Топология особенностей интегрируемых гамильтоновых систем (1097913), страница 35
Текст из файла (страница 35)
28, соответствуют следующие многообразия Q3g,h :2S 3 ,kгде Nk = # S 1 × S 2 .1N1 ,2N1 ,N3 ,N5 ,179Замечание 35. На рис. 28 изображена лишь полуплоскость g ≥ 0, посколькусистемы на орбитах M1,g и M1,−g одинаковы (см. замечание 34), т. е. набор областейв полуплоскости g ≤ 0 симметричен указанному относительно оси h. Кроме того,приведенный рисунок соответствует случаю12< α ≤ 1.
При 0 < α ≤12исчезаетодна из областей с изоэнергетической поверхностью N3 на рис. 28 (см. также рис. 32,содержащий более подробную информацию о топологии рассматриваемой системы).Топология изоэнергетических поверхностей гамильтоновой системы зависитлишь от ее гамильтониана. Более полную информацию о топологии интегрируемой гамильтоновой системы можно получить исследуя соответствующее ей слоениеЛиувилля (определение 3) на фазовом пространстве системы.Для интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы имеется полный топологический инвариант, классифицирующий изоэнергетические поверхности (с боттовскими интегралами) с точностью до лиувиллевой эквивалентности.
Этот инвариант, впервые описанный в [63], называется инвариантом Фоменко–Цишанга или меченой молекулой (см. также [12]). Он представляет собой граф (называемый “молекулой”), вершины которого (“атомы”) соответствуют особым слоямслоения Лиувилля, а ребра — однопараметрическим семействам регулярных слоев(т. е. торов Лиувилля).
При этом ребра и некоторые вершины молекулы снабженычисловыми метками. Эти метки содержат информацию о склейке однопараметрических семейств торов Лиувилля в окрестности особых слоев.Молекулу без меток иногда называют инвариантом Фоменко. Этот инвариантклассифицирует изоэнергетические поверхности с точностью до грубой лиувиллевойэквивалентности (см. [62], [12]), для которой допустимой операцией является разрезание изоэнергетической поверхности по тору Лиувилля и склейка полученныхграничных торов по некоторому диффеоморфизму.Для исследовании топологии интегрируемой гамильтоновой системы (в частности, для вычисления ее инвариантов Фоменко) полезно сначала найти критическиеточки отображения момента и построить бифуркационную диаграмму (это сделанов разделе 5.1.2).
После этого необходимо исследовать перестройки торов Лиувилля при критических значениях отображения момента и построить соответствующиемолекулы (см. раздел 5.1.3).1805.1.2. Бифуркационные диаграммы отображениямомента для случая СоколоваРассматриваемая система является гамильтоновой на 4-мерных многообразиях M1,g . Для каждого значения параметра g гамильтониан и дополнительный интеграл системы являются ограничениями функций (16) и (17) на соответствующеемногообразие M1,g . Мы будем обозначать эти ограничения также через H и K (каки исходные функции в R6 (S, R)). Соответствующее семейство отображений моментаимеет видΦg : M1,g → R2 (h, k),x 7→ (H(x), K(x)).(18)Таким образом, отображение Φg зависит от параметра g, задающего орбиту, а такжеот параметра α.Ясно, что для рассматриваемой системы критические точки отображения момента Φg имеют ранг 0 или 1.
Опишем сначала критические точки ранга 0 (онисоответствуют положениям равновесия системы).Предложение 17. Множество всех критических точек ранга 0 для интегрируемой гамильтоновой системы с гамильтонианом (16) и интегралом (17) является объединением следующих (двупараметрических ) семейств в пространствеso(4)∗ = R6 (S, R):1) (0, 0, S3 , 0, 0, R3 );2) (0, S2 , 0, R1 , R2 , 0), где R12 + R22 − S22 − 2αR1 S2 = 0;3) (0, S2 , S3 , 2αS2 , ±S2 , ±S3 );4) (S1 , 0, 0, R1 , R2 , 0), где R12 + R22 − S12 − α2 R2 S1 = 0;5) (S1 , 0, S3 , ±S1 , α2 S1 , ±S3 ).Доказательство.
Координаты векторного поля sgrad H относительно скобкиЛи–Пуассона (15) имеют следующий вид:{S1 , H} = 2αS2 S3 + S1 R3 − R1 S3 ,2{S2 , H} = S1 S3 + S2 R3 − R2 S3 ,α1{S3 , H} = −2(α + )S1 S2 ,α{R1 , H} =2αS2 R3 + S1 S3 − R1 R3 ,2{R2 , H} = S1 R3 + S2 S3 − R2 R3 ,α1{R3 , H} = − 2(αR1 S2 + S1 R2 )+α+ R12 + R22 − S12 − S22 .(19)181Отсюда сразу видно, что в любой критической точке ранга 0 либо S1 = 0, либоS2 = 0.
Приравнивая к нулю оставшиеся координаты и перебирая все возможныеварианты, получаем указанные 5 случаев. После этого легко проверяется, что вуказанных точках sgrad K также равен нулю.В предложении 17 множество всех критических точек ранга 0 рассматривается как подмножество во всем пространстве R6 (S, R). Каждое из указанных пятисемейств, пересекаясь с конкретной орбитой M1,g , дает положения равновесия соответствующей интегрируемой системы на орбите. Учитывая уравнения, задающиеорбиту, для каждого значения g получаем множество критических точек ранга 0 наорбите M1,g и их образы при отображении момента Φg . Ответ приведен в следующемутверждении.Предложение 18. Критические точки ранга 0 для интегрируемой гамильтоновой системы с гамильтонианом (16) и интегралом (17) на орбите M1,g перечислены ниже в виде пяти серий, соответствующих пяти семействам из предложения 17, причем для каждой точки x из этого списка указаны значение гамильтониана h = H(x) и значение интеграла k = K(x):1) при всех 0 ≤ g <12имеется 4 точки вида(0, 0, S3 , 0, 0, R3 ),где S32 + R32 = 1,S3 R3 = g,при этом h = 0 и k = 0;2) при всех 0 ≤ g <12имеется 4 точки вида(1S2 g )10, S2 , 0,− , , 0 , где S22 = ±2αS2α S22√α± (1+α2 )(1−4g 2 )1при этом h =и k = 4α(1 − 4g 2 );23) при g >12+4α2α2 (1 − 4g 2 ),4(α2 + 1)имеются 4 точки вида(0, S2 , S3 , 2αS2 , S2 , S3 ),где S22 =1при этом h = − 4α(1 − 2g) и k =4) при всех 0 ≤ g <(√121(14α1(1 − 2g) и4α2S32 =g(2 + 4α2 ) − 1,4α2− 4g 2 );имеется 4 точки вида)g α1S1 , 0, 0, ,− αS1 , 0 , где S12 = ±S1 2S12√−1∓ (1+α2 )(1−4g 2 )при этом h =и k = − α4 (1 − 4g 2 );2α√1 − 4g 2,4(α2 + 1)1825) при g >(α22α2 +4имеются 4 точки вида)2S1 , 0, S3 , S1 , S1 , S3 ,αгде S12 =α2(1 − 2g) и4S32 =g(2α2 + 4) − α2,4при этом h = α4 (1 − 2g) и k = − α4 (1 − 4g 2 ).Рассмотрим теперь критические точки ранга 1.Кривые, составляющие бифуркационную диаграмму отображения момента, являются образами критических точек ранга 1.
В этих точках косые градиентыsgrad H и sgrad K линейно зависимы, но хотя бы один из них не равен нулю. Отметим, что бифуркационную диаграмму для рассматриваемой системы можно построить и не выписывая явные формулы для критических точек ранга 1 (см. лемму 32ниже), но этого недостаточно для нахождения перестроек торов Лиувилля. Поэтомумы приведем здесь явное описание этих точек.Выражение для sgrad K в координатах S, R достаточно громоздко.
Чтобы упростить дальнейшие вычисления, введем следующие обозначения:Q1 = S2 R3 − S3 R2 ,Q2 = S3 R1 − S1 R3 ,Q3 = S1 R2 − S2 R1 ,q = S12 + S22 + S32 − R12 − R22 − R32 .(20)(21)Если рассматривать (Q1 , Q2 , Q3 ) как координаты вектора Q, то Q = S × R (где × —векторное произведение), а q = S2 − R2 .Используя эти обозначения, гамильтониан (16) и интеграл (17) можно записатьв следующем виде:1 2S + Q3 ,α 1)1 2 (12− α Q23 .K = Q3 q − αQ1 + Q2 +ααH = αS22 −(22)(23)В “переменных” (S, Q) гамильтониан и интеграл имеют простой вид, однако навсем пространстве so(4)∗ их нельзя рассматривать как систему координат, поскольку имеется очевидное соотношение ⟨S, Q⟩ ≡ 0.
Тем не менее, оказывается, что этоне мешает использовать их как координаты при исследовании особенностей отображения момента. Сформулируем необходимые утверждения.Пусть ϕ : R6 (S, R) → R6 (S, Q) — отображение, заданное формулами (20).При этом отображении каждая орбита M1,g переходит в некоторое множество183ϕ(M1,g ) ⊂ R6 (S, Q). Поскольку гамильтониан H и интеграл K выражаются через Sи Q (см. формулы (22) и (23)), отображение момента (18) можно представить каккомпозицию Φg = Ψg ◦ ϕ, гдеΨg : ϕ(M1,g ) → R2 (h, k)задается формулами (22), (23).Лемма 29. При g ̸= 0 ограничение отображения ϕ на орбиту M1,g являетсядиффеоморфизмом на образ ϕ(M1,g ). В частности, множества критических значений отображений Φg и Ψg совпадают.Доказательство. Если S ̸= 0, то, зная S × R и ⟨S, R⟩, мы однозначно определяем R. Поэтому ограничение отображения ϕ на любую орбиту M1,g , где g ̸= 0,является взаимно-однозначным.Далее, дифференциал отображения ϕ (как отображения всего пространстваR6 (S, R) в R6 (S, Q)) в каждой точке (S, R), где S ̸= 0, имеет одномерное ядро,натянутое на вектор (0, S).
Но этот вектор не лежит в касательном пространствек орбите, так как производная инварианта f2 вдоль этого вектора равна S2 ̸= 0.Следующие два утверждения также легко проверяются непосредственным вычислением.Лемма 30. Скобки функций S1 , S2 , S3 , Q1 , Q2 , Q3 имеют следующий вид :{Si , Sj } = ϵijk Sk ,{Si , Qj } = ϵijk Qk ,{Qi , Qj } = ϵijk qSk .(24)Лемма 31. Образ орбиты M1,g при отображении ϕ задается в R6 (S, Q) следующими уравнениями:⟨S, Q⟩ = 0,S2 (1 − S2 ) − Q2 = g 2 .(25)Таким образом, лемма 29 показывает, что (при g ̸= 0) мы можем рассматриватьфункции H и K как функции от S, Q. При этом множество точек, где эти функции зависимы надо будет искать не на M1,g , а на многообразии ϕ(M1,g ), заданномуравнениями (25), а образы этих точек при отображении Ψg дадут требуемую бифуркационную диаграмму.
Это существенно упрощает все дальнейшие вычисления.184Перейдем теперь к описанию множества критических точек.Вычисления удобно проводить в переменных S, Q. Заметим, что мы можем этоделать в любой точке, где S ̸= 0 (в условии леммы 29 было g ̸= 0, но приведенноетам доказательство годится и при выполнении более слабого условия S ̸= 0).
Легкопроверяется, что в точках (S, R), где S = 0, sgrad H и sgrad K (вычисленные в координатах S, R) пропорциональны. Поэтому все такие точки являются критическими.Далее можно предполагать, что S ̸= 0 и работать с переменными S, Q.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
