоторую должна перейти область D при отображении ψ, однозначно определена.71Если отображение ψ : D → D′ уже задано, то для любой области ρ(g)D отображение ψ однозначно определено из условия ψ ◦ ρ(g) = ρ′ (g) ◦ ψ.Так как группа G конечна, то ρ(g)D ̸= D для любого нетривиального элемента gгруппы G.

Поэтому мы можем продолжить ψ на все области вида ρ(g)D. Действуятаким образом, мы продолжим ψ на весь атом V . Рассматриваемые шестиугольныеобласти можно считать “стандартными”, что позволяет строить ψ на каждом шагетак, что конечное отображение ψ : V → V ′ будет диффеоморфизмом.Отметим, что для бесконечных групп утверждение о сопряженности действий наатомах, индуцирующих одинаковые действия на f -графах, вообще говоря, неверно.Например, для любого атома (V, ω, H) тождественное отображение и сдвиг вдольтраекторий sgrad H индуцируют тождественный автоморфизм на соответствующемf -графе, но, очевидно, не могут быть сопряжены никаким диффеоморфизмом.Из леммы 10 сразу следует утверждение о единственности минимальной моделидля седловых особенностей (см.

комментарий в конце раздела 2.3).Предложение 5. Минимальная модель U/G для седловой особенности определена однозначно с точностью до лиувиллевой эквивалентности, сопрягающейдействия групп.Для завершения доказательства теоремы 7 осталось показать, что любой связный fn -граф Θ соответствует некоторой седловой особенности. Это легко сделатьпри помощи накрытий. Действительно, минимальное накрытие Θ → Θ задается свободным действием группы G = π1 (Θ, v0 )/GΘ,v0 на Θ.

По лемме 5 существует прямоепроизведение U = V1 × · · · × Vn , которому соответствует fn -граф Θ. При этом атомыVi можно выбрать так, что на них определено действие группы G, соответствующеедействию группы G на Θ. Тогда fn -граф Θ соответствует особенности W = U/G.Теорема 7 полностью доказана.2.5. Алгоритм перечисления седловыхособенностейКак и в случае одной степени свободы, можно задавать fn -графы перестановками. Из определения 16 следует, что каждый fn -граф Θ однозначно определяется72набором перестановок τ 1 , µ1 , . .

. , τ n , µn на множестве его вершин, где τ 1 , . . . , τ nявляются базисными и выполнены условия коммутирования (3). Для алгоритмаперечисления fn -графов сложности k удобнее другое (эквивалентное) описание спомощью перестановок, являющихся элементами симметрической группы S2n k .Если на множестве вершин фиксирована нумерация, то любой набор перестановок τ1 , µ1 , . . . , τn , µn ∈ S2n k , где τ1 , . .

. , τn — базисные и выполнены условия (3),задает некоторый fn -граф сложности k. Перенумерация вершин означает сопряжение перестановок τi , µi элементом группы S2n k . Кроме того, мы не предполагаем,что нумерация семейств в fn -графе фиксирована (см. определение 17). Получаемследующее простое утверждение.Предложение 6.

Два fn -графа Θ и Θ′ , заданные наборами перестановокτ1 , µ1 , . . . , τn , µn и τ1′ , µ′1 , . . . , τn′ , µ′n соответственно, изоморфны тогда и только тогда, когда существуют σ ∈ Sn и g ∈ S2n k , для которыхτi′ = gτσ(i) g −1иµ′i = gµσ(i) g −1при всех i = 1, . . . , n.Замечание 7. Чтобы составить список попарно неизоморфных fn -графов сложности k, достаточно выписать все наборы τ1 , µ1 , . . . , τn , µn ∈ S2n k , для которыхτ1 , . . . , τn — базисные, а µ1 , . . . , µn удовлетворяют условиям коммутирования (3), изатем убрать “лишние” наборы, учитывая предложение 6. Отметим, что алгоритм,основанный на непосредственном применении предложения 6, требует очень большого количества операций.

Действительно, для проверки изоморфности двух fn графов Θ и Θ′ нужно сравнить соответствующие перестановки для всех σ ∈ Sn иg ∈ S2n k , т. е. рассмотреть n!(2n k)! вариантов. Ниже описан один из способов сократить этот перебор до n!2nk k! вариантов (например, при n = 3 и k = 2 это означаетуменьшение более чем в 1011 раз).Поскольку все базисные наборы перестановок в S2n k сопряжены, можно рассматривать только те нумерации вершин fn -графа, для которых базисные перестановкиτ1 , .

. . , τn имеют некоторый стандартный вид τ1∗ , . . . , τn∗ ∈ S2n k . После того как наборбазисных перестановок τi∗ фиксирован, любой набор перестановок µ1 , . . . , µn ∈ S2n k ,удовлетворяющий условиям (3), задает некоторый fn -граф Θ(µ1 , . . . , µn ) (и любойfn -граф сложности k задается таким образом).73Обозначим через T подгруппу в S2n k , порожденную перестановками τ1∗ , .

. . , τn∗ , ачерез ZT — ее централизатор в S2n k , т. е. множество перестановок из S2n k , коммутирующих со всеми перестановками τ1∗ , . . . , τn∗ . Отметим, что группа T изоморфна Zn2 ,а группа ZT изоморфна полупрямому произведению (Zn2 )k h Sk .Поскольку базисный набор фиксирован, мы должны рассматривать только теперенумерации вершин, которые сохраняют набор перестановок τ1∗ , . . .

, τn∗ (но могутменять местами перестановки τi∗ ). Любая такая перенумерация задается перестановкой g ∈ S2n k , для которой существует такая перестановка σ ∈ Sn , что∗gτi∗ g −1 = τσ(i)(6)при всех i = 1, . . . , n (см. предложение 6).

Очевидно, множество всех перестановок,удовлетворяющих условию (6), образует подгруппу в S2n k . Обозначим ее через HT .Замечание 8. Определенные выше подгруппы T ⊂ ZT ⊂ HT группы S2n k имеют простой геометрический смысл. Как уже отмечалось (см. замечание 3), неориентированные ребра fn -графа сложности k образуют k экземпляров одномерного остова n-мерного куба, где все ребра одного семейства параллельны.

Группа T действуетна каждом кубе как группа симметрий относительно координатных подпространств(любой размерности). При этом каждый элемент группы T действует одинаково навсех k экземплярах этих кубов (и переводит каждый куб в себя). Элементы группы ZT действуют на множестве этих кубов аналогичным образом, т. е. сохраняют“направление” ребер, но они могут действовать на разных кубах по-разному и могутпереставлять кубы.

Наконец, элементы группы HT могут переставлять и “вращать”эти k кубов, но переводят параллельные ребра в параллельные.Соответствие g 7→ σ, определяемое соотношением (6), задает эпиморфизм λ :HT → Sn , ядром которого является подгруппа ZT . Иначе говоря, λ есть действиегруппы HT на множестве перестановок τ1∗ , . . . , τn∗ , а ядром неэффективности этогодействия является подгруппа ZT . Для каждой перестановки σ ∈ Sn выберем элементhσ в группе HT , для которого λ(hσ ) = σ, т.

е.∗hσ τi∗ h−1σ = τσ(i)при всех i = 1, . . . , n.(7)Ясно, что этот выбор неоднозначен. Один из явных способов зафиксировать элементы hσ приведен в замечании 9.74Следующее утверждение — обобщение предложение 2 для n степеней свободы.Предложение 7. Два fn -графа Θ(µ1 , . . . , µn ) и Θ(µ′1 , . . . , µ′n ) изоморфны тогдаи только тогда, когда существуют σ ∈ Sn и h ∈ ZT ⊂ S2n k , для которых µ′i =−1hh−1при всех i = 1, . . . , n.σ µσ(i) hσ h−1 −1Доказательство. Пусть µ′i = (hh−1σ )µσ(i) (hhσ ) , где h ∈ ZT , а hσ удовлетво-ряет соотношениям (7). Применяя то же сопряжение к перестановкам τi∗ , получаем∗−1 −1∗−1(hh−1= h(h−1= hτi∗ h−1 = τi∗ .σ )τσ(i) (hhσ )σ τσ(i) hσ )hВ силу предложения 6 это означает, что fn -графы Θ(µ1 , .

Характеристики

Список файлов диссертации