Топология особенностей интегрируемых гамильтоновых систем (1097913), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Особенности интегрируемойгамильтоновой системы как особенностинабора сечений комплексного расслоенияНапомним сначала классический результат о геометрической интерпретацииклассов Чженя комплексного векторного расслоения, следуя книге [20] (где эта теорема называется формулой Гаусса–Бонне).4.1.1. Формула Гаусса–Бонне для комплексныхвекторных расслоенийПусть M — компактное ориентированное многообразие, E → M — комплексное векторное расслоение ранга k, а s = (s1 , . .
. , sk ) — набор глобальных гладкихсечений расслоения E. Определим множество вырождения Dj (s) как множествоточек x ∈ M , в которых s1 , . . . , sj линейно зависимы, т. е.Dj (s) = {x | s1 (x) ∧ · · · ∧ sj (x) = 0}.Набор сечений назовем общим, если для каждого j сечение sj+1 трансверсальнопересекает подпространство в пространстве расслоения E, порожденное сечения-162ми s1 , . . . , sj , так что Dj+1 (s) вне Dj (s) является подмногообразием коразмерности2(k−j), и если, кроме того, интегрирование по Dj+1 (s)\Dj (s) определяет замкнутыйпоток. В этом случае на гладком многообразии Dj \Dj−1 можно задать ориентацию.В окрестности точки x0 ∈ Dj \ Dj−1 дополним набор сечений e1 = s1 , .
. . , ej−1 = sj−1до репера в E и напишемsj (x) =∑fl (x) · el (x).lМножество Dj в окрестности точки x0 является аналитическим подмножеством{fj = · · · = fk = 0}. Пусть Φj — такая ориентация на Dj (в окрестности точки x0 ),что формаiiΦj ∧ (dfj ∧ f j ) ∧ · · · ∧ (dfk ∧ f k )22(14)положительна относительно заданной ориентации на M . Подмножество Dj вместес ориентацией Φj на Dj \Dj−1 представляет цикл в гомологиях, который называетсяциклом вырождения сечений s.Теорема 23. ([20]; формула Гаусса–Бонне) Для общего набора сечений s классЧженя cr (E) двойствен по Пуанкаре циклу вырождения Dk−r+1 сечений s.4.1.2.
Применение конструкциик интегрируемым гамильтоновым системамОписанная выше конструкция устанавливает связь между множеством вырождения сечений комплексного векторного расслоения и классами Чженя этого расслоения. Для того чтобы применить ее к множеству особенностей интегрируемойгамильтоновой системы (M, ω, F1 , . . .
, Fn ), нужно ввести комплексную структуру наслоях касательного расслоения T M . Для симплектического многообразия это всегдаможно сделать, причем однозначно с точностью до гомотопии (см. утверждение 1).После этого векторные поля sgrad F1 , . . . , sgrad Fn можно рассматривать как сечениякомплексного векторного расслоения. При этом нас интересует зависимость этихсечений над R, а не над C, но оказывается, что для интегрируемой гамильтоновойсистемы это одно и то же (см. утверждение 2).Прежде чем сформулировать необходимые утверждения, напомним следующееопределение (см., например, [95]).163Определение 50. Почти комплексная структура на симплектическом многообразии (M 2n , ω) (т.
е. тензорное поле J типа (1, 1), удовлетворяющее в каждой точкеx ∈ M 2n условию Jx2 = − idx ) называется согласованной с симплектической структурой ω, если билинейная форма ⟨u, v⟩ на касательных векторах к многообразию M 2n ,определенная равенством ⟨u, v⟩ = ω(u, Jv), является симметричной и положительноопределенной (т. е. является римановой метрикой на M 2n ).Доказательство следующего утверждения можно найти, например, в [95].Утверждение 1. Для любого симплектического многообразия существует почти комплексная структура, согласованная с симплектической структурой, причем множество таких почти комплексных структур стягиваемо.Таким образом, касательное расслоение к симплектическому многообразию можно рассматривать как комплексное расслоение, считая, что на нем задана какая-топочти комплексная структура, согласованная с симплектической формой.
При этомклассы Чженя этого расслоения не зависят от выбора почти комплексной структуры, так как множество таких структур стягиваемо. В дальнейшем, говоря о классахЧженя симплектического многообразия мы будем предполагать, что его касательное расслоение снабжено некоторой почти комплексной структурой, согласованнойс симплектической формой.Докажем теперь следующее простое утверждение.Утверждение 2. Пусть (V, ω) — вещественное линейное симплектическоепространство, а J — (постоянная) комплексная структура на V , согласованная с формой ω, т. е.
оператор J : V → V удовлетворяет условиям J 2 = − idи ω(v, Jv) > 0 для любого ненулевого вектора v ∈ V . Рассмотрим набор векторовU = {u1 , . . . , ul } в пространстве V . Обозначим через rkR U ранг системы векторовu1 , . . . , ul , а через rkC U — ранг этой системы векторов в пространстве V , рассматриваемом как комплексное пространство (относительно комплексной структуры J).Тогда если линейная оболочка L системы векторов u1 , .
. . , ul является изотропным подпространством в V (т. е. ω|L ≡ 0), то rkR U = rkC U.164Доказательство. По определению ранг системы векторов U совпадает с размерностью их линейной оболочки L, т. е. rkR U = dimR L. Далее, ранг системы векторов U в “комплексном” пространстве V совпадает с комплексной размерностьюих линейной оболочки L̃, где L̃ можно рассматривать как вещественное подпространство в пространстве V , натянутое на вектора u1 , . .
. , uk , Ju1 , . . . , Juk , т. е.rkC U = dimC L̃ =1dimR L̃.2Таким образом, для доказательства леммы достаточно показать, что L̃ = L ⊕ J(L),что, очевидно, равносильно условию L ∩ J(L) = {0}.Предположим, что существует ненулевой вектор v, лежащий в пересеченииL ∩ J(L). Тогда вектор Jv также принадлежит пересечению L ∩ J(L), так какJ 2 (L) = L. В частности, мы видим, что вектора v и Jv принадлежат изотропномуподпространству L. Но это невозможно в силу условия ω(v, Jv) > 0.Итак, утверждения 1 и 2 позволяют применить конструкцию, описанную впредыдущем разделе, к набору коммутирующих векторных полей на симплектическом многообразии. Отметим, что даже для систем с невырожденными особенностями набор сечений sgrad F1 , . .
. , sgrad Fn , вообще говоря, не является общим.В нашей ситуации роль цикла вырождения будет играть множество, являющеесязамыканием множества особых точек фиксированного ранга.4.1.3. Множество особенностей и классы ЧженяДля интегрируемой гамильтоновой системы (M, ω, F1 , . . . , Fn ) обозначим черезKr множество всех ее особых точек ранга r. Из явного вида функций, указанных втеореме Элиассона (теорема 2), следует, что в случае, когда все особенности системыневырождены, множество Kr обладает следующим свойством.Предложение 15.
Пусть все особые точки интегрируемой гамильтоновойсистемы (M, ω, F1 , . . . , Fn ) невырождены. Тогда для каждого r = 0, 1, . . . , n−1 множество K r (замыкание множества особых точек ранга r) можно представитьв виде набора погруженных связных симплектических подмногообразий размерности 2r.165Далее мы будем рассматривать гамильтоновы системы с двумя степенями свободы. В этом случае невырожденными особенностями системы могут быть точкитипа центр-центр, центр-седло, седло-седло, фокус-фокус (т. е. точки ранга 0, образующие множество K0 ) и эллиптические или гиперболические точки ранга 1 (образующие множество K1 ). При этом точки ранга 1 заполняют одномерные орбитысоответствующего гамильтонова действия, которые мы также будем называть эллиптическими или гиперболическими.Переформулируем более подробно предложение 15 для случая двух степенейсвободы.Предложение 16. Пусть все особые точки интегрируемой гамильтоновойсистемы (M 4 , ω, F1 , F2 ) невырождены, а фазовое пространство M 4 компактно.
Тогда множество K всех особых точек системы (т. е. объединение K0 и K1 ) можнопредставить в видеK = (P1 ∪ · · · ∪ Pl ) ∪ (Q1 ∪ · · · ∪ Qm ) ∪ (T1 ∪ · · · ∪ Ts ) ,где T1 , . . . , Ts — изолированные особые точки типа фокус-фокус, а P1 , . . . , Pl ,Q1 , .
. . , Qm — замкнутые двумерные погруженные симплектические подмногообразия в M 4 , обладающие следующими свойствами:1) все эллиптические одномерные орбиты содержатся в∪ческие одномерные орбиты содержатся в mj=1 Qj ;∪li=1Pi , все гиперболи-2) все пересечения подмногообразий Pi , Qj (в том числе их самопересечения)трансверсальны и происходят только в особых точках ранга 0, причем пересечения вида Pi ∩ Pj содержат только особые точки типа центр-центр, пересечения вида Pi ∩Qj содержат только особые точки типа центр-седло, пересечения вида Qi ∩Qj содержат только особые точки типа седло-седло.Таким образом, в случае двух степеней свободы множество особенностей интегрируемой гамильтоновой системы состоит из некоторого числа изолированныхточек типа фокус-фокус и множества K 1 , являющегося объединением замкнутыхдвумерных подмногообразий, погруженных в фазовое пространство M 4 . Будем называть множество K 1 комплексом особенностей.Зададим на подмногообразиях, образующих комплекс особенностей, ориентацию с помощью симплектической формы ω следующим образом: будем считать,166что ориентация на подмногообразиях Pi , заполненных эллиптическими орбитами,определяется формой ω, а на подмногообразиях Qj , заполненных гиперболическими орбитами, формой (−ω).
Подмногообразия Pi , Qj , ориентированные указаннымобразом, реализуют некоторые двумерные классы целочисленных гомологий многообразия M 4 . Обозначим их через [Pi ], [Qj ] ∈ H2 (M 4 , Z). Обозначим сумму всех этихклассов через [K 1 ]:[K 1 ] = [P1 ] + · · · + [Pl ] + [Q1 ] + · · · + [Qm ] ∈ H2 (M 4 , Z).Ориентацию на многообразии M 4 зададим 4-формой ω ∧ ω.Применяя теорему Элиассона, можно проверить, что выбранная ориентация наподмногообразиях Pi , Qj соответствует правилу, заданному формулой (14).Теорема 24.
Пусть все особенности интегрируемой гамильтоновой системы (M 4 , ω, F1 , F2 ) невырождены, а фазовое пространство M 4 компактно. Тогда класс [K 1 ] ∈ H2 (M 4 , ω) двойствен по Пуанкаре первому классу Чженяc1 (M 4 ) ∈ H 2 (M 4 ).Доказательство. Для доказательства теоремы достаточно построить общийнабор сечений s1 , s2 касательного расслоения T M 4 , для которых цикл вырождения,определяемый множеством D2 = {x | s1 (x) ∧ s2 (x) = 0} будет совпадать с множеством K 1 .Если положить si = sgrad Fi , то этот набор сечений, вообще говоря, может небыть общим.
Это связано с тем, что в этом случае мы имеем лишь включениеD2 \ D1 ⊂ K1 вместо необходимого равенства D2 \ D1 = K1 . Равенство означает,что сечение s1 = sgrad F1 зануляется лишь в точках из K0 , но это не всегда так.Более того, не сложно привести пример системы, когда любая линейная комбинацияλ1 sgrad F1 + λ2 sgrad F2 будет иметь нули вне множества K0 .Тем не менее, можно построить сечение s1 , которое имеет нули в точности в точках из K0 , например, следующим образом. Рассмотрим “комплексную” линейную комбинацию косых градиентов sgrad Fi . Например, положимs1 = sgrad F1 + J sgrad F2 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
