Топология особенностей интегрируемых гамильтоновых систем (1097913), страница 33

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 33)

Применяя те же рассуждения, что и при доказательстве утверждения 2, получаем, что условие s1 (x) = 0 равносильно условиюsgrad F1 (x) = sgrad F2 (x) = 0, т. е. сечение s1 не равно нулю вне K0 . Условие транс-167версальности (общности) для указанного сечения s1 равносильно невырожденности оператора линеаризации поля s1 в особой точке ранга 0. Эту невырожденностьможно проверить, используя симплектические координаты из теоремы Элиассона,в которых функции F1 и F2 имеют простой вид.В качестве второго сечения s2 можно взять, например, некоторую линейнуюкомбинацию sgrad F1 и sgrad F2 с вещественными коэффициентами. Ясно, что тогда D2 \ D1 = K1 .

Условие трансверсальности также следует из невырожденностиособых точек (ранга 1), что можно проверить явным вычислением, используя координаты из теоремы Элиассона.Замечание 32. Теорему 24 можно обобщить, ослабив условие невырожденности гамильтонова действия. А именно, можно допустить существование у гамильтонова действия, так называемых, простейших вырожденных одномерных орбит(см. [29]). В этом случае некоторые из двумерных подмногообразий, образующихкомплекс особенностей, будут заполнены одномерными орбитами разных типов (какэллиптическими, так и гиперболическими). Однако указанное выше правило ориентации этих подмногообразий применимо и в этом случае. Иными словами, ориентация на всем подмногообразии будет корректно определена, если в точках, принадлежащих эллиптическим орбитам задавать ее формой ω, а в точках, принадлежащихгиперболическим орбитам — формой (−ω).4.2.

Топологические свойства комплексаособенностей для систем с двумястепенями свободыИзучим теперь некоторые свойства двумерных подмногообразий, образующихкомплекс особенностей.4.2.1. Индексы пересеченияРассмотрим погруженные подмногообразия Qj , заполненные гиперболическимиорбитами гамильтонова действия.168Теорема 25. Пусть все особые точки интегрируемой гамильтоновой системы(M 4 , ω, F1 , F2 ) невырождены. Любое подмногообразие Qj (входящее в состав комплекса особенностей K и заполненное гиперболическими особыми точками ранга 1)имеет тривиальное нормальное расслоение в многообразии M 4 .Доказательство. Поскольку Qj является симплектическим подмногообразием в (M 4 , ω) (см.

предложения 15 и 16), можно считать, что в каждой точкеx ∈ Qj слой нормального расслоения к подмногообразию Qj в M 4 является косоортогональным (относительно формы ω) дополнением к касательному пространству Tx Qj .Пусть x ∈ Qj — особая точка ранга 1. Тогда существует линейная комбинацияинтегралов F = λ1 F1 + λ2 F2 , для которой dF (x) = 0, причем такая линейная комбинация определена однозначно с точностью умножения на ненулевую константу.Рассматривая линеаризацию векторного поля sgrad F в точке x, получаем оператор Ax , принадлежащий алгебре Ли sp (Tx M 4 ) группы симплектической преобразований касательного пространства Tx M 4 . Поскольку x — невырожденная особаяточка ранга 1, этот оператор имеет два нулевых и два ненулевых, противоположных по знаку собственных значения.

Гиперболичность точки x означает, что этиненулевые собственные значения вещественны. Поэтому им соответствуют два одномерных собственных подпространства.Из определения оператора Ax следует, что эти собственные подпространствалежат в косоортогональном дополнении к Tx Qj . Действительно, касательное пространство Tx Qj является симплектическим, инвариантно относительно оператора Ax и содержит собственный вектор соответствующий нулевому собственномузначению (вектор, касательный к одномерной орбите, проходящей через x).

Из этихусловий следует, что касательное пространство Tx Qj соответствует паре нулевыхсобственных значений оператора Ax , но для любого оператора из sp (Tx M 4 ) подпространства, соответствующие двум его собственным значениям λ и µ таким, чтоλ + µ ̸= 0, косоортогональны.Итак, в каждом слое нормального расслоения к подмногообразию Qj в многообразии M 4 имеются два одномерных подпространства. На всем многообразии Qjони образуют одно или два одномерных подрасслоения (двумерного) нормально-169го расслоения. Рассматривая подходящее накрытие π : Q̃j → Qj , можно добитьсятого, чтобы одномерные расслоения над Q̃j , индуцированные имеющимися двумяодномерными расслоениями (или одним одномерным расслоением) над Qj при помощи отображения π, были ориентируемы (см., например, [36]).

Тогда двумерноерасслоение над Q̃j , индуцированное нормальным расслоением над Qj при помощитого же накрытия π, будет тривиально, так как оно ориентируемо и обладает всюдуненулевым сечением. Отсюда следует, что и исходное расслоение тривиально.Сформулируем теперь некоторые утверждения об индексах пересечения подмногообразий Pi , Qj . Точнее, мы будем рассматривать индексы пересечения соответствующих классов гомологий [Pi ], [Qj ] ∈ H2 (M 4 , Z) относительно формы пересечения H2 (M 4 , Z) × H2 (M 4 , Z) → Z. Будем обозначать индекс пересечения классовгомологий α, β ∈ H2 (M 4 , Z) через α · β ∈ Z. Обозначим также число точек самопересечения (погруженных) подмногообразий Pi , Qj через nPi , nQj соответственно.

Кроме того будем обозначать эйлерову характеристику многообразия X через χ(X).Теорема 26. Пусть K = (P1 ∪· · ·∪Pl )∪(Q1 ∪· · ·∪Qm )∪(T1 ∪· · ·∪Ts ) — множество особенностей интегрируемой гамильтоновой системы на компактном симплектическом многообразии (M 4 , ω) (в обозначениях предложения 16). Для индексов пересечения классов гомологий [Pi ], [Qj ] выполнены следующие соотношения:1) [Pi ] · [Pj ] ≥ 0 ,[Pi ] · [Qj ] ≤ 0 ,[Qi ] · [Qj ] ≥ 0 ;2) [K] · [Pi ] = χ(Pi ) + [Pi ] · [Pi ] − 2nPi ;3) [K] · [Qj ] = −χ(Qj ) ;4) χ(P1 ) + · · · + χ(Pl ) − χ(Q1 ) − · · · − χ(Qm ) = 2(χ(M 4 ) − s) .Доказательство. Докажем утверждение 1). Требуемые неравенства следуют из того, что для каждого из рассматриваемых случаев знак пересечения соответствующих подмногообразий в любой точке их пересечения такой, какой нужно.Рассмотрим, например, пересечение подмногообразий Pi и Pj (остальные случаирассматриваются аналогично).Согласно предложению 16 подмногообразия Pi и Pj трансверсально пересекаются в некоторых точках типа центр-центр.

Рассмотрим касательные пространствак подмногообразиям Pi и Pj в точке x их пересечения как подпространства простран-170ства Tx M 4 . Очевидно, эти подпространства инвариантны относительно гамильтонова действия. Они отвечают различным парам ненулевых собственных значенийоператоров из картановской подалгебры, соответствующей рассматриваемой особойточке x ранга 0. Отсюда ясно, что эти подпространства косоортогональны относительно формы ω (это следует и из теоремы Элиассона).(Локальный) индекс пересечения подмногообразий Pi и Pj в точке x можно определить следующим образом.

Выберем в подпространствах Tx Pi и Tx Pj пары векторов e1 , e2 и e3 , e4 соответственно, которые задают положительные ориентации в этихподпространствах (т. е. для векторов e1 , e2 , e3 , e4 должны быть выполнены условияω(e1 , e2 ) > 0 и ω(e3 , e4 ) > 0, так как ориентации на подмногообразиях Pi и Pj задаются формой ω). Тогда индекс пересечения подмногообразий Pi и Pj в точке xравен знаку выражения ω ∧ ω(e1 , e2 , e3 , e4 ). Вычисляя, получаем1ω ∧ ω(e1 , e2 , e3 , e4 ) = ω(e1 , e2 )ω(e3 , e4 ) − ω(e1 , e3 )ω(e2 , e4 ) + ω(e1 , e4 )ω(e2 , e3 ) =2= ω(e1 , e2 )ω(e3 , e4 ) ,так как вектора e1 , e2 косоортогональны векторам e3 , e4 .

Последнее выражение положительно в силу выбора векторов e1 , e2 , e3 , e4 , следовательно в каждой точке пересечения подмногообразий Pi и Pj знак равен +1. Складывая эти знаки по всемточкам пересечения получим требуемое неравенство.Докажем утверждение 2). Предположим сначала, что nPi = 0. Тогда доказываемое равенство можно записать следующим образом:χ(Pi ) = [Pi ] · ([P1 ] + · · · + [Pi−1 ] + [Pi+1 ] + · · · + [Pl ] + [Q1 ] + · · · + [Qm ]).Эйлерову характеристику χ(Pi ) многообразия Pi можно рассматривать как сумму индексов особых точек векторного поля, направленного вдоль одномерных орбит.

Рассмотрим в качестве такого поля v линейную комбинацию полей sgrad F1и sgrad F2 , которая зануляется лишь на конечном числе (замкнутых) одномерныхорбит, лежащих в Pi . Существование такой линейной комбинации следует из невырожденности особых точек ранга 0 и компактности подмногообразий Pi .Итак, векторное поле v равно нулю в особых точках ранга 0 и, возможно, на некоторых одномерных орбитах (при этом оно может обращаться в нуль только на всейорбите сразу). Тогда нули поля v, расположенные на одномерных орбитах, не будут171давать вклада в эйлерову характеристику. Остается лишь заметить, что фактически в доказываемом равенстве слева и справа суммируются одни и те же числа(равные ±1), которые “занумерованы” особыми точками ранга 0, содержащимисяв многообразии Pi .

Действительно, каждая особая точка типа центр-центр, лежащая на многообразии Pi , дает вклад (+1) в правую часть равенства как точкапересечения с некоторым подмногообразием Pi′ и одновременно дает вклад (+1)в левую часть равенства как эллиптическая особая точка векторного поля v. Точкитипа седло-центр, лежащие на многообразии Pi , аналогичным образом прибавляют по (−1) к каждой из частей равенства. Точек типа седло-седло многообразие Piсодержать не может (см.

предложение 16).В случае, когда nPi ̸= 0, каждой точке самопересечения соответствуют две эллиптические особые точки векторного поля v, и тем самым каждая точка самопересечения добавляет два раза по (+1) в левую часть равенства.Равенство 3) доказывается аналогично с учетом того, что в данном случае нормальное расслоение тривиально, откуда следует равенство [Qj ] · [Qj ] = 2nQjРавенство 4) можно доказать следующим образом. Просуммировав все равенства 2) и 3), после простых преобразований получаем, что равенство 4) сводитсяк утверждению о том, что эйлерова характеристика многообразия M 4 равна|центр-центр| + |седло-седло| + |фокус-фокус| − |седло-центр| ,где через | ∗ | обозначено количество особых точек данного типа на всем многообразии M 4 .

Последнее утверждение можно доказать, построив векторное поле на M 4(имеющее особенности только в точках ранга 0), для которого индексы точек типацентр-центр, седло-седло и фокус-фокус равны +1, а индексы точек типа седлоцентр равны −1. В качестве такого поля можно взять поле sgrad F1 + J sgrad F2 ,построенное при доказательстве теоремы 24.Замечание 33. Из доказательства утверждения 4) теоремы 26 видно, что егоможно переформулировать следующим образом: класс Эйлера касательного расслоения T M 4 (или класс Чженя c2 (M 4 )) двойствен по Пуанкаре 0-циклу [K0 ], образованному особыми точками ранга 0, которым приписаны знаки в соответствиис их типом (−1 точкам типа седло-седло и +1 остальным).1724.2.2. Системы с невырожденнымиособенностями на CP 2В работах [90] и [112] исследовались слоения Лиувилля интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы без гиперболических особенностей.

Такиеслоения называются почти торическими слоениями. В этих работах были описанывсе возможные тотальные пространства таких слоений (почти торические четырехмерные многообразия) и базы соответствующих им почти торических слоений.В частности, было показано, что для CP 2 имеется всего четыре возможности: базой почти торического слоения является двумерный диск, граница которого имеетk “углов” (k = 0, 1, 2, 3) и внутри которого имеется 3 − k “узлов”, соответствующихфокусным особенностям. Обозначим такую базу через Dk2 .Рассмотрим CP 2 как 4-мерное симплектическое многообразие со стандартнойсимплектической структурой ω0 (индуцированной имеющейся комплексной структурой). Из теоремы 25 следует, что у интегрируемой гамильтоновой системы на(CP 2 , ω0 ) с невырожденными особенностями не может быть гиперболических особенностей.

Характеристики

Список файлов диссертации