Топология особенностей интегрируемых гамильтоновых систем (1097913), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Для интегрируемых гамильтоновых систем с n степенями свободы количество попарно неэквивалентных седловых особенностей сложности 1 при n = 1, 2, 3, 4 равно 1, 4, 32, 622 соответственно.Результатом работы алгоритма является, конечно, не количество, а список особенностей сложности 1. Для n = 1 это атом B (см. рис. 1). Описания четырехособенностей для n = 2 в виде комплекса, круговых молекул и почти прямых произведений приведены в [12, т. 2, теоремы 9.5, 9.6], а соответствующие f2 -графына рис. 5.
Случай n = 3 рассмотрен в следующем разделе.912.7.4. Список особенностей для трех степенейсвободыСогласно теореме 12 седловые особенности сложности 1 задаются парами матриц t, y вида (11). В случае трех степеней свободы имеется ровно четыре (3 × 3)матрицы t требуемого вида (с точностью до операции (i′ ), т. е.
сопряжения матрицами перестановок):0 0 10 0 0tI = 0 0 0 ,0 0 1tII = 0 0 0 ,0 0 00 1 1tIII = 0 0 1 ,0 0 0tIV = 0 0 0 .0 0 00 0 0Теперь для каждой из этих матриц t выпишем соответствующие матрицы y, попарно не эквивалентные относительно операций (i′ ) и (ii′ ). При этом для каждогостолбца матрицы y укажем соответствующий ему сомножитель в минимальной модели особенности (см. предложение 12).Для матрицы tI получаем 16 вариантов (ср. следствие 3):B B BB B C2B B C2B C2 C2B C2 C2B C2 C20 0 00 0 10 0 10 1 10 0 00 1 00 0 00 0 00 0 10 0 00 0 10 0 10 0 00 0 00 0 00 0 00 1 00 0 0B C2 C2B C2 C2C2 C2 C2C2 C2 C2B C2 C20 1 10 1 00 1 10 0 10 1 10 0 00 0 11 0 01 0 00 0 10 1 00 1 00 0 00 1 00 1 0C2 C2 C2C2 C2 C2C2 C2 C2C2 C2 C2C2 C2 C20 1 10 0 10 0 00 1 00 1 11 0 01 0 01 0 11 0 11 0 11 0 01 1 01 1 01 1 01 1 092Для матрицы tII имеем 8 вариантов:B B D1B B P4B C 2 D1B C 2 P40 0 00 0 00 1 00 1 00 0 00 0 10 0 00 0 10 0 00 0 00 0 00 0 0C2 B D1C2 B P 4C2 C2 D1C2 C2 P40 0 00 0 00 1 00 1 01 0 01 0 11 0 01 0 10 0 00 0 00 0 00 0 0Для матрицы tIII получаем следующие 6 вариантов:B B D1B C2 D1C2 C2 D1B B P4B C2 P4C2 C2 P40 0 00 1 00 1 00 0 10 1 10 1 10 0 00 0 01 0 00 0 00 0 01 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 0Для матрицы tIV существует всего 2 варианта (это соответствует двум неориентированным графам с двумя вершинами; ср.
следствие 4):B D 1 D1B P4 P40 0 00 0 00 0 00 0 10 0 00 1 0Таким образом, всего имеется 32 седловых особенности сложности 1. Для каждойпары матриц t, y из этого списка можно построить соответствующий f3 -граф Θ(y, z)и минимальную модель особенности (согласно процедуре построения минимальноймодели особенности по ее fn -графу, описанной в предложении 4 и лемме 9).В таблице 1 для описанных выше 32 особенностей указаны их минимальныемодели. Отметим, что аналогичный список был получен В. В.
Калашниковым вработе [24], но приведенная там таблица содержит ошибки. Общее количество особенностей, перечисленных В. В. Калашниковым также равно 32, но 7 особенностейв таблице из работы [24] встречаются по два раза, а 7 особенностей пропущены.93Приведем номера одинаковых особенностей из таблицы В. В. Калашникова:№6 = №8,№10 = №16,№24 = №27,№11 = №13,№25 = №28,№20 = №23,№26 = №30.Таблица 1: Седловые особенности сложности 1 для трех степеней свободы№ МНОЖИТЕЛИДЕЙСТВИЕГРУППА1B×B×B{e}2C2 × B × C2(α, id, αβ), (αβ, id, α)3B × B × D1(α, id, α)Z24B × B × C2(α, id, α)Z25C2 × C2 × C2(α, id, αβ), (id, α, αβ), (αβ, αβ, α)Z2 × Z2 × Z26D1 × C2 × C2(α, id, αβ), (id, α, αβ), (id, αβ, α)Z2 × Z2 × Z27B × C2 × C2(id, α, αβ), (α, αβ, α)8B × B × D1(α, α, α)9D1 × D1 × B(α, id, α), (id, α, α)Z2 × Z210B × D1 × C2(id, α, αβ), (α, id, α)Z2 × Z211C2 × D1 × B(α, id, α), (id, α, α)Z2 × Z212C2 × C2 × C2(α, id, αβ), (id, α, αβ), (αβ, id, α)13B × B × P4(id, α, γ β), (α, id, β)Z2 × Z214B × C2 × C2(id, α, αβ), (α, id, α)Z2 × Z215C2 × C2 × B(α, id, α), (id, α, α)Z2 × Z216B × B × P417C2 × C2 × C2(α, αβ, αβ), (αβ, α, αβ), (αβ, αβ, α)18C2 × C2 × C2(α, αβ, id), (αβ, α, αβ), (αβ, αβ, α)19P4 × P4 × B20C2 × C2 × P4(α, αβ, id), (αβ, α, id), (αβ, αβ, β), (αβ, id, γ β)21C2 × C2 × C2(α, αβ, id), (αβ, α, αβ), (αβ, id, α)22C2 × C2 × B(α, αβ, α), (αβ, α, α)23B × B × C2(α, α, α)24D1 × C2 × B(α, αβ, α), (id, α, α)25P4 × C2 × B26P4 × C2 × B27(id, id, id)Z2 × Z2Z2 × Z2Z2Z2 × Z2 × Z22Z2 × Z22(α, α, γ β), (α, id, β)2Z2 × Z2 × Z2Z2 × Z2 × Z22(β, γβ, α), (γ β, γβ, id), (γβ, β, α), (γβ, γ β, id)2G16Z2 × Z2 × Z2 × Z2Z2 × Z2 × Z2Z2 × Z2Z2Z2 × Z22Z2 × Z2 × Z22(β, αβ, α), (γ β, id, α), (id, α, α)Z2 × Z2 × Z2C2 × C2 × D1(α, αβ, id), (αβ, α, id), (αβ, αβ, α)Z2 × Z2 × Z228C2 × C2 × C2(α, αβ, αβ), (id, α, αβ), (id, αβ, α)Z2 × Z2 × Z229P4 × B × C 230C2 × C2 × P4(α, αβ, id), (αβ, α, id), (id, αβ, β), (αβ, id, γ β)31C2 × C2 × C2(α, αβ, id), (id, α, αβ), (αβ, id, α)32C2 × C2 × B(α, αβ, α), (id, α, α)(β, αβ, id), (γ β, id, α), (id, α, α)Z2 × Z2 × Z22(β, α, αβ), (γ β, id, αβ), (id, α, α)2Z2 × Z2 × Z2 × Z2Z2 × Z2 × Z2Z2 × Z2В таблице 1 сохранены нумерация и обозначения из работы [24], но вместо особенностей с номерами 8, 13, 16, 23, 27, 28, 30 указаны 7 новых.942.8.
Пример особенности, не являющейсяпочти прямым произведениемВ предыдущих разделах главы 2 мы рассматривали особенности, удовлетворяющие условию нерасщепляемости (определение 9). Именно для них строился инвариант (fn -граф) и решалась задача классификации. Напомним, что по теореме Зунга(теорема 3) такие особенности представляются в виде почти прямых произведений.В этом разделе приведен пример особенности, не являющейся особенностью типапочти прямого произведения (и, в частности, не удовлетворяющей условию нерасщепляемости). Отметим, что некоторые примеры особенностей, не удовлетворяющих условию нерасщепляемости, приведены в книге [12], но они имеют другой характер. Особенность, пример которой приведен в этом разделе, является чисто гиперболической особенностью ранга 0 (в отличие от примеров из книги BF), т.
е.особенностью именно такого типа, который рассматривался в предыдущих разделах этой главы.Перейдем к построению примера. Для этого опишем явно 4-мерное симплектическое многообразие и пару коммутирующих функций на нем.Опишем сначала некоторый вспомогательный объект. Рассмотрим невырожденную седловую особенность, соответствующую атому B (см. рис. 1). Будем считатьатом B подмножеством плоскости с координатами q, p, где симплектическая структура имеет вид dp ∧ dq, а f (q, p) — соответствующий гамильтониан, особый уровенькоторого (восьмерка) задается уравнением f (q, p) = 0. Рассмотрим на атоме B замкнутую гладкую дифференциальную форму α = Q(q, p)dq + P (q, p)dp, удовлетворяющую следующим свойствам:1) Q ∂f− P ∂f= α(sgrad f ) > 0 всюду за исключением особой точки S;∂p∂q∫∫2) γ α = γ α = 1, где γ1 и γ2 — “ребра” особого слоя, т.е. две петли восьмерки12(в частности, форма α является целочисленной).Иными словами, вместо формы α мы можем рассмотреть многозначную гладкуюфункцию g(q, p) такую, что dg = α и “значение” g в вершине восьмерки является целым числом.
Легко видеть, что такая функция (или, эквивалентно, такая форма α)существует.95Рассмотрим теперь три таких объекта, т.е. три экземпляра таких особенностей B1 , B2 , B3 с особыми точками S1 , S2 , S3 , гамильтонианами f1 (q1 , p1 ), f2 (q2 , p2 ),f3 (q3 , p3 ) и 1-формами α1 (q1 , p1 ), α2 (q2 , p2 ), α3 (q3 , p3 ) (или многозначными функциями g1 (q1 , p1 ), g2 (q2 , p2 ), g3 (q3 , p3 )) соответственно. Построим из них особенностьтипа прямого произведения M 6 = B1 × B2 × B3 с симплектической структурой ω = dp1 ∧ dq1 + dp2 ∧ dq2 + dp3 ∧ dq3 и тремя коммутирующими функциямиf1 (q1 , p1 ), f2 (q2 , p2 ), f3 (q3 , p3 ).Для завершения построения требуемой невырожденной особенности с двумя степенями свободы мы фактически проведем редукцию этой интегрируемой системыпо интегралу f1 + f2 + f3 . Более точно, конструкция состоит в следующем.
Рассмотрим в M 6 подмножество X 4 , задаваемое двумя уравнениями:f1 + f2 + f3 = 0,g1 + g 2 + g 3 =1mod Z.2Так как формы dgi = αi целочисленны, мы получим некоторое замкнутое четырехмерное подмножество в M 6 .Лемма 16. Подмножество X 4 — гладкое четырехмерное симплектическоеподмногообразие в M 6 .Доказательство. Для доказательства того, что X 4 гладкое подмногообразие,достаточно проверить, что 1-формы df1 +df2 +df3 и α1 +α2 +α3 линейно независимывсюду на X 4 . Действительно, из условий αi (sgrad fi ) > 0 на Bi \ Si (где i = 1, 2, 3)следует, что эти две формы зависимы только в точке S1 × S2 × S3 , но эта точка непринадлежит множеству X4 .Докажем, что подмногообразие X 4 симплектическое. Касательное пространство в любой его точке есть косоортогональное дополнение к двумерному подпространству, порожденному векторами sgrad f1 + f2 + f3 и sgrad g1 + g2 + g3 .Значит, его симплектичность эквивалентна симплектичности этого двумерного подпространства, что, в свою очередь, эквивалентно выполнению условияω(sgrad f1 + f2 + f3 , sgrad g1 + g2 + g3 ) ̸= 0.
Вычисляя, получаемω(sgrad g1 + g2 + g3 , sgrad f1 + f2 + f3 ) = α1 (sgrad f1 + α2 (sgrad f2 + α3 (sgrad f3 > 0.96Лемма 17. Ограничения функций f1 , f2 , f3 на подмногообразие X 4 коммутируют относительно симплектической структуры ω̃ = ω|X 4 .Доказательство. Обозначим ограничения функций f1 , f2 , f3 на X 4 черезf˜1 , f˜2 , f˜3 .
Ясно, что sgrad f˜i (относительно ω̃) есть проекция вектора sgrad fi накасательное пространство к X 4 вдоль его косоортогонального дополнения, т. е.вдоль двумерного подпространства, порожденного векторами sgrad f1 + f2 + f3и sgrad g1 + g2 + g3 . Но, фактически, эта проекция есть проекция лишь вдольsgrad f1 + f2 + f3 и ее можно записать следующим образом:sgrad f˜i = sgrad fi −αi (sgrad fi )sgrad(f1 + f2 + f3 ) (13)α1 (sgrad f1 ) + α2 (sgrad f2 ) + α3 (sgrad f3 )Действительно, легко проверяется, что указанный вектор косоортогонален векторамsgrad f1 + f2 + f3 и sgrad g1 + g2 + g3 , поскольку {gi , fi } = αi (sgrad fi ) и {gi , fi } = 0при i ̸= j.Из явной формулы (13) для sgrad f˜i очевидно, что f˜1 , f˜2 , f˜3 коммутируют относительно ω̃.Итак, мы построили интегрируемую гамильтонову систему на четырехмерномсимплектическом многообразии X 4 (в качестве интегралов возьмем, например,f˜1 и f˜2 ).Из формулы (13) следует, что f˜1 и f˜2 зависимы в точности в тех точках из X 4 , вкоторых зависимы функции f1 , f2 , f3 .
Поэтому множество критических точек отображения момента f˜1 × f˜2 → R2 состоит из трех двумерных подмногообразий в X 4 ,задаваемых уравнениями qi = pi = 0. Каждое из этих подмногообразий дает прямую на бифуркационной диаграмме: f˜1 = 0, f˜2 = 0, f˜1 + f˜2 = 0 (см. рис. 8 (a)).Также из формулы (13) следует, что особый слой в прообразе точки пересечениятрех прямых бифуркационной диаграммы содержит 6 особых точек ранга 0. Ониимеют вид(a1 , S2 , S3 ),(b1 , S2 , S3 ),(S1 , a2 , S3 ),(S1 , b2 , S3 ),(S1 , S2 , a3 ),(S1 , S2 , b3 ),где ai и bi — точки на соответствующей восьмерке (заданной уравнением fi = 0), вкоторых gi =12mod Z.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
