Топология особенностей интегрируемых гамильтоновых систем (1097913), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Используясоотношения (24), легко выписать скобки функций Si , Qj с гамильтонианом (22) иинтегралом (23). Получаем{S1 , H} = 2αS2 S3 − Q2 ,{S1 , K} = Q2 (2αQ3 − q),2S1 S3 + Q1 ,α(1){S3 , H} = −2 α +S1 S2 ,α{S2 , K} =Q1(αq + 2Q3 ),α(1){S3 , K} = −2 α +Q1 Q2 ,α2αQ3 − q{Q1 , H} = S2 (2αQ3 − q),{Q1 , K} =(S2 (αq + 2Q3 ) − 2S3 Q2 ),αS1αq + 2Q3{Q2 , H} = (αq + 2Q3 ),{Q2 , K} =(S1 (q − 2αQ3 ) + 2αS3 Q1 ),αα2S1 Q22S1 Q2−2αS2 Q1 , {Q3 , K} =(2αQ3 −q) − 2S2 Q1 (αq+2Q3 ).{Q3 , H} = −αα{S2 , H} =Если рассматривать выписанные выражения как координаты двух 6-мерных векторов, то надо найти те точки (S, Q), в которых они зависимы.
Это можно сделать,приравнивая к нулю все миноры 2×6-матрицы, составленной из координат этих векторов. Ответ приведен в следующем утверждении. При этом, хотя сами вычисленияудобнее проводить в переменных S, Q, мы выписываем уравнения на критическиеточки в исходных переменных S, R.Предложение 19. Множество всех точек, где косые градиенты гамильтониана (16) и интеграла (17) зависимы, является объединением (четырехпараметрических ) семейств, задаваемых следующими уравнениями в пространствеso(4)∗ = R6 (S, R):(A1) S1 = 0, S3 = 0;(A2) S2 = 0, S3 = 0;(B1) S2 R3 − S3 R2 = 0, S1 R2 − S2 R1 =1(S122α+ S22 + S32 − R12 − R22 − R32 );(B2) S3 R1 − S1 R3 = 0, S1 R2 − S2 R1 = − α2 (S12 + S22 + S32 − R12 − R22 − R32 );185(C1) R1 − S1 = α(S2 − R2 ),(1 + α2 )S1 S2 (S2 − R2 ) − S3 R3 (S1 − αS2 ) + S32 (S1 − αR2 ) = 0;(C2) R1 + S1 = α(S2 + R2 ),(1 + α2 )S1 S2 (S2 + R2 ) + S3 R3 (S1 + αS2 ) + S32 (S1 − αR2 ) = 0.Пересечение каждого из семейств критических точек, выписанных в предложении 19, с орбитой M1,g дает некоторое множество критических точек отображениямомента Φg .
Образ каждого из этих множеств при отображении Φg есть некотораякривая на плоскости R2 (h, k), которая является частью соответствующей бифуркационной диаграммы Σh,k .Для того, чтобы найти эти кривые, нужно в каждом из случаев, перечисленныхв предложении 19, сделать следующее: добавить к двум уравнениям, задающимсоответствующее семейство, еще четыре уравненияf1 (S, R) = 1,f2 (S, R) = g,H(S, R) = h,K(S, R) = k,(26)а затем исключить переменные S1 , S2 , S3 , R1 , R2 , R3 из полученной системы уравнений.
Приведем ответ.Предложение 20. Для семейств критических точек, перечисленных в предложении 19, их образы при отображении момента Φg содержатся в кривых, задаваемых следующими уравнениями на плоскости R2 (h, k):(A1) k =1 2hα− h + αg 2 ;(A2) k = −αh2 − h − α1 g 2 ;(B1) k =1 1(α 4− g 2 );(B2) k = −α( 41 − g 2 );(C1) k = −(1 − 2g)h;(C2) k = −(1 + 2g)h.Отметим, что бифуркационные диаграммы Σh,k на плоскости R2 (h, k) содержатлишь части кривых, указанных в предложении 20. Перейдем к точному описаниюбифуркационных диаграмм при различных значениях g и α.Для того, чтобы построить бифуркационную диаграмму отображения момента Φg , нам нужно найти образы критических точек, лежащих на орбите M1,g , приотображении Φg . Все критические точки перечислены в предложении 19.
Их образысодержатся в кривых, описанных в предложении 20. Таким образом, для каждого из семейств, указанных в предложении 19, нужно описать те значения (g, h, k),186для которых соответствующая система из шести уравнений (два уравнения, задающие семейство, и уравнения (26)) имеет решение относительно неизвестныхS1 , S2 , S3 , R1 , R2 , R3 . Следующее утверждение позволяет упростить вычисления прирешении этой задачи.Лемма 32. Каждая периодическая траектория векторного поля sgrad H пересекает хотя бы одну из двух гиперплоскостей S1 = 0, S2 = 0.Доказательство. Рассмотрим некоторую периодическую траекторию и координату S3 как функцию на ней.
Зависимость S3 от времени задается уравнениемṠ3 = {S3 , H} = −2(α + α1 )S1 S2 . Для периодической функции S3 (t) всегда существует t0 , для которого Ṡ3 (t0 ) = 0. Тогда для этой траектории получаем S1 (t0 ) = 0 илиS2 (t0 ) = 0.Отметим, что доказанное утверждение справедливо, в частности, для неподвижных точек потока, задаваемого sgrad H, т.е. каждая особая точка векторного поляsgrad H лежит в гиперплоскости S1 = 0 или в гиперплоскости S2 = 0 (что, впрочем,видно и из списка, приведенного в предложении 17).Учитывая лемму 32, мы можем строить бифуркационные диаграммы, находяобразы не всех критических точек, а лишь тех, для которых S1 = 0 или S2 = 0.Рассмотрим сначала случай g = 0. Как оказалось, в этом случае вычисления дляпостроения бифуркационной диаграммы Σh,k отображения момента Φ0 и вид самойбифуркационной диаграммы проще, чем в общем случае.Теорема 29.
При g = 0 бифуркационная диаграмма Σh,k имеет вид, указанныйна рис. 29. Она состоит из частей двух парабол P1 и P2 (касающихся в начале координат) и двух горизонтальных отрезков U и L (касающихся соответствующихпарабол в их вершинах ):√√{}h2α − 1 + α2α + 1 + α2P1 = (h, k) k =− h;≤h≤,α22√√{}2−1−−1+1+α1 + α22≤h≤P2 = (h, k) k = −αh − h;,2α2α√{}11α + 1 + α2U = (h, k) k =; −≤h≤,4α2α2√}{αα −1 − 1 + α2≤h≤.L = (h, k) k = − ;42α2187Теперь рассмотрим произвольное значение g.
При g ̸= 0 появляются еще дваотрезка, причем их расположение зависит от значений g и α.Теорема 30. При g > 0 и 0 < α ≤ 1 бифуркационная диаграмма Σh,k имеетодин из трех видов (a), (b), (c), указанных на рис. 30. Во всех случаях она состоитиз частей двух парабол P1 и P2 , двух горизонтальных отрезков U и L (касающихсясоответствующих парабол в их вершинах ) и двух отрезков E1 и E2 (каждый изкоторых лежит на одной из двух общих касательных к параболам, причем концыотрезка E1 — это точки касания, а концы отрезка E2 — либо точки касания, либоточки пересечения с отрезками U и L).
Эти бифуркационные кривые задаютсяформулами√√}{(1+α2 )(1−4g 2 )α + (1+α2 )(1−4g 2 )h22 α−P1 = k =− h + αg ;≤h≤,α22√√{}−1+ (1+α2 )(1−4g 2 )g 2 −1− (1+α2 )(1−4g 2 )2P2 = k = −αh −h− ;≤h≤,α2α2α√{}α + (1 + α2 )(1 − 4g 2 )1 − 4g 21U = k=; −≤h≤,4α2α2√}{αα(1 − 4g 2 ) −1 − (1 + α2 )(1 − 4g 2 );≤h≤,L = k=−42α2{}gE1 = k = −(1 − 2g)h; − ≤ h ≤ αg ,α{}E2 = k = −(1 + 2g)h; h1 ≤ h ≤ h2 ,где для h1 и h2 , задающих концы отрезка E2 , возможны следующие три случая(соответствующие трем диаграммам на рис. 30):(a)если 0 < g ≤(b)если(c)еслиα2,2α2 + 4то h1 = −αg1α2<g≤, то h1 = −αg22α + 42 + 4α2111 − 2g<g< ,то h1 = −22 + 4α24αиииg,αα(1 − 2g)h2 =,4α(1 − 2g)h2 =.4h2 =Доказательство теорем 29 и 30 проводится прямым вычислением с учетом леммы 32 (см.
также доказательство предложения 21).Замечание 36. Все диаграммы (на рис. 29 и 30) изображены для 0 < α ≤ 1и g ≥ 0. Как было указано выше (см. замечание 34 в п. 1.2), при замене g на −gдиаграмма вообще не меняется, а случай произвольного α сводится к описанным188khРис. 29: Бифуркационная диаграмма Σh,k при g = 0kh(a) 0 < g ≤α22α2 +4kh(b)α22α2 +4<g≤12+4α2kh(c)12+4α2<g<12Рис. 30: Бифуркационные диаграммы Σh,k при различных значениях g ̸= 0в теореме 30. А именно, при замене α на −α или1αсоответствующая диаграммаполучается из исходной поворотом на 180◦ .
В частности, при α = 1 диаграммысимметричны относительно начала координат.5.1.3. Топологические инварианты для случаяСоколоваДля вычисления инвариантов Фоменко рассматриваемой интегрируемой гамильтоновой системы необходимо исследовать перестройки торов Лиувилля при критических значениях отображения момента. Один из удобных способов получения189информации об этих перестройках заключается в рассмотрении точек ранга 0, поскольку в окрестности точки ранга 0 перестройки торов можно определить, знаятип этой особой точки.Для рассматриваемой интегрируемой системы все критические точки ранга 0на произвольной орбите M1,g перечислены в предложении 18 в виде пяти серий. Вследующем утверждении для каждой из этих серий дано описание типов особыхточек.Теорема 31.
Критические точки ранга 0 для интегрируемой гамильтоновойсистемы с гамильтонианом (16) и интегралом (17) на орбите M1,g имеют следующий тип (нумерация соответствует предложению 18):1) 4 точки в прообразе точки пересечения отрезков E1 и E2 имеют тип седлоседло при g ̸= 0 (при g = 0 они вырождены);2) 2 точки в прообразе правой точки параболы P1 (для верхнего знака в формулах из предложения 18) имеют тип центр-центр; 2 точки в прообразе левойточки параболы P1 (для нижнего знака в тех же формулах ) являются невырожденными при g ̸=1,2+4α2причем они имеют тип центр-седло при g <в случаях (a) и (b) из теоремы 30) и тип центр-центр при g >12+4α212+4α2(т. е.(т.
е. вслучае (c) из теоремы 30);3) 4 точки в прообразе точки пересечения отрезков E2 и U (случай (c) из теоремы 30) имеют тип центр-седло);4) 2 точки в прообразе левой точки параболы P2 (для верхнего знака в формулахиз предложения 18) имеют тип центр-центр; 2 точки в прообразе правой точкипараболы P2 (для нижнего знака в тех же формулах ) являются невырожденнымипри g ̸=α2,2α2 +4причем они имеют тип центр-седло при g <(a) из теоремы 30) и тип центр-центр при g >α22α2 +4α22α2 +4(т. е. в случае(т. е.
в случаях (b) и (c) изтеоремы 30);5) 4 точки в прообразе точки пересечения отрезков E2 и L (случаи (b) и (c) изтеоремы 30) имеют тип центр-седло.Доказательство. Схема вычислений для определения типа особой точкиследует из определения 6′ . Рассмотрим, например, случай 1), т. е.
точку видаx = (0, 0, S3 , 0, 0, R3 ).190Выписав матрицы операторов AH и AK (линеаризации векторных полей sgrad Hи sgrad K в точке x), легко проверить, что они линейно зависимы только если S3 = 0или S3 = ±R3 . При этом точки, для которых S3 = ±R3 , лежат на особых (двумерных) орбитах алгебры, которые мы не рассматриваем.Далее, вычисляя собственные значения матрицы AH , получаем S3 + R3 , S3 − R3 ,−S3 + R3 , −S3 − R3 . Если S3 ̸= 0, R3 ̸= 0 и S3 ̸= ±R3 , то эти собственные значенияпопарно различны и вещественны, т. е.
в случае g ̸= 0 рассматриваемая точка имееттип седло-седло.При g = 0 получаем либо S3 = 0, либо R3 = 0. В обоих случаях особая точкаявляется вырожденной: при S3 = 0 матрицы AH и AK линейно зависимы, а при R3 =0 любая линейная комбинация λAH + µAK имеет лишь два различных собственныхзначения ±S3 (λ − µS32 ) кратности 2.Аналогичным образом рассматриваются случаи 2)–5).Для “типичной” точки бифуркационной диаграммы (h, k) ∈ Σh,k множество критических точек в ее прообразе при отображении момента Φg является наборомокружностей. Информация о количестве этих окружностей помогает определитьтип перестройки торов Лиувилля при данном критическом значении отображениямомента.Соответствие между бифуркационными кривыми и множествами критическихточек в их прообразах описано в предложениях 19 и 20.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
