Топология особенностей интегрируемых гамильтоновых систем (1097913), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Например, связность изоэнергетической поверхности может накладывать ограничения на тип перестроек. Если же имеется некоторая симметрия системы, тоособенности системы должны допускать эту симметрию, т. е. тоже не могут бытьпроизвольными. Поскольку имеется список всех невырожденных особенностей малой сложности, эти соображения иногда позволяют однозначно определить тип перестройки торов Лиувилля.В следующем утверждении описаны все перестройки торов Лиувилля при критических значениях отображения момента для рассматриваемой системы.
Для описания типов перестроек используются стандартные обозначения: через A обозначаетсяперестройка ∅2T 2T 2 , через B — перестройка T 22T 2 , а через C2 — перестройка2T 2 (их точное описание см. в [12]; см. также рис. 1 и рис. 2). При этомчисло перед обозначением перестройки указывает, что одновременно происходитнесколько бифуркаций такого типа (например, 2A означает рождение двух торовЛиувилля).Теорема 32.
Для интегрируемой гамильтоновой системы с гамильтонианом (16) и интегралом (17) на орбите M1,g все перестройки торов Лиувилля прикритических значениях отображения момента имеют тип A, B или C2 . Перестройки, соответствующие различным частям бифуркационной диаграммы, указаны на рис. 31 (для случая (b) из теоремы 30).Доказательство. Будем рассматривать диаграмму, изображенную на рис. 31(т. е. случай (b) из теоремы 30). Жирными точками на ней отмечены образы критических точек ранга 0 и вырожденных критических окружностей. Они разбивают196бифуркационные кривые на части так, что перестройки торов Лиувилля, соответствующие точкам из одной части, одинаковы.4A2A2B2B2A2 C22A2A2A2B2 C22A4AРис.
31: Перестройки торов ЛиувилляПерестройки, соответствующие тем частям бифуркационной диаграммы, которые лежат на границе образа всей орбиты M1,g , являются перестройками типа A.При этом их количество определяется количеством критических окружностей в прообразе, т. е., фактически, описано в предложении 21.Далее, на рассматриваемой диаграмме имеются ровно две точки, являющиесяобразами точек типа центр-седло (см. теорему 31). Рассуждения, приведенные придоказательстве предложения 21, позволяют определить не только количество критических окружностей в прообразах точек бифуркационных кривых, но и их перестройки при движении точки вдоль бифуркационной кривой, проходящей черезобраз точки типа центр-седло.
А именно, исследуя правые части формул (29), получаем, что перестройка торов Лиувилля, соответствующая левой верхней частипараболы P1 на рис. 31, имеет тип 2B. Аналогичным образом получаем, что перестройка, соответствующая нижней части отрезка E2 , имеет тип C2 . Перестройка,соответствующая верхней части отрезка E2 , также имеет тип C2 . Это следует изтого, что при увеличении значения g (при переходе в случай (c) из теоремы 30)верхняя точка отрезка E2 становится образом точки типа центр-седло.Правая крайняя точка параболы P2 на рис. 31 является образом двух точектипа центр-центр (см. теорему 31).
Поэтому перестройка торов Лиувилля, соответствующая правой нижней части параболы P2 , имеет тип 2A. То, что перестройка,соответствующая части параболы P1 между точками ее касания с отрезками E1 иE2 , также имеет тип 2A, опять следует из рассмотрения этой части при значениях g,соответствующих случаю (c) из теоремы 30.197Итак, перестройки определены для всех частей бифуркационной диаграммы кроме отрезка E1 и двух дуг парабол P1 и P2 от вершины до точки касания с ним.Для указанных дуг парабол ситуация следующая: здесь два тора Лиувилля перестраиваются в четыре тора Лиувилля, проходя через две критические окружности.Кроме того, у рассматриваемой системы имеется симметрия, которая меняет местами эти критические окружности.
Действительно, при изменении знака у переменных S1 , S2 , R1 , R2 все интегралы рассматриваемой системы f1 , f2 , H, K сохраняются,а окружности, задаваемые формулой (27), меняются местами. Используя список перестроек малой сложности (см. [12]), получаем, что имеется всего один вариант дляперестройки, удовлетворяющей всем этим условиям. Это перестройка типа 2B.Аналогичные рассуждения приводят к ответу и для отрезка E1 .
В этом случаечетыре тора перестраиваются в четыре тора через четыре критические окружности.Рассмотрим еще одну симметрию системы — изменение знака у переменных S3 , R3 .Из формул (30) получаем, что указанные две симметрии меняют местами различныепары из четырех критических окружностей. Кроме того, из теоремы 28 следует, чтополные прообразы точек отрезка E1 состоят из двух связных компонент. Как и впредыдущем случае, используя список перестроек малой сложности, получаем, чтолишь перестройка типа 2C2 удовлетворяет всем перечисленным условиям.Отметим, что хотя на рис.
31 перестройки торов Лиувилля указаны лишь длядля случая (b) из теоремы 30, остальные перестройки (для бифуркационных диаграмм (a) и (c) на рис. 30) однозначно устанавливаются из соображений непрерывности и симметрии.Построим теперь молекулы (или инварианты Фоменко), классифицирующие слоения Лиувилля на изоэнергетических поверхностях интегрируемой системы с точностью до грубой лиувиллевой эквивалентности.Для этого нужно для каждой вертикальной прямой на плоскости R2 (h, k) определить, что происходит со связными компонентами прообраза точки, движущейсявдоль этой прямой.
Пока точка движется от одной бифуркационной кривой до другой, ее прообразом является набор торов Лиувилля, которые трансформируются,образуя однопараметрические семейства. При пересечении бифуркационной кривойпроисходит перестройка этих торов.198Поскольку перестройки торов Лиувилля полностью описаны в теореме 32, мызнаем атомы, из которых составлена молекула. Остается только определить, междукакими атомами происходит “склейка”.
Как оказалось, для рассматриваемой системы все определяется однозначно из информации о количестве связных компонентизоэнергетической поверхности (которую дает теорема 28).Отметим, что здесь мы не вычисляем метки, которые полностью определяютслоение Лиувилля на изоэнергетической поверхности Q3g,h (и, в частности, топологию самой этой поверхности). Поэтому одна и та же молекула может соответствовать не гомеоморфным изоэнергетическим поверхностям. Если учесть имеющуюсяинформацию о топологическом типе изоэнергетических поверхностей рассматриваемой системы (теорема 28), то в качестве инварианта можно рассматривать пару“молекула — топологический тип Q3g,h ”.Таблица 4: Список инвариантов Фоменко для случая Соколова№МолекулаAAAA1BAA2ABAAAC2A56AAAA2S 37AAAAAC2AA2S 3Q3МолекулаC2C2C2C2C2C2C2C2AAAAS1 × S2AAAA# S1 × S2AA4№AA3Q3B2S8ABAAABBAAAAC2BAC2BAC2A9S1 × S210AAAC2AS1 × S2AAAAAAAA1AA33A5AAAA# S1 × S2BABA# S1 × S2C2C2C2C2C2C22S 1 × S 2131Теорема 33.
Для интегрируемой гамильтоновой системы с гамильтонианом (16) и интегралом (17) полный список инвариантов Фоменко при различныхзначениях параметров g, α и h состоит из 6 молекул. С учетом топологии изоэнергетической поверхности, имеется ровно 10 вариантов для пары “молекула —топологический тип Q3g,h ”. Они перечислены в таблице 4, а номера вариантов изтаблицы указаны на рис.
32.199h1210103358674567658g76987495773382112(a)<α<1g10(b) 0 < α <1012Рис. 32: Разделяющие кривые на плоскости R2 (g, h)200Замечание 37. Рис. 32 содержит информацию как о топологии изоэнергетических поверхностей, так и о слоении Лиувилля на них. Каждая точка на плоскости R2 (g, h) определяет изоэнергетическую поверхность Q3g,h . Переход точки изодной области в другую через сплошную кривую на рис. 32 соответствует изменению топологии изоэнергетической поверхности, а переход через пунктирнуюкривую — изменению слоения Лиувилля на ней (без изменения топологическоготипа).5.2. Задача двух центров на сфереВ этом разделе исследуется топология задачи о движении точки по сфере (со стандартной метрикой постоянной положительной кривизны) в поле, создаваемом двумя “ньютоновскими” центрами.
В частности, найдены инвариантыФоменко–Цишанга, которые полностью описывают топологию лиувиллевых слоений на изоэнергетических поверхностях системы.Результаты этого раздела были опубликованы в совместной работе автора иТ. Г. Возмищевой [17]. Описание интегралов системы в разделе 5.2.2 и построениебифуркационных диаграмм (раздел 5.2.4; см. также [118]) принадлежат Т. Г. Возмищевой. Теорема 34 (о регуляризации), теорема 35 (о боттовости) и построениедопустимых систем координат для всех случаев (раздел 5.2.7) принадлежат автору.Теоремы 36 и 37 получены совместно.5.2.1. Постановка задачиГамильтониан натуральной механической системы равен сумме кинетической ипотенциальной энергий:H =T +V .Мы будем рассматривать задачу о движении материальной точки по стандартнойдвумерной сфере в поле, создаваемом двумя неподвижными притягивающими центрами.
Кинетическая энергия T в этом случае задается метрикой сферы, а потенциальная энергия V равна сумме потенциалов, создаваемых каждым из центров.201В плоском случае (для плоской метрики) в качестве потенциала, создаваемого одним притягивающим центром, рассматривается ньютоновский потенциалV = − γr , где γ — постоянный положительный коэффициент, характеризующий силупритяжения.Аналогом ньютоновского потенциала на сфере является функция −γctg θ,где θ — угловая величина дуги, соединяющей точку с притягивающим центром(см., например, [88], [89]).
Опишем два подхода к обобщению ньютоновского потенциала на случай искривленных пространств на примере пространств постояннойкривизны.1. Хорошо известно, что для ньютоновского потенциала все финитные орбитызамкнуты (они являются эллипсами). Как было доказано Ж. Бертраном (1873 г.),кроме ньютоновского существует еще ровно одно центральное потенциальное поле,для которого все финитные траектории замкнуты.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
