Топология особенностей интегрируемых гамильтоновых систем (1097913), страница 23
Текст из файла (страница 23)
В работе [105] они выписаныявно и их формулировка занимает достаточно много места. Смысл этих условийпроясняет теорема реализации (теорема 5.1 работы [105]), доказательство которойи составляет основное содержание статьи [105]. Эта теорема показывает, что всевместе эти условия равносильны следующему: если приклеить канонические четырехугольники ко всем выделенным подграфам, то должно получиться замкнутоедвумерное многообразие.Пример 4. На рис. 13 показано, как выглядит инвариант Пейксото для потокаМорса, рассмотренного в примере 3.
В данном случае различающий граф состоит из шести вершин (по две на каждом уровне) и восьми ребер (см. рис. 13(a)),и в нем выделено 4 подграфа (см. рис. 13(b)). Если приклеить 4 канонических четырехугольника к этим подграфам, то получится поток на сфере, изображенныйна рис. 10(a).(a)(b)Рис. 13: Пример построения инварианта ПейксотоИнвариант Пейксото и трехцветный граф, введенный в разделе 3.1, выражаютсядруг через друга, поскольку они являются полными топологическими траекторными инвариантами потоков Морса.
Опишем построение различающего графа Пейксото, соответствующего данному трехцветному графу.114Пусть T — трехцветный граф, являющийся инвариантом некоторого потокаМорса. Различающий граф, соответствующий графу T строится следующим образом:1) каждому st-циклу графа T поставим в соответствие вершину первого уровняразличающего графа, каждому su-циклу — вершину второго уровня, а каждомуtu-циклу — вершина третьего уровня;2) для каждого s-ребра (u-ребра) графа T , соединим ребром те вершины различающего графа, которые соответствуют st-циклу (tu-циклу) и su-циклу, содержащим данное s-ребро (u-ребро);3) каждому t-ребру графа T сопоставим выделенный подграф построенного различающего графа, четыре (три) ребра которого соответствуют четырем (трем) ребрам графа T , пересекающимся с данным t-ребром.(a)(b)(c)(d)Рис.
14: Построение различающего графа по трехцветному графуНа рис. 14 изображены все возможные “окрестности” t-ребра в трехцветном графе T ,являющемся инвариантом некоторого потока Морса. Четыре варианта (a)–(d) нарис. 14 соответствуют четырем типам подграфов (a)–(d) на рис. 12. Отметим, что, всилу утверждения (2) теоремы 16, случай (d) возникает только на неориентируемыхповерхностях.3.2.2. Инвариант ФлейтасаОпишем теперь инвариант Флейтаса для потоков Морса, предложенный в работе [82].
Рассмотрим вокруг каждого источника маленькую окружность, трансверсальную потоку, и отметим на ней точки пересечения с сепаратрисами. После этогоприпишем всем точкам на всех окружностях некоторые метки, причем тем точкам, для которых соответствующие им сепаратрисы входят в одно и то же седло,припишем одинаковые метки.
Кроме того для каждой пары точек с одинаковыми115метками указывается “спин”. Спин изображается стрелками, показывающими направление движения вдоль окружностей в окрестности каждой отмеченной точки.Эти стрелки расставляются так, что, если некоторую пару точек с одинаковымиметками “сдвинуть” вдоль стрелок и выпустить из полученных точек траекториипотока, то эти траектории после прохождения “возле седловой точки” пойдут “в одну сторону”(см. рис.
15). Если для некоторой пары точек с одинаковыми меткамиизменить направления обеих стрелок на противоположные, то, по определению, онибудут изображать тот же спин для этой пары точек.(a)(b)Рис. 15: Определение инварианта ФлейтасаТаким образом, инвариант Флейтаса для потока Морса (он называет его “циклические распределения раскрашенных точек”) — это набор окружностей, на которыхуказаны точки с метками (каждая метка встречается ровно два раза), и для каждой пары точек с одинаковыми метками указан спин. Два таких набора считаютсяодинаковыми, если существует гомеоморфизм, отображающий окружности одногонабора в окружности другого набора с сохранением меток и спинов.Рис. 16: Пример построения инварианта ФлейтасаПример 5.
На рис. 16 показано, как выглядит инвариант Флейтаса для потокаМорса, рассмотренного в примере 3. В данном случае инвариант состоит из двухокружностей (соответствующих двум источникам), на которых расположены двепары точек (соответствующие двум седлам) с метками A и B и спинами, указанными стрелками.116Очевидно, что инвариант Флейтаса является инвариантом потоков Морса, т. е.топологически траекторно эквивалентным потокам Морса сопоставляются одинаковые в указанном выше смысле наборы окружностей с метками и спинами. Теорема 1c работы [82] утверждает, что он является полным топологическим инвариантом.Рис.
17: Соответствие между инвариантом Флейтаса и трехцветным графомСоответствие между инвариантами Флейтаса и трехцветными графами можнократко описать следующим образом: окружностям инварианта Флейтаса соответствуют st-циклы трехцветного графа, парам точек с одинаковыми метками соответствуют su-циклы, а спин определяется tu-циклами. На рис. 17 показаны “элементарные” фрагменты трехцветного графа и инварианта Флейтаса. Любой трехцветныйграф с su-циклами длины 4 и любой инвариант Флейтаса являются объединениемтаких фрагментов. Если все элементарные фрагменты данного трехцветного графаT (v) заменить в соответствии с рис.
17 на элементарные фрагменты инвариантаФлейтаса, то получится инвариант Флейтаса потока v, и наоборот.3.2.3. Инвариант ВонгаЕще один инвариант для потоков Морса, но лишь на ориентируемых поверхностях, был предложен в работе К. Вонга [119]. Подход К. Вонга близок к томуподходу, который используется в разделе 3.1 для построения трехцветного графа.Он рассматривает граф, двойственный графу, составленному из сепаратрис потока. Те же рассуждения, что и при построении трехцветного графа показывают, чтоэтот граф есть объединение циклов длины 4 (вокруг каждого седла), ребра которыхраскрашены в два цвета s и u так, что противоположные ребра имеют одинаковыйцвет.
Кроме того, учитывая ориентацию многообразия, можно ориентировать реб-117ра этого графа так, что ориентация каждого цикла длины 4 будет согласована сориентацией четырехугольника, границей которого является этот цикл.Таким образом инвариант Вонга (“раскрашенный двойственный граф”) естьграф с вершинами степени 4, ребра которого раскрашены в два цвета s и u и ориентированы так, что граф есть объединение 4-циклов вида s–u–s–u, а ориентацияребер согласованно задает ориентацию на всех циклах из s-ребер, циклах из u-ребери 4-циклах.
При этом считается, что два таких графа изоморфны, если существуетгомеоморфизм одного графа в другой, сохраняющий раскраску и либо сохраняющий, либо обращающий ориентации всех ребер.Пример 6. На рис. 18 показано, как выглядит инвариант Вонга для потокаМорса, рассмотренного в примере 3 (см. рис.10(a)). Аналогично рис. 10(b) и 10(c)на рис. 18(a) показано вложение графа Вонга в сферу, на которой задан поток, ана рис.
18(b) этот граф изображен как абстрактный граф с ориентированными ираскрашенными ребрами.(a)(b)Рис. 18: Пример построения инварианта ВонгаЯсно, что мы можем рассматривать граф Вонга как граф, полученный из трехцветного графа стягиванием каждого его t-ребра в точку и заданием ориентации наребрах su-циклов. В общем случае нельзя однозначно осуществить обратную операцию, т.
е. восстановить трехцветный граф после стягивания t-ребер. Но посколькуК. Вонг рассматривает лишь ориентируемые многообразия, это можно сделать, используя описанную выше ориентацию ребер. На рис. 19 изображено, как можно118выразить один инвариант через другой, заменяя фрагменты трехцветного графана соответствующие фрагменты графа Вонга и наоборот.Рис. 19: Соответствие между инвариантом Вонга и трехцветным графом3.2.4. Классификация a-функций и меченыеf -графыОпишем еще один топологический инвариант, который был введен в работе [43]для классификации функций на двумерных многообразиях, но имеет ту же природу,что и рассмотренные выше инварианты потоков Морса.Напомним некоторые определения.Определение 30.
Гладкие функции f1 и f2 , заданные соответственно на двумерных поверхностях M1 и M2 , называются сопряженными, если существует такойгомеоморфизм h : M1 → M2 , что f2 ◦ h = f1 .Определение 31. Гладкие функции f1 , f2 , заданные соответственно на двумерных поверхностях M1 , M2 , будем называть топологически послойно эквивалентными, если существует гомеоморфизм h : M1 → M2 , переводящий связные компонентылиний уровня функции f1 в связные компоненты линий уровня функции f2 .В работе [43] решалась задача классификации функций Морса с тремя критическими значениями на замкнутых двумерных многообразиях с точностью до топологической послойной эквивалентности.В двумерном случае гладкая функция f является функцией Морса, если окрестности каждой критической точки она записывается в некоторых координатах какf = x2 + y 2 (точка минимума), f = −x2 − y 2 (точка максимума) или f = −x2 + y 2(седловая точка).Определение 32.
Функцию Морса f на двумерной поверхности M будем называть a-функцией, если f имеет ровно три критических значения: −1, 0 и 1.119Легко видеть, что для a-функции f на связной поверхности M множествоf −1 (−1) есть в точности множество точек минимума, множество f −1 (1) есть в точности множество точек максимума, а множество f −1 (0) связно и содержит все седловые критические точки.Замечание 15. Отметим, что для a-функций сопряженность и топологическаяпослойная эквивалентность это почти одно и то же, а именно: если a-функции f1и f2 топологически послойно эквивалентны, то f1 сопряжена либо f2 , либо −f2 .Опишем инвариант, классифицирующий a-функции с точностью до сопряжения(это f -граф из раздела 2.1.2, но снабженный метками ±1; ср. определение 12).Определение 33.
Конечный связный граф γ назовем меченым f -графом, еслион удовлетворяет следующим условиям:1) все вершины графа γ имеют степень 3;2) некоторые из ребер графа γ ориентированы, причем к каждой вершине графа γ примыкают ровно два ориентированных полуребра, из которых одно входит ввершину, а другое выходит из нее;3) каждому неориентированному ребру графа γ приписана метка ±1.Как уже отмечалось (см. замечание 2), в работе [43] меченый f -граф называлсяпросто f -графом. Здесь мы изменили терминологию, поскольку более удобно использовать “просто f -графы” для описания особенностей интегрируемых систем.Как и для обычных f -графов, ориентированные ребра меченого f -графа образуют непересекающиеся (ориентированные) циклы.
Кроме того, к каждой вершинетакого цикла примыкает ровно одно неориентированное ребро.Определение 34. Назовем два меченых f -графа эквивалентными, если одиниз другого можно получить в результате выполнения нескольких операций следующего вида: изменение ориентации всех ребер какого-то цикла и одновременноеизменение меток (на противоположные) на всех неориентированных ребрах, инцидентных этому циклу. При этом, если оба конца неориентированного ребра принадлежат данному циклу, то метка на этом ребре не меняется.Классы эквивалентности меченых f -графов относительно данного определенияназовем f -инвариантами.120Каждой a-функции можно сопоставить f -инвариант следующим образом. Рассмотрим линии уровня f −1 (−1/2) некоторой a-функции f на поверхности M .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
