Топология особенностей интегрируемых гамильтоновых систем (1097913), страница 37

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 37)

В следующем утверждениидается ответ на вопрос о количестве критических окружностей в прообразах точекбифуркационных кривых.Предложение 21. Пусть (h, k) — точка бифуркационной диаграммы, прообразкоторой при отображении Φg не содержит точек ранга 0 (т. е. любая точка кромеграничных точек парабол P1 , P2 и точек пересечения отрезков U, L, E1 , E2 ).1) Если точка (h, k) лежит на одной из парабол P1 , P2 , или на отрезке U между концами параболы P1 , или на отрезке L между концами параболы P2 , то еепрообраз содержит ровно 2 критические окружности.2) Если точка (h, k) является внутренней точкой одного из отрезков E1 , E2или внутренней точкой одного из отрезков U, L, но не лежит между концами со-191ответствующей параболы, то ее прообраз содержит ровно 4 критические окружности.Доказательство.

Рассмотрим отдельно каждую из бифуркационных кривыхP1 , P2 , U, L, E1 , E2 .1) Пусть точка (h, k) принадлежит параболе P1 . Согласно предложениям 19 и 20критические точки, лежащие в ее прообразе при отображении момента Φg , задаютсясистемой уравненийS1 = 0S =0 3S22 + R12 + R22 + R32 = 1 S R =g2 2 αS 2 − S2 R1 = h2Если S2 = 0, то из этих уравнений следует, что g = 0 и h = 0 (а значит и k = 0).Прообраз точки (0, 0) при отображении Φ0 содержит критические точки ранга 0.Поскольку мы не рассматриваем такие точки, то дальше предполагаем, что S2 ̸=0. В этом случае R1 и R2 однозначно выражаются из последних двух уравнений.Подставляя их в третье уравнение системы, получаемR32 = 1 + 2αh − (1 + α2 )S22 −g 2 + h2.S22(27)Рассматривая выражение в правой части как функцию от S2 , легко получаем, что√( √)α− (1+α2 )(1−4g 2 ) α+ (1+α2 )(1−4g 2 )для всех значений h из интервала,эта функция22положительна ровно на двух интервалах (для других значений h она отрицательнопри всех S2 ).

Это означает, что прообраз каждой внутренней точки параболы P1содержит ровно две критические окружности.Случай параболы P2 исследуется совершенно аналогично.2) Рассмотрим отрезок U . Критические точки, лежащие в его прообразе, удовлетворяют условиям (B1) из предложения 19. Видно, что точки, для которыхS1 = S2 = S3 = 0, не удовлетворяют этим условиям. Поэтому мы можем в этомслучае использовать для вычислений переменные S, Q (см. лемму 29).Уравнения, задающие критические точки в прообразе точки (h, k) отрезка U приотображении момента Φg , имеют следующий вид в переменных S, Q (см. предложе-192ние 19, лемму 25 и формулу (22)):Q1 = 02αQ3 = 2S2 − 1⟨S, Q⟩ = 0S2 (1 − S2 ) − Q2 = g 2 αS 2 − 1 S 2 + Q3 = h2α 1Упрощая последние два уравнения с помощью второго уравнения системы и подставляя выражения для S и Q, перепишем систему в следующем виде:Q1 = 0S 2 + S22 + S32 − αQ3 = 21 1S2 Q2 + S3 Q3 = 0Q22 + (1 + α2 )Q23 = 14 − g 2 S 2 + (1 + α2 )S 2 = 1 + αh322Из четвертого уравнения видно, что если Q2 = Q3 = 0, то g 2 = 14 , что соответствуетособым орбитам.

Поэтому можно считать, что Q2 ̸= 0 или Q3 ̸= 0, и, учитываятретье уравнение, положить S2 = λQ3 и S3 = −λQ2 , где λ — некоторый параметр.Подставляя эти выражения вместо S2 и S3 в уравнения системы, после простыхпреобразований получим следующие соотношения:√Q1 = 0,S12 =S2 = λQ3 ,4αh + 2,1 − 4g 21Q22 = −(1 + α2 )Q23 + − g 2 .4S3 = −λQ2 ,2α2 (2αh + 1) 2Q3 + αQ3 − αh,1 − 4g 2λ=±(28)(29)При каждом значении переменной Q3 , для которого правые части уравнений (29)неотрицательны, мы можем выразить S1 и Q2 из уравнений (29), а затем остальные переменные — из уравнений (28).

При этом, если правые части положительны,то имеется 4 способа выбрать знаки при вычислении S1 и Q2 , и всегда имеется2 варианта выбора знака у λ. Таким образом, если рассматривать правые частиуравнений (29) как функции от переменной Q3 , то количество критических окружностей в прообразе данной точки (h, k) при отображении момента Φg полностьюопределяется взаимным расположением интервалов, на которых эти функции неотрицательны.

Например, если отрезок, на котором неотрицательна вторая функция,193целиком содержится в интервале, на котором неотрицательна первая функция, тополучаем 4 окружности (так как еще можно двумя способами выбрать знак у λ).Разбирая все возможные варианты, получаем ответ.Критические точки в прообразе отрезка L исследуются аналогично.3) Теперь рассмотрим отрезок E1 . Используя предложения 19 и 20, выпишемсистему уравнений, задающую множество критических точек в прообразе некоторойточки (h, k) отрезка E1 при отображении момента Φg :R1 − S1 = α(S2 − R2 )(1 + α2 )S1 S2 (S2 − R2 ) − S3 R3 (S1 − αS2 ) + S32 (S1 − αR2 ) = 0S12 + S22 + S32 + R12 + R22 + R32 = 1S1 R1 + S2 R2 + S3 R3 = g αS 2 − 1 S 2 + S1 R2 − S2 R1 = h2α 1Из трех уравнений, которые линейно зависят от R1 , R2 , R3 , можно выразить этипеременные через S1 , S2 , S3 и подставить в оставшиеся два уравнения.

Далее, изполученных двух уравнений можно выразить квадраты переменных S1 , S2 , S3 черезнекоторый параметр τ . Опуская подробности, приведем окончательный вид этихвыражений:α(αg − h) (g + αh 2 )=1+τ −τ ,1 + α21 − 2gg + αh (αg − h 2 )S22 =1+τ−τ ,(30)1 + α2α(1 − 2g)(g + αh)(gα − h) 2S32 =τ .α(1 − 2g)Рассуждая, как и в предыдущем случае, и учитывая, что R1 , R2 , R3 однозначно выS12ражаются через S1 , S2 , S3 , мы получаем, что количество критических окружностейв прообразе данной точки (h, k) при отображении момента Φg определяется взаимным расположением интервалов, на которых правые части полученных соотношений (30) (рассматриваемые как функции от τ ) положительны.

Легко проверяется,что в данном случае выражение для S32 всегда положительно (если (h, k) — внутренняя точка отрезка E1 ), а области неотрицательности для S12 и S22 являютсяотрезками, причем один из них всегда содержится в другом. Из этого следует, чтодля каждой внутренней точки отрезка E1 (кроме точки пересечения с отрезком E2 )имеется ровно 4 критические окружности в ее прообразе.Аналогичным образом можно исследовать отрезок E2 .194Теперь, используя уже имеющуюся информацию о топологии рассматриваемойсистемы, мы можем описать все перестройки торов Лиувилля при критических значениях отображения момента.Отметим, что некоторые из приводимых ниже рассуждений корректны лишьв том случае, если особенности системы невырождены (или, в другой терминологии, если интеграл K является боттовским; см.

определение 10, а также [12]). Здесьмы не проверяем боттовость интеграла K на всех изоэнергетических поверхностях.Однако, поскольку невырожденность критических точек ранга 0 доказана (теорема 31), можно утверждать, что по крайней мере в некоторых окрестностях этихточек критические окружности являются невырожденными. Более того, так какдля данной интегрируемой системы все рассматриваемые функции алгебраические,отсюда следует, что почти все критические окружности невырождены.Учитывая это замечание, мы будем использовать результаты и методы теориитопологической классификации интегрируемых систем, изложенной в книге [12].Приведем краткое описание некоторых из этих методов, позволяющих определитьперестройки торов Лиувилля для рассматриваемой системы.Во-первых, построенные бифуркационные диаграммы (теоремы 29 и 30) и информация о количестве критических окружностей в прообразах точек бифуркационных кривых (предложение 21) позволяют определить количество торов Лиувилляв прообразах регулярных точек для каждой из областей, на которые бифуркационные кривые разбивают плоскость.

Действительно, всего имеется 6 таких областей(см. рис. 30). При непрерывном изменении параметра g их границы изменяются,причем для каждой из этих 6 областей при некоторых значениях g часть ее границысодержится в границе образа всей орбиты M1,g . Несложно показать, что количествокритических окружностей в прообразах точек из этих частей границы совпадает сколичеством торов Лиувилля в прообразах регулярных точек из данной области.Во-вторых, мы знаем тип критических точек ранга 0 (теорема 31).

Это позволяет определить, какие перестройки торов Лиувилля соответствуют бифуркационнымкривым, примыкающим к образам точек типа центр-седло. В окрестности точки,являющейся образом точки типа центр-седло, бифуркационная диаграмма всегдаимеет стандартный вид: одна бифуркационная кривая проходит через эту точку,195а другая выходит из нее. Прообраз первой кривой заполнен эллиптическими критическими окружностями, а прообраз второй — седловыми. При этом перестройкуторов Лиувилля, соответствующую кривой с седловыми окружностями в прообразе, можно рассматривать как прямое произведение окружности S 1 на перестройкукритических окружностей в прообразе бифуркационной кривой, проходящей черезобраз рассматриваемой точки типа центр-седло.Наконец, мы можем использовать информацию о топологии изоэнергетическихповерхностей (теорема 28), а также некоторые симметрии рассматриваемой системы.

Характеристики

Список файлов диссертации