Топология особенностей интегрируемых гамильтоновых систем (1097913), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Ориентации на граничныхокружностях заданы параметризацией седловых вершин и направлением потокана предельных циклах, а правила склейки определяются метками ±1 на ребрахv-молекулы W .Теорема 19 утверждает, что любая v-молекула является допустимой. Приведемеще один результат, описывающий множество v-молекул, являющихся допустимымидля многообразия данного топологического типа.Теорема 20. Пусть W (v) — v-молекула потока Морса–Смейла v, заданногона поверхности M .
Тогда1) эйлерова характеристика поверхности M равнаχ(M ) = (количество v-атомов A) −∑c(Vi ) ,iгде через c(V ) обозначена сложность v-атома V , а суммирование происходит повсем седловым вершинам v-молекулы W (v);2) поверхность M ориентируема тогда и только тогда, когда все v-атомы, соответствующие вершинам v-молекулы W (v), ориентируемы, и для каждого циклав графе W (v) (без учета ориентаций ребер) произведение всех меток, стоящих наребрах этого цикла, равно (−1)k , где k — количество седловых вершин на этомцикле (каждая вершина считается столько раз, сколько раз цикл проходит черезнее).Доказательство. Первое утверждение есть просто формула для суммы индексов особых точек поля v.Докажем второе утверждение. Пусть C — некоторый цикл в графе W (v).
Этотцикл разбивается седловыми вершинами на отрезки, каждому из которых в поверхности M соответствует кольцо, склеенное из нескольких элементарных областей типа S. Рассмотрим одно из таких колец K. Его граница есть пара окружно-142стей, являющихся граничными окружностями некоторых седловых элементарныхобластей. Поэтому на границе кольца K фиксирована ориентация, индуцированная параметризациями этих элементарных областей (выбранными при построенииv-молекулы W (v)).
Легко понять, что произведение меток (±1), стоящих на ребрах рассматриваемого отрезка цикла C, равно (+1), если ориентации граничныхокружностей кольца K одинаковы (т. е. эти окружности изотопны в кольце K ссохранением ориентации), и равно (−1), если они противоположны.Напомним, что для ориентируемых седловых элементарных областей мы всегда выбираем на границе ориентацию, индуцированную ориентацией самой области(см. замечание 28). Поэтому для завершения доказательства теоремы достаточнодоказать следующую лемму.Лемма 24. Пусть P1 , .
. . , Pm — двумерные ориентированные поверхности скраем, причем на граничных окружностях задана индуцированная ориентация.Рассмотрим поверхность M , склеенную из этих поверхностей по некоторым диффеоморфизмам их граничных окружностей. Изобразим эту склейку в виде графа Γс вершинами p1 , . . .
, pm , где вершина pi соответствует поверхности Pi , а каждой склейке Pi с Pj соответствует ребро, соединяющее pi с pj , на котором стоитметка (+1), если эта склейка сохраняет ориентации склеиваемых окружностей,или (−1), если не сохраняет.Поверхность M ориентируема тогда и только тогда, когда для любого цикла Cграфа Γ произведение меток на ребрах цикла C равно (−1)l(C) , где l(C) — длинацикла C.Доказательство.
Поверхность M ориентируема тогда и только тогда, когдаориентации на склеиваемых поверхностях P1 , . . . , Pm можно изменить так, чтобыони стали согласованы после склейки. Согласованность ориентаций означает, чтовсе метки на ребрах графа Γ равны (−1). Изменению ориентации поверхности Piсоответствует изменение меток на противоположные на всех ребрах графа Γ, инцидентных вершине pi . При выполнении такой операции произведение меток наребрах произвольного цикла графа Γ не меняется.
Поэтому, если поверхность Mориентируема, то требуемое условие выполнено.143Для доказательства утверждения в обратную сторону рассмотрим следующуюодномерную коцепь α на графе Γ с коэффициентами в Z2 :{0 , если метка на ребре e равна (−1)α(e) =1 , если метка на ребре e равна (+1)Очевидно, что условие(произведение меток на ребрах цикла C) = (−1)l(C)равносильно условию α(C) = 0.
Так как это условие выполнено для любого цикла C,то коцепь α точна: α = δ(β). При изменении ориентаций всех поверхностей Pi , длякоторых β(pi ) = 1, все метки на ребрах графа Γ станут равны (−1).Тем самым и теорема 20 полностью доказана.3.4. Кодирование и перечисление потоковДля построенных в разделах 3.1 и 3.3 инвариантов (трехцветных графов и vмолекул) легко описать алгоритмы сравнения и перечисления. Один из возможныхспособов сделать это излагается в данном разделе.3.4.1. Кодирование и перечислениепотоков МорсаВ силу теоремы 15, трехцветные графы, у которых длины всех su-циклов равны 4 (и только они), являются инвариантами потоков Морса.
В этом разделе мырассматриваем только такие трехцветные графы. Поэтому в дальнейшем “трехцветный граф” означает “трехцветный граф, у которого длины всех su-циклов равны 4”.Мы хотим “записать” каждый трехцветный граф в виде строчки символов некоторого алфавита. Из описания алгоритма будет ясно, что количество символов валфавите, необходимое для кодирования трехцветного графа T есть число m1 (T )(количество su-циклов графа T ). Мы будем считать, что символы нашего алфавита — это цифры.
Этого заведомо достаточно для описания различных примеров исоставления начальной части списка трехцветных графов (см. таблицу 2 в разделе 3.4.3).144Определим сначала, какой вид может иметь строчка цифр, сопоставленная трехцветному графу в качестве кода.Определение 43. Назовем допустимой строчкой сложности N строчку символов вида(1)(1)(2)(2)(m)(m)( 0 X 1 . . . X l1 0 X 1 . . .
X l2 0 . . . 0 X 1 . . . X lm ) ,где X i — символы из набора AN = {1, 1′ , 1, 1′ , . . . , N, N′ N, N′ }, причем для каждого(j)K ∈ {1, . . . , N} ровно один из пары символов K, K и ровно один из пары символовK′ , K′ встречаются в этой строчке (в частности, l1 + l2 + · · · + lm = 2N ). Часть до(j)(j)пустимой строчки вида 0 X 1 . . . X lj назовем ее отрезком, а число lj ≥ 0 — длинойэтого отрезка. При этом будем предполагать, что все отрезки нулевой длины расположены в начале допустимой строчки (например, (0 0 0 1 1′ ) — допустимая строчкасложности 1, состоящая из двух отрезков длины 0 и одного отрезка длины 2).Про допустимую строчку сложности N ≥ 1 будем говорить, что она распадается, если множество ее отрезков можно разбить на два таких непересекающихсяподмножества, что каждая пара символов, соответствующих одной и той же цифре,содержится в одном из этих подмножеств.
Все допустимые строчки сложности 0,состоящие из нескольких отрезков, по определению считаем распадающимися.Нераспадающиеся строчки сложности N ≥ 1 будут соответствовать связнымтрехцветным графам с 4N вершинами, а каждый отрезок нулевой длины — связной компоненте многообразия, на которой поток является простейшим (см. замечание 14). Поэтому при кодировании потоков Морса на связных поверхностях можнобыло бы вообще не рассматривать распадающиеся строчки (в частности, строчкисложности 0 из нескольких отрезков). Однако аналогичный подход будет использован и для кодирования потоков Морса–Смейла, где приходится рассматривать ужепроизвольные строчки.Изложим теперь схему, по которой мы будем действовать при классификациитрехцветных графов.(i) Сначала описывается алгоритм, который позволяет по данному трехцветномуграфу T с 4N вершинами построить некоторую допустимую строчку C̃(T ) сложности N .
Эта строчка строится неоднозначно, так как в процессе построения мы произвольным образом выбираем некоторые ребра трехцветного графа и ориентации145на них. Но, если для каждого неоднозначного выбора рассмотреть все возможности,то можно построить все строчки C̃i (T ), соответствующие данному трехцветномуграфу T . Их будет конечное число, и по каждой из них трехцветный граф T восстанавливается однозначно.(ii) Далее определяется алгоритм сравнения любых двух допустимых строчек.Применяя этот алгоритм, мы можем из любых двух строчек выбрать ту, которая“меньше” другой. Таким образом, на множестве всех допустимых строчек вводитсяотношение порядка.(iii) После этого мы определяем код C(T ), сопоставляемый трехцветному графу T , как минимальную строчку из всех C̃i (T ).
При этом мы описываем операциинад строчками, при помощи которых можно построить минимальную строчку C(T )по данной произвольной строчке C̃i (T ).Если пункты (i), (ii), (iii) реализованы, то алгоритм сравнения двух трехцветныхграфов T1 и T2 можно описать следующим образом: строим (неоднозначно) строчкиC̃(T1 ) и C̃(T2 ) (п. (i)), находим соответствующие им минимальные строчки C(T1 ) иC(T2 ) (п. (iii)), сравниваем эти строчки (п. (ii)). Алгоритм перечисления трехцветных графов можно реализовать так: выписываем все допустимые строчки сложности N , после чего для каждой из них находим соответствующую минимальнуюстрочку, из которых уже формируем список (выбрасывая распадающиеся строчки).В результате получаем упорядоченный список всех связных трехцветных графов с4N вершинами (т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
