Топология особенностей интегрируемых гамильтоновых систем (1097913), страница 40
Текст из файла (страница 40)
При этом “черные” вершины прямоугольников отображаются в притягивающие центры P1 , P2 , а207“белые” — в отталкивающие центры Q1 , Q2 . Поскольку функции sn u, cn u имеютпериод 4K1 , а функции sn v, cn v — период 4K2 , описанное отображение плоскостиR2 (u, v) на сферу S2 задает отображение T2 → S2 , где тор T2 можно представлятькак прямоугольник в плоскости R2 (u, v) со сторонами 4K1 , 4K2 (состоящий из двухзаштрихованных и двух незаштрихованных прямоугольников с общей вершиной),у которого пары противоположных сторон отождествлены при помощи сдвигов.Центральная симметрия плоскости R2 (u, v) относительно любой из вершин прямоугольников (см.
рис. 33) задает инволюцию σ : T2 → T2 с четырьмя неподвижными точками. Фактор-пространство T2 /σ есть конфигурационное пространство S2рассматриваемой задачи. Поэтому вместо движения точки по сфере S2 можно рассматривать движение точки по тору T2 , учитывая затем действие инволюции σ.Более точно эта процедура описана в разделе 5.2.3.Гамильтониан и интеграл в переменных u, v (т. е. описывающие движение точкипо тору T2 ) имеют вид(γ1 − γ2 ) sin 2δ snu dnu+(γ1 + γ2 ) cos 2δ snv dnvp2 + p2v))(−,H= ( 2δ 2u2 sin 2 cn u+ cos22δ cn2 vR sin2δ2 cn2 u+ cos22δ cn2 vctg δ cn2 vp2 −tg 2δ cn2 up2v (γ1 −γ2) cos 2δ snu dnu cn2 v−(γ1 +γ2) sin 2δ snv dnv cn2 u()−)L= ( 2 δ 2 u,2 tg 2 cn u+ctg 2δ cn2 vR tg 2δ cn2 u+ctg 2δ cn2 vгде pu , pv — импульсы, соответствующие координатам u, v.5.2.3.
РегуляризацияПотенциал V рассматриваемой задачи имеет особенности в четырех точках насфере (притягивающие центры P1 , P2 и отталкивающие центры Q1 , Q2 ). При этомв точках P1 , P2 функция V стремится к −∞, а в точках Q1 , Q2 стремится к +∞.Так как кинетическая энергия T всегда положительна, а полная энергия H = T + Vпостоянна вдоль траекторий системы, отсюда следует, что частица, движущаясяпо сфере в поле, создаваемом потенциалом V , никогда не попадает в точки Q1 и Q2 .Для точек P1 и P2 ситуация противоположная: для любого положения частицына сфере можно задать такую начальную скорость, что частица за конечное времяпопадет в притягивающий центр. При этом скорость частицы “в момент попаданияв притягивающий центр” станет бесконечно большой (поскольку T + V = const ).208Таким образом, задача двух центров на сфере описывается гамильтоновой системой на кокасательном расслоении к двумерной сфере T ∗ S2 с гамильтонианомH = T + V , где T — квадратичная функция по импульсам (стандартная метрикана сфере), а V — функция на сфере, задаваемая формулой (31).
Однако при такомподходе фазовым пространством этой системы будет не все многообразие T ∗ S2 , поскольку функция V не определена в четырех точках сферы P1 , P2 , Q1 , Q2 (а значит,функция H не определена на четырех плоскостях, являющихся слоями кокасательного расслоения T ∗ S2 над этими четырьмя точками).Обозначим сферу S2 с четырьмя выброшенными точками P1 , P2 , Q1 , Q2 через S0 .Тогда фазовое пространство системы есть T ∗ S0 . Как уже отмечалось выше, гамильтоново векторное поле w = sgrad H на T ∗ S0 , задающее систему, не является полным.Поэтому, хотя система и обладает дополнительным интегралом L (см.
раздел 5.2.2),она не является интегрируемой по Лиувиллю. Тем не менее, как будет показанониже, после некоторой регуляризации качественное поведение системы будет таким же, как и для интегрируемых по Лиувиллю гамильтоновых систем (почти всетраектории являются условно-периодическими обмотками торов).Отметим, что описанный ниже способ регуляризации системы аналогичен регуляризации, предложенной Т. Леви-Чивита для классической задачи Кеплера(см. [91]).Рассмотрим гамильтониан H как функцию переменных (u, v, pu , pv ). Системус таким гамильтонианом можно рассматривать как гамильтонову систему на кокасательном расслоении к тору T2 .
Введем обозначениеλ(u, v) = sin2 2δ cn2 u + cos2 2δ cn2 v .(33)Тогда гамильтониан имеет вид(γ1 − γ2 ) sin 2δ sn u dn u + (γ1 + γ2 ) cos 2δ sn v dn vp2u + p2v−,H=2λ(u, v)R · λ(u, v)()∂H ∂H∂H∂Hа координаты поля W = sgrad H на T ∗ T2 равны ∂p,,−,−.∂u∂vu ∂pvВ фазовом пространстве T ∗ T2 векторное поле W имеет особенности в точках,где λ(u, v) = 0, то есть в точках вида (±K1 , ±K2 , pu , pv ). Рассмотрим векторное поле209f = λ(u, v) · sgrad H.
В координатах (u, v, pu , pv ) оно имеет видW((γ − γ)12pu , pv , sin 2δ cn u(2 dn2 u − 1) − 2 sin 2δ sn u dn u · h ,R(34)(γ + γ))12δcos 2 cn v(2 dn2 v − 1) − 2 cos 2δ sn v dn v · h ,Rгде h = H(u, v, pu , pv ) — значение гамильтониана в точке (u, v, pu , pv ). Векторноеf также имеет особенности в точках (±K1 , ±K2 , pu , pv ), поскольку гамильтополе Wниан H не определен в точках, где λ(u, v) = 0. Обозначим через Wh ограничениеf на изоэнергетическую поверхность Qh = {H = h} ⊂ T ∗ T2 . Веквекторного поля Wторное поле Wh уже не имеет особенностей (но определено лишь на трехмернойповерхности Qh ). Оно задается формулой (34) и, в частности, определено в точкахвида (±K1 , ±K2 , pu , pv ), лежащих на поверхности Qh :Wh (±K1 , ±K2 , pu , pv ) = (pu , pv , 0, 0) .Ясно, что интегральные траектории поля Wh совпадают (с точностью до заменыпараметра) с интегральными траекториями исходного векторного поля W = sgrad Hна T ∗ T2 , поскольку умножение поля W на функцию λ(u, v) можно интерпретировать как замену времениdtdτ= λ(u(t), v(t)), где (u(t), v(t), pu (t), pv (t)) — траекторияполя W .С другой стороны, векторное поле Wh на поверхности Qh совпадает с ограничением на эту поверхность некоторого гамильтонова векторного поля, определенногово всем фазовом пространстве T ∗ T2 .
Ясно, что такое продолжение неоднозначно.Например, в качестве такого поля можно взять поле sgrad Fh , где()p2u + p2v− h sin2 2δ cn2 u + cos2 2δ cn2 v −2(35)γ1 − γ2γ1 + γ2δδsin 2 sn u dn u −cos 2 sn v dn v .−RRТогда sgrad Fh = λ sgrad H + (H − h) sgrad λ. Поскольку {Fh = 0} = {H = h},Fh = λ(H − h) =векторное поле sgrad Fh касается поверхности Qh и совпадает на ней с полем Wh .Интеграл L исходной системы, очевидно, является интегралом гамильтоновойсистемы с гамильтонианом Fh на поверхности {Fh = 0}.
Поэтому после описанной регуляризации топологические свойства системы с гамильтонианом H на T ∗ T2на каждой изоэнергетической поверхности Qh будут такими же, как и для обычныхинтегрируемых гамильтоновых систем. В частности, неособые инвариантные многообразия системы являются торами Лиувилля, а перестройки этих торов можно210описать при помощи инвариантов Фоменко–Цишанга (см. комментарий по поводуинвариантов Фоменко–Цишанга в конце раздела 5.1.1).До сих пор мы, фактически, говорили о регуляризации системы на T ∗ T2 , которая возникла из рассмотрения (разветвленного) накрытия сферы S2 тором T2 .
Этонакрытие определяется инволюцией σ : T2 → T2 , описанной в разделе 5.2.2. Инволюция σ естественным образом продолжается до инволюции σ ∗ : T ∗ T2 → T ∗ T2 .Чтобы вернуться теперь к системе на сфере (а именно эта система является основным объектом нашего изучения), нужно учесть действие инволюции σ ∗ на T ∗ T2 .Поскольку инволюция σ : T2 → T2 порождается центральной симметрией плоскости R2 (u, v) относительно точки (K1 , K2 ) (или любой другой вершины прямоугольников на рис. 33), в координатах (u, v, pu , pv ) инволюция σ ∗ имеет видσ ∗ : (u, v, pu , pv ) → (2K1 − u, 2K2 − v, −pu , −pv ) .(36)Поэтому инволюция σ ∗ имеет ровно 4 неподвижные точки (±K1 , ±K2 , 0, 0).
Отметим, что фактор-пространство T ∗ T2 /σ ∗ не является многообразием.Теперь зафиксируем некоторое значение h и рассмотрим функцию Fh , задаваемую формулой (35). Легко видеть, что поверхность {Fh = 0} инвариантна относительно инволюции σ ∗ и не содержит точек (±K1 , ±K2 , 0, 0) (непосредственнымвычислением проверяется, что в этих четырех точках значения функции Fh равны± γRi sin δ, где i = 1, 2). Таким образом, фактор-пространства {Fh = 0}/σ ∗ можно рассматривать как изоэнергетические поверхности исходной системы на сфере послерегуляризации.Более того, также легко проверяется, что и векторное поле Wh на поверхности {Fh = 0} инвариантно относительно инволюции σ ∗ , что позволяет рассматривать векторное поле wh = Wh /σ ∗ как результат регуляризации исходного векторногополя w = sgrad H на изоэнергетической поверхности Qh = {H = h} ⊂ T ∗ S2 .Итак, проведенные рассуждения приводят к следующему утверждению описывающему регуляризацию задачи двух центров на сфере, т.
е. гамильтоновой системы w = sgrad H на кокасательном расслоении к сфере T ∗ S2 с гамильтонианомH = T + V , где квадратичная по импульсам функция T определяется стандартнойметрикой на сфере радиуса R в R3 , а функция V задана формулой (31).211Теорема 34 (о регуляризации). Пусть h — регулярное значение гамильтониана H, а Qh = {H = h} ⊂ T ∗ S2 — соответствующая изоэнергетическая поверхность. Рассмотрим на поверхности Qh векторное поле wh = λ sgrad H, где λ —функция (33) на сфере S2 .Пусть f : T2 → S2 — (разветвленное) двулистное накрытие, определяемое формулами (32), σ ∗ : T ∗ T2 → T ∗ T2 — соответствующая инволюция (36), а Fh — функция, определенная формулой (35), на кокасательном расслоении к тору T ∗ T2 .
Рассмотрим на поверхности {Fh = 0} ⊂ T ∗ T2 векторное поле Wh = sgrad Fh .Тогда1) поверхность {Fh = 0} ⊂ T ∗ T2 является замкнутым трехмерным многообразием, на котором инволюция σ ∗ действует без неподвижных точек,2) векторное поле Wh на поверхности {Fh = 0} не имеет особенностей и инвариантно относительно инволюции σ ∗ ,3) отображение (32) индуцирует диффеоморфизм фактор-пространства (относительно инволюции σ ∗ ) поверхности {Fh = 0} без точек, лежащих в четырехслоях над точками ветвления отображения f , на поверхность {H = h}, причемэтот диффеоморфизм переводит векторное поле Wh в векторное поле wh .Отметим, что нерегулярные значения h гамильтониана H будут явно выписаныпри построении бифуркационных диаграмм (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
