Топология особенностей интегрируемых гамильтоновых систем (1097913), страница 29
Текст из файла (страница 29)
е. список всех потоков Морса с N седловыми точками).Итак, пусть T — некоторый трехцветный граф. Опишем алгоритм построениянекоторой допустимой строчки C̃(T ) сложности N = m1 (T ), состоящей из m0 (T )отрезков.Определение 44. (Описание алгоритма)(1) Занумеруем все su-циклы цифрами 1, 2, . . . , N и выберем в каждом su-цикленекоторую вершину (произвольно). Будем называть такие вершины отмеченными. После этого введем следующие обозначения для ориентированных s-реберграфа T : ориентированное s-ребро, началом которого является какая-либо из отмеченных вершин, обозначим символом K, соответствующим номеру su-цикла,содержащего эту вершину; ориентированное s-ребро, противоположное ребру K146в su-цикле и задающее на нем ту же ориентацию, обозначим K′ ; ориентированныеs-ребра, отличающиеся от ребер K и K′ ориентацией обозначим соответственноK и K′ (см. рис.
23, где отмеченные вершины обведены кружком). В результатекаждое ориентированное s-ребро графа T будет обозначено некоторым символом из набора AN .(a)(b)(c)(d)Рис. 23: Определение кода для трехцветного графа(2) Для каждого st-цикла выберем на нем ориентацию и некоторое начальное sребро (произвольно). После этого для каждого st-цикла строится отрезок строчки C̃(T ) следующим образом: будем идти вдоль данного st-цикла по s-ребрам(начиная с выбранного s-ребра и в выбранном направлении), записывая последовательно обозначения соответствующих s-ребер, ориентированных направлением движения по st-циклу. Приписывая символ 0 в начале каждой из построенных последовательностей символов, получаем строчки вида 0 X1 X2 .
. . Xl , гдеXi ∈ AN , а 2l — длина соответствующего st-цикла.(3) Упорядочим все st-циклы (произвольно) и запишем в этом порядке соответствующие последовательности вида 0 X1 X2 . . . Xl , построенные на предыдущем шаге. Очевидно, полученная строчка C̃(T ) является допустимой.
Она состоит изm0 (T ) отрезков и имеет сложность m1 (T ).Пример 9. На рис. 24 показан процесс выписывания строчки C̃(T ) длятрехцветного графа T , соответствующего потоку, описанному в примере 3(см. рис. 10(c)). Этот граф имеет два st-цикла и два su-цикла. Поэтому соответствующая строчка C̃(T ) должна состоять из двух отрезков и иметь сложность 2.Отмеченные вершины обведены кружком, рядом указаны номера содержащих ихsu-циклов; в каждом st-цикле выделено ориентированное s-ребро, задающее на немнаправление и “начало отсчета”, после этого однозначно выписываются два отрез-147ка 0 1 и 0 1′ 2′ 2 , соответствующие двум st-циклам рассматриваемого графа T ;окончательный результат — строчка C̃(T ) = (0 1 0 1′ 2′ 2 ).Рис.
24: Пример выписывания кода для трехцветного графаПокажем теперь, как восстановить трехцветный граф T по построенной строчке C̃(T ).Лемма 25. Для любой допустимой строчки C без отрезков нулевой длинысуществует единственный (с точностью до изоморфизма) трехцветный граф T ,для которого C = C̃(T ).Доказательство. Пусть C — некоторая допустимая строчка сложности N .Рассмотрим N циклов длины 4, у каждого из которых одна пара противоположныхсторон — цвета s, а другая — цвета u.
Пусть эти циклы занумерованы цифрами1, 2, . . . , N , и в каждом из них одна из вершин отмечена. Тогда точно так же, какв п. (1) определения 44, каждому ориентированному ребру цвета s в цикле с номером K однозначно сопоставляется обозначение X вида K, K′ , K или K′ (см. рис. 23).В результате каждому символу строчки C отличному от нуля ставится в соответствие некоторое ориентированное ребро цвета s в рассматриваемом наборе циклов.Построим трехцветный граф T , в котором рассматриваемые циклы будут suциклами, следующим образом: для каждого отличного от нуля символа X в строчке C соединим ребром цвета t конец ребра, соответствующего этому символу, иначало ребра, соответствующего следующему за X символу в строчке C.
При этом,если X последний символ в отрезке строчки C, то будем считать, что следующий заним символ — это первый отличный от нуля символ данного отрезка. Легко понять,что в результате получится некоторый трехцветный граф T . Из описанного процесса построения графа T ясно также, как надо выбрать все необходимые нумерациии ориентации его элементов, чтобы получить исходную строчку C как C̃(T ).148Докажем единственность построенного графа T . Пусть алгоритм (из определения 44) сопоставляет одну и ту же строчку C двум трехцветным графам T1 и T2 (принекоторых ориентациях и нумерациях их циклов).
Тогда существует отображениеF : T1 → T2 , устанавливающее их изоморфизм. Действительно, отображение, переводящее su-циклы графа T1 в su-циклы графа T2 с теми же номерами, так чтобыотмеченные вершины графа T1 переходили в отмеченные вершины графа T2 , очевидно, продолжается до отображения всего графа T1 и является изоморфизмом.Определим правило сравнения двух допустимых строчек.
Оно задает отношениепорядка на множестве всех допустимых строчек, которое мы будем обозначать “<”.Определение 45. Пусть C1 и C2 — некоторые допустимые строчки.(1) Если сложность строчки C1 меньше сложности строчки C2 , то C1 < C2 .(2) Если сложности C1 и C2 равны, то они сравниваются лексикографически, т. е.(a1 , a2 , . . . ) < (b1 , b2 , . . . ) тогда и только тогда, когда (a1 , . .
. , ai−1 ) = (b1 , . . . , bi−1 )и ai < bi для некоторого i ≥ 1, где символы, из которых состоят допустимыестрочки, упорядочены следующим образом:0 < 1 < 1 < 1′ < 1′ < 2 < 2 < 2′ < 2′ < · · · < K < K < K′ < K′ < . . .Определение 46. Кодом C(T ) трехцветного графа T называется строчка, являющаяся наименьшей среди всех допустимых строчек, которые можно сопоставитьграфу T , действуя по алгоритму, описанному в определении 44.Замечание 29. Конечно, для того, чтобы сформулировать определение 46, годится любое отношение порядка на множестве допустимых строчек.
Указанное правило сравнения допустимых строчек удобно тем, что коды потоков Морса будутобладать некоторыми “естественными” свойствами. Например, коды, соответствующие потокам Морса на ориентируемых поверхностях, характеризуются тем, что несодержат символов с чертой (см. лемму 28).Каждому потоку Морса v, отличному от простейшего, соответствует трехцветный граф T (v), которому мы сопоставили код C(T (v)). Будем считать, что каждойкомпоненте многообразия, на которой поток v является простейшим, соответствуетв допустимой строчке отрезок нулевой длины (в частности, простейшему потокусопоставлен код (0)).
Тогда можно говорить о коде C(v) потока Морса v.149Из леммы 25 следует, что все множество допустимых строчек разбивается наклассы эквивалентности (строчки C1 и C2 эквивалентны, если им соответствуют топологически траекторно эквивалентные потоки Морса). С этой точки зрениякод C(T ) есть просто минимальный элемент в соответствующем классе эквивалентности относительно введенного выше отношения порядка.Опишем явно операции над допустимыми строчками, при помощи которых можно любые две эквивалентные строчки перевести друг в друга (в частности, любуюдопустимую строчку — в эквивалентную ей минимальную).Лемма 26. Две допустимые строчки эквивалентны тогда и только тогда,когда одну из другой можно получить выполняя следующие операции.(1) Во всей строчке все символы вида 1, 1′ , 1, 1′ , .
. . , N, N′ , N, N′ заменяем символамиσ(1), σ(1)′ , σ(1), σ(1)′ , . . . , σ(N), σ(N)′ , σ(N), σ(N)′ соответственно, где σ — некоторая перестановка.(2) Для некоторой цифры K ∈ {1, 2, . . . , N } заменяемa) символы K, K′ , K, K′ на символы K′ , K, K′ , K,илиb) символы K, K′ , K, K′ на символы K, K′ , K, K′соответственно.(3) Для некоторого отрезка 0 X1 X2 . . . Xl заменяем егоa) на отрезок 0 Xp+1 Xp+2 . . . Xl X1 .
. . Xp , где 1 ≤ p ≤ l − 1илиb) на отрезок 0 Xl Xl−1 . . . X1 , где Xi ∈ AN , причем (по определению полагаем)K = K и K′ = K′ .(4) Переставляем отрезки строчки произвольным образом.Доказательство. Указанные в формулировке леммы операции соответствуют тем действиям алгоритма, описанного в определении 44, которые определенынеоднозначно.
Операция (1) соответствует перенумерации su-циклов, операции (2a)и (2b) — изменению выбора отмеченной вершины в su-цикле с номером K на шаге (1) алгоритма, операции (3a) и (3b) — выбору (ориентированного) начальногоs-ребра на шаге (2) алгоритма, операция (4) — шагу (3).150Пример 10. Строчка C̃(T ) = (0 1 0 1′ 2′ 2 ), построенная в примере 9, неявляется минимальной в своем классе эквивалентности.
Ее можно перевести в минимальную при помощи следующих операций из леммы 26:(3b)(2b)C̃(T ) =(0 1 0 1′ 2′ 2 ) −→ (0 1 0 2 2′ 1′ ) −→(2b)(3a)−→ (0 1 0 2 2′ 1′ ) −→ (0 1 0 1′ 2 2′ ) = C(T )Теорема 21. Код C(v) является полным топологическим траекторным инвариантом для потоков Морса, т. е. потоки Морса v1 и v2 топологически траекторно эквивалентны тогда и только тогда, когда C(v1 ) = C(v2 ).Доказательство. Утверждение следует из теоремы 14 и леммы 25.Список кодов для потоков Морса сложности ≤ 2 приведен в разделе 3.4.3(см. таблицу 2).3.4.2.
Кодирование и перечисление потоковМорса–СмейлаКод для потоков Морса–Смейла общего вида можно построить, добавив к коду,построенному в предыдущем разделе, некоторую дополнительную информацию.Рассмотрим сначала поток Морса–Смейла v, все предельные циклы которогоявляются отталкивающими. Если разрезать многообразие M , на котором задан поток v, по предельным циклам, а затем стянуть в точку каждую компоненту разреза,то мы получим поток Морса ṽ на многообразии M̃ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
