Топология особенностей интегрируемых гамильтоновых систем (1097913), страница 27
Текст из файла (страница 27)
замечание 26). Легко показать, что в ориентируемом случае подгруппаG0 (T ) либо совпадает со всей группой G(T ), либо является подгруппой индекса 2.Теперь мы можем дать описание инварианта, классифицирующего потокиМорса–Смейла.Определение 39. Назовем v-молекулой граф W , у которого все ребра ориентированы, а каждой вершине поставлен в соответствие либо v-атом A, либо v-атом S,либо некоторый седловой v-атом из имеющегося списка V1 , V2 , . . . (будем называтьвершины графа W соответственно A-вершинами, S-вершинами и седловыми вершинами), причем выполнены следующие условия:1) каждая A-вершина графа W имеет степень 1;2) каждая S-вершина графа W имеет степень 1 или 2, причем, если степень равна 2, то оба ребра одновременно либо входят в эту вершину, либо выходят из нее;3) для каждой седловой вершины графа W , которой соответствует некоторыйv-атом Vi , фиксирована произвольная биекция множества ребер, инцидентных этойвершине, на множество st-циклов и tu-циклов трехцветного графа T (Vi ) из списка,причем ребра, соответствующие st-циклам, входят в вершину, а ребра, соответству-137ющие tu-циклам, выходят из нее (назовем эту биекцию параметризацией даннойседловой вершины);4) ни одно ребро графа W не соединяет две седловые вершины;5) если ребро графа W соединяет две вершины, ни одна из которых не являетсяA-вершиной, то на этом ребре стоит метка ±1.Определение 40.
Пусть v — поток Морса–Смейла на многообразии M . Будемговорить, что v-молекула есть v-молекула потока v (и обозначать ее W (v)), еслиона построена в результате описанной ниже процедуры.(1) Рассматривая некоторый разрезающий набор для потока v на многообразии M ,получаем разбиение M на элементарные области. Эти области будут соответствовать вершинам графа W (v), которые мы обозначим соответствующими буквамиA, S или V1 , V2 , . . . из имеющегося списка седловых v-атомов.(2) Для каждой окружности из данного разрезающего набора проведем ребро, соединяющее те две вершины, для которых соответствующие им элементарныеобласти граничат по этой окружности, после чего ориентируем это ребро в соответствии с направлением потока v в точках рассматриваемой окружности (вточках окружности поток трансверсален ей, т.
е. направлен из одной элементарной области в другую). В результате получим граф W (v).(3) В соответствии с предыдущим пунктом, для каждой седловой вершины Vi построенного графа имеется биекция между ребрами, инцидентными этой вершине, и граничными окружностями соответствующей ей седловой элементарнойобласти. Фиксируя (произвольную) параметризацию этой элементарной области,получаем параметризацию вершины Vi .(4) Граничные окружности всех элементарных областей, кроме областей типа A,ориентированы: для седловых элементарных областей ориентации индуцированы выбранными на предыдущем шаге параметризациями, а на границах областей типа S ориентации заданы направлением потока на их предельных циклах.Это определяет две ориентации на каждой окружности рассматриваемого разрезающего набора, разделяющей области, отличные от областей типа A.
Еслиэти ориентации совпадают, то поставим на соответствующем ребре построенногографа W (v) метку (+1), а если не совпадают, то (−1).138Для того, чтобы учесть неоднозначность, присутствующую в п. (3) изложенного правила построения v-молекулы W (v), введем следующим образом отношениеэквивалентности на множестве v-молекул.Определение 41. Пусть Vi — седловая вершина v-молекулы W (в частности,для вершины Vi задана некоторая параметризация φi — см. п. (3) определения 39).Рассмотрим произвольный автоморфизм g трехцветного графа T (Vi ) (вообще говоря, не сохраняющий имеющиеся ориентации его st-циклов и tu-циклов — см. замечание 27). Пусть λ и µ — такие два st-цикла или два tu-цикла графа T (Vi ), что автоморфизм g переводит цикл λ в цикл µ (без учета их ориентаций). Тогда скажем, чтоориентация цикла λ (не) сохраняется при автоморфизме g, если ориентации цикловg(λ) и µ (не) согласованы. Назовем перепараметризацией вершины Vi операциюследующего вида: заменяем параметризацию φi вершины Vi на параметризациюg ◦ φi и изменяем метки на противоположные на тех ребрах e1 , .
. . , el , инцидентныхвершине Vi , для которых ориентации циклов φi (e1 ), . . . , φi (el ) не сохраняются приавтоморфизме g. При этом, если какое-то из этих ребер ej было без метки, то оно иостается без метки.Определение 42. Две v-молекулы W и W ′ назовем изоморфными, если посленекоторых перепараметризаций их седловых вершин они будут изоморфны как графы с сохранением обозначений вершин, ориентаций ребер, меток и параметризацийседловых вершин (сохранение параметризации седловых вершин при изоморфизмеграфов означает следующее: если изоморфизм h : W → W ′ переводит вершину Vс параметризацией φ в вершину V ′ с параметризацией φ′ , то φ = φ′ ◦ h).3.3.4.
Теоремы классификации и реализацияинвариантовСледующие утверждения показывают, что задача траекторной классификациипотоков Морса–Смейла на двумерных поверхностях эквивалентна классификацииv-молекул с точностью до изоморфизма.Теорема 18. Два потока Морса–Смейла v и v ′ на двумерных поверхностяхM и M ′ топологически траекторно эквивалентны тогда и только тогда, когдасоответствующие им v-молекулы W (v) и W (v ′ ) изоморфны.139Доказательство. Сначала докажем, что v-молекулы топологически траекторно эквивалентных потоков изоморфны. Пусть h : M → M ′ — гомеоморфизм,устанавливающий топологическую траекторную эквивалентность потоков v и v ′ .Поскольку на любом многообразии все разрезающие наборы эквивалентны (утверждение (2) леммы 22), можно считать, что разрезающие наборы, используемыепри построении v-молекул W (v) и W (v ′ ), переводятся друг в друга гомеоморфизмом h.
Действуя в соответствии с п. (1) и п. (2) из определения 40, построим графыW (v) и W (v ′ ) с ориентированными ребрами. Гомеоморфизм h очевидным образомопределяет отображение h̃ : W (v) → W (v ′ ), являющееся изоморфизмом графов ссохранением ориентации на ребрах. Выбирая теперь произвольные параметризацииседловых элементарных областей, построим полностью v-молекулы W (v) и W (v ′ ).Пусть fi и fi′ — параметризации седловых элементарных областей, соответствующих некоторой вершине Vi графа W (v) и вершине Vi′ = h̃(Vi ) графа W (v ′ ).
Здесьтакже можно считать, что трехцветные графы, вложенные в эти седловые элементарные области, переводятся друг в друга гомеоморфизмом h. Тогда gi = fi′ ◦ h ◦ fi−1есть автоморфизм трехцветного графа Ti = T (Vi ) = T (Vi′ ), где Ti — граф из списка.Сделаем перепараметризацию вершины Vi с помощью автоморфизма gi графа Ti .Легко понять, что после аналогичных перепараметризаций всех седловых вершин vмолекулы W (v) отображение h̃ : W (v) → W (v ′ ) будет изоморфизмом, сохраняющимобозначения вершин, ориентации ребер, метки и параметризации седловых вершин,т.
е. v-молекулы W (v) и W (v ′ ) изоморфны.Докажем утверждение в обратную сторону. Пусть v и v ′ — два таких потока Морса–Смейла на многообразиях соответственно M и M ′ , что v-молекулыW (v) и W (v ′ ) изоморфны. Очевидно, что любую перепараметризацию некоторойвершины v-молекулы W (v), определяемую автоморфизмом g соответствующеготрехцветного графа, можно рассматривать как результат замены параметризации fсоответствующей ей седловой элементарной области на параметризацию g ◦ f . Поскольку каждая параметризация f произвольно выбирается при построении vмолекулы W (v), будем считать, что v-молекулы W (v) и W (v ′ ) были построенытаким образом, что существует отображение h̃ : W (v) → W (v ′ ), являющееся изоморфизмом графов, сохраняющим обозначения вершин, ориентации ребер, метки и140параметризации седловых вершин. Необходимо доказать, что в этом случае существует гомеоморфизм h : M → M ′ , переводящий траектории потока v в траекториипотока v ′ .Поскольку h̃ сохраняет обозначения седловых вершин и их параметризации, дляседловой элементарной области Ni , соответствующей вершине Vi графа W (v), иседловой элементарной области Ni′ , соответствующей вершине h̃(Vi ) графа W (v ′ ),существует гомеоморфизм hi : Ni → Ni′ , переводящий траектории потока v в траектории потока v ′ и “совпадающий” с отображением h̃ на множестве граничныхокружностей (т.
е. для любого ребра e, инцидентного вершине Vi , граничная окружность области Ni , соответствующая этому ребру, переходит при гомеоморфизме hiв граничную окружность области Ni′ , соответствующую ребру h̃(e)). Поскольку вv-молекуле не бывает ребер, соединяющих седловые вершины, можно считать, чтотребуемый гомеоморфизм h : M → M ′ уже определен на седловых элементарныхобластях формулой h|Ni = hi , в частности, он определен на окружностях разрезающего набора, являющихся граничными для какой-либо седловой области.Определим гомеоморфизм h на всех остальных окружностях разрезающего набора многообразия M так, чтобы они переходили в соответствующие (при отображении h̃) окружности разрезающего набора многообразия M ′ с согласованиемориентаций, индуцированных на них предельными циклами в примыкающих элементарных областях типа S.
Это возможно, так как изоморфизм h̃ : W (v) → W (v ′ )сохраняет метки на ребрах. Для окружности разрезающего набора, разделяющейдве области типа A (такая ситуация возникает лишь для простейшего потока, описанного в замечании 14), определим гомеоморфизм h на этой окружности произвольно.Теперь гомеоморфизм h определен на всех окружностях разрезающего набора ина всех седловых элементарных областях.
Чтобы полностью построить гомеоморфизм h, необходимо для каждой элементарной области типа A или типа S продолжить его с границы на всю область. При этом для элементарных областей типа Sгомеоморфизм, заданный на граничных окружностях, согласован с их ориентациями, индуцированными ориентациями предельных циклов. В этой ситуации существование требуемого продолжения доказано в [107].141Теорема 19. Для любой v-молекулы W существует такой поток Морса–Смейла v на двумерной поверхности M , что W изоморфна W (v).Доказательство. Требуемый поток Морса–Смейла v легко построить, используя структуру v-молекулы W . Действительно, чтобы получить поверхность Mс потоком, необходимо лишь склеить элементарные области, соответствующие вершинам v-молекулы W , по граничным окружностям.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
