Топология особенностей интегрируемых гамильтоновых систем (1097913), страница 22

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 22)

Се-108паратрисы поля v0 направлены вдоль прямых параллельных координатным осям. Вкачестве t-траекторий можно взять соответствующие диагонали квадратов, на которые сепаратрисы разбивают плоскость. Сепаратрисы и t-траектории разбиваютплоскость на “одинаковые” стандартные треугольники.Рассмотрим теперь некоторый трехцветный граф T , все su-циклы которого имеют длину 4, и построим поверхность M с потоком Морса v так, чтобы граф Tбыл инвариантом этого потока. Для этого возьмем стандартные треугольники (вколичестве равном количеству вершин графа T ) и склеим их в соответствии с метками, стоящими на ребрах графа T : если две вершины графа T соединены ребромс меткой s, t или u, то треугольники, соответствующие этим вершинам, склеиваемвдоль сторон, образованных соответственно s-траекториями, t-траекториями илиu-траекториями.После всех склеек мы получим некоторое многообразие M с потоком v.

Во всехточках кроме источников и стоков построенный поток будет гладким относительногладкой структуры, заданной на склеиваемых треугольниках. В источниках и стоках надо “сгладить” многообразие M так, чтобы поток стал гладким. Для рассматриваемых стандартных треугольников эту процедуру можно описать следующимобразом. Рассмотрим некоторый источник построенного потока v (случай стока рассматривается аналогично). Пусть эта точка является вершиной 2k треугольников(отметим, что при k = 4 поток будет гладким в окрестности этого источника).

Настандартном треугольнике заданы декартовы координаты (x, y). Введем на нем (вокрестности источника) новые координаты (r, φ) по формулам:πx tg= r cos φ2 tg πy = r sin φ2В координатах (r, φ) векторное поле v0 на стандартном треугольнике имеет вид( )ṙ = πr, φ̇ = 0. Такой же вид имеет линейное векторное поле с матрицей π0 π0 наплоскости в полярных координатах. Рассмотрим стандартный треугольник с вершинами (0, 0), (1, 0), (1, 1). Отображение (r, φ) 7→ (r, 4φ/k) переводит окрестностьr < ε вершины (0, 0) этого треугольника в сектор 0 ≤ ψ ≤ π/k, ρ < ε на плоскостис полярными координатами (ρ, ψ).

Определив аналогичным образом отображениена всех 2k треугольниках, примыкающих к рассматриваемому источнику, получим109гомеоморфизм окрестности источника в многообразии M на двумерный диск. Зададим таким образом гладкую структуру на многообразии M в окрестности всехисточников и стоков. Легко проверяется, что в результате мы получим гладкое многообразие M , на котором поток v будет потоком Морса.Очевидно, что трехцветный граф для построенного потока Морса v на многообразии M есть в точности исходный граф T .Мы доказали, что трехцветные графы с su-циклами длины 4 находятся в естественном взаимно-однозначном соответствии с классами топологической траекторной эквивалентности потоков Морса (имеющих седловые особые точки).

В частности, по трехцветному граф T (v) можно определить топологический тип двумерногомногообразия M , на котором задан поток v. Следующая теорема показывает, какэто сделать явно, и тем самым описывает множество допустимых инвариантов T (v)для любого заданного двумерного многообразия M .Для произвольного трехцветного графа T обозначим через m0 (T ), m1 (T ) и m2 (T )соответственно количество его st-циклов, su-циклов и tu-циклов.Теорема 16. Пусть T (v) — инвариант потока Морса v, заданного на поверхности M .

Тогда1) эйлерова характеристика поверхности M равнаχ(M ) = m0 (T (v)) − m1 (T (v)) + m2 (T (v))2) поверхность M ориентируема тогда и только тогда, когда граф T (v) (безучета раскраски) не имеет циклов нечетной длины.Доказательство. Из рассуждения, приведенного в начале доказательстватеоремы 15, получаем, что число источников, число седел и число стоков потока vравны соответственно m0 (T (v)), m1 (T (v)) и m2 (T (v)). Отсюда сразу следует утверждение (1) теоремы, поскольку это просто формула для суммы индексов особыхточек поля v.Докажем теперь утверждение (2). Поверхность M , на которой задан рассматриваемый поток Морса v, ориентируема тогда и только тогда, когда все треугольники, на которые она разбита сепаратрисами и t-траекториями, можно согласованноориентировать.

Ориентацию каждого канонического треугольника можно задавать,110выбирая один из двух возможных циклических порядков его вершин: “источник”–“седло”–“сток” или “сток”–“седло”–“источник”. Будем считать, что треугольнику приписана метка (+1) в первом случае и метка (−1) — во втором случае. Легко понять,что ориентации двух треугольников, имеющих общую сторону, будут согласованытогда и только тогда, когда им приписаны разные метки.

Поскольку между треугольниками поверхности M и вершинами графа T (v) фиксирована некоторая биекция, условие ориентируемости рассматриваемой поверхности M можно сформулировать следующим образом: поверхность M ориентируема тогда и только тогда,когда вершинам графа T (v) можно приписать метки (±1) таким образом, чтобылюбые две вершины, соединенные ребром, имели разные метки. Назовем такую расстановку меток в вершинах графа правильной.Для завершения доказательства теоремы осталось доказать следующую лемму.Лемма 19. Для произвольного графа Γ следующие два условия эквивалентны:1) граф Γ не имеет циклов нечетной длины;2) существует правильная расстановка меток (±1) в вершинах графа Γ.Доказательство. То, что из (2) следует (1), очевидно, так как в вершинахцикла нечетной длины нельзя правильно расставить метки (±1).

Обратно, еслиграф Γ не имеет циклов нечетной длины, то правильно расставить метки в еговершинах можно следующим образом: возьмем некоторую вершину V0 и поставимв ней метку (+1); для любой другой вершины Vi рассмотрим какой-нибудь путьиз вершины V0 в вершину Vi и поставим в ней метку (+1), если этот путь четнойдлины, и метку (−1), если он нечетной длины.Тем самым теорема 16 также доказана.3.1.5. Ориентируемый случайПри классификации потоков Морса–Смейла (с периодическими траекториями)мы будем выбирать некоторые ориентации на всех st-циклах и tu-циклах трехцветных графов.

В общем случае нет никакого естественного способа выбрать эти ориентации. Однако для трехцветных графов, соответствующих ориентируемым поверх-111ностям, эти ориентации можно выбрать согласованно в смысле следующего определения.Определение 29. Будем говорить, что ориентации st-циклов и tu-циклов трехцветного графа T согласованы, если они индуцируют одну и ту же ориентацию накаждом su-цикле.Лемма 20.

Согласованно ориентировать все st-циклы и tu-циклы связноготрехцветного графа T можно тогда и только тогда, когда граф T не имеет циклов нечетной длины. При этом для таких графов существуют ровно две согласованные ориентации, получающиеся друг из друга изменением ориентаций на всехциклах.Доказательство. Пусть все st-циклы и tu-циклы трехцветного графа T согласованно ориентированы.

В частности, задана ориентация на всех s-ребрах графа T .Припишем начальным вершинам s-ребер метки (−1), а конечным вершинам s-ребер— метки (+1). Легко понять, что эта расстановка меток будет правильной, а значит,по лемме 19, граф T не имеет циклов нечетной длины.Обратно, пусть граф T не имеет циклов нечетной длины. Тогда, рассматриваяправильную расстановку меток в вершинах графа T , ориентируем s-ребра от вершины с меткой (−1) к вершине с меткой (+1), а u-ребра — от вершины с меткой (+1)к вершине с меткой (−1).

Эти ориентации s-ребер и u-ребер, очевидно, индуцируютсогласованные ориентации всех st-циклов и tu-циклов.Второе утверждение леммы очевидно, так как согласованные ориентации однозначно определены, если задана ориентация хотя бы одного s-ребра.3.2. Сравнение некоторых известныхинвариантовДля траекторной классификации потоков Морса можно использовать упомянутые во введении инвариант Пейксото, инвариант Флейтаса или (для ориентируемыхповерхностей) инвариант Вонга.

В этом разделе мы кратко опишем эти инвариантыи проведем их сравнение.112Все потоки Морса без седловых особых точек топологически траекторно эквивалентны (замечание 14). Поэтому при описании инвариантов в этом разделе мырассматриваем только потоки Морса, имеющие седловые особые точки.3.2.1. Инвариант ПейксотоИнвариант, предложенный М.

Пейксото в работе [105], можно описать следующим образом.Как уже отмечалось при построении инварианта T (v) в разделе 3.1, поверхность M после разрезания ее по сепаратрисам рассматриваемого потока v распадается на канонические четырехугольники. Иначе говоря, поток Морса v определяетестественное клеточное разбиение двумерного многообразия M .

Нульмерные клетки этого разбиения — особые точки потока v, одномерные клетки — замыканиясепаратрис, двумерные клетки — замыкания канонических четырехугольников (вмногообразии M ). Для того, чтобы описать поток v с точностью до топологическойтраекторной эквивалентности, достаточно предъявить одномерный остов рассмотренного клеточного разбиения и указать, каким образом к нему приклеиваются двумерные клетки (на которых поток уже задан). По существу, это и есть инвариантПейксото для потоков Морса.(a)(b)(c)(d)Рис. 12: Выделенные подграфы в различающем графе ПейксотоБолее точно, инвариант Пейксото, который он называет различающим графом,есть граф с ориентированными ребрами, вершины которого расположены на трехуровнях так, что каждое ребро направлено либо от вершины первого уровня к вершине второго уровня, либо от вершины второго уровня к вершине третьего уровня,причем для каждой вершины второго уровня имеется ровно два входящих в нееребра и ровно два выходящих из нее ребра (вершины первого, второго и третьего113уровней соответствуют источникам, седлам и стокам).

Кроме того, в этом графевыделены некоторые подграфы четырех типов (они изображены на рис. 12), такчто выполнены некоторые специальные условия (заметим, что к каждому выделенному подграфу однозначно приклеивается канонический четырехугольник, такчтобы ориентации на ребрах подграфа и сторонах четырехугольника были согласованы).Мы не будем приводить здесь список этих условий.

Характеристики

Список файлов диссертации