Топология особенностей интегрируемых гамильтоновых систем (1097913), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Фиксируя на поверхности некоторую метрику, рассмотрим устойчивые сепаратрисы потока grad f , начинающиеся на окружностях f −1 (−1/2). Каждая пара сепаратрис,входящих в одну седловую точку, будет образовывать неориентированное ребро меченого f -графа γ. Вершинами графа γ будут концы сепаратрис, лежащие на окружностях f −1 (−1/2). Фиксировав произвольным образом ориентацию на каждой такойокружности, мы получим ориентированные ребра графа γ (ориентированные дугиокружностей между концами сепаратрис).
Для завершения построения меченогоf -графа осталось лишь расставить метки на неориентированных ребрах. Это делается по следующему правилу: рассмотрим маленькую окрестность пары сепаратрис,образующих неориентированное ребро, в поверхности M ; это прямоугольник, двепротивоположные стороны которого лежат на окружностях f −1 (−1/2) и поэтомуориентированы; если эти стороны индуцируют одну и ту же ориентацию границыпрямоугольника, то метка равна +1, а если разные, то метка равна −1.Мы построили по данной a-функции некоторый меченый f -граф.
В процессепостроения мы произвольным образом фиксировали ориентации на окружностяхf −1 (−1/2). Однако легко понять, что при выборе других ориентаций мы получимэквивалентный меченый f -граф. Кроме того мы фиксировали некоторую метрикуна поверхности, но можно показать, что от выбора этой метрики построенный меченый f -граф не зависит (см.
также теорему 17).В работе [43] доказано, что f -инвариант классифицирует a-функции с точностьюдо сопряжения (а значит, фактически, и с точностью до топологической эквивалентности — см. замечание 15)Хотя f -инвариант был введен в связи с задачей классификации функций наповерхностях, оказалось, что этот инвариант “эквивалентен” описанным выше инвариантам, т. е., в частности, траекторно классифицирует потоки Морса на поверхностях.Проще всего описать биекцию между f -инвариантами и инвариантами Флейтаса. Если ориентировать произвольным образом каждую окружность инвариантаФлейтаса и соединить точки с одинаковыми метками неориентируемым ребром, то121мы получим граф, удовлетворяющий условиям 1) и 2) из определения меченогоf -графа.
Метка ±1 на каждом неориентированном ребре полученного графа ставится в соответствии со стрелками (изображающими спин для пары точек, являющихсяконцами данного ребра) и выбранной ориентацией окружностей: если направлениеодной из этих стрелок совпадает с выбранным направлением на соответствующейокружности, а направление другой стрелки — не совпадает, то метка на данномребре равна +1, иначе метка равна −1. Ясно, что при другом выборе ориентаций наокружностях инварианта Флейтаса мы получим эквивалентный меченый f -граф,т. е.
описанная процедура однозначно сопоставляет каждому инварианту Флейтасанекоторый f -инвариант. Обратное отображение также очевидно. Описанное соответствие поясняется на рис. 20.Рис. 20: Соответствие между инвариантом Флейтаса и f -инвариантомПример 7. На рис.
21 показано, как выглядит f -инвариант для потока Морса,рассмотренного в примере 3. Данный меченый f -граф является одним из возможных изображений соответствующего f -инварианта. Отметим, что метка на ребре,концы которого лежат на одном и том же ориентированном цикле, не зависит оториентации ребер, а метку на другом ребре можно сделать равной −1, изменяя ориентацию одного из циклов.Рис. 21: Пример построения f -инварианта122Описанная выше конструкция показывает, что полные топологические инварианты для a-функций и для потоков Морса одинаковы.
В частности, это означает,что между классами сопряженности a-функций и классами топологической траекторной эквивалентности потоков Морса существует естественная биекция. Это естьотражение результата, принадлежащего К. Р. Мейеру. Прежде, чем его сформулировать, сделаем следующее замечание.Замечание 16. Каждой функции Морса f на поверхности M с римановой метрикой gij соответствует градиентный поток v = grad f . Однако, изменяя метрикумы можем получить градиентный поток топологически траекторно не эквивалентный исходному (в частности, этот поток может вообще не являться потоком Морса).И обратно, если на поверхности задан поток Морса, то с точностью до топологической траекторной эквивалентности (см.
замечание 13) его можно различными способами (в зависимости от выбора метрики) представить в виде градиентного потоканекоторой функции Морса. При этом различные функции, соответствующие этомупотоку, вполне могут оказаться топологически послойно не эквивалентными. Такимобразом, соответствие между функциями Морса и потоками Морса существеннымобразом зависит от метрики.Как показывает следующая теорема, для того чтобы устранить зависимость отметрики, достаточно вместо произвольных функций Морса рассмотреть a-функции.Теорема 17.
Пусть M — замкнутая двумерная поверхность. Зададим на Mнекоторую риманову метрику gij .1) Операция сопоставления a-функции ее градиентного потока (относительнометрики gij ) устанавливает естественную биекцию между классами сопряженности a-функций и классами топологической траекторной эквивалентности потоков Морса.2) Эта биекция не зависит от выбора метрики gij .Замечание 17. Теорема 17 фактически содержится в работе К. Р. Мейера [97].На самом деле там сформулирована не эта теорема, а более общее утверждениеаналогичного характера о потоках Морса–Смейла.
Однако это общее утверждение123неверно (см. замечание 21), а приведенное доказательство проходит именно дляслучая потоков Морса.Замечание 18. Утверждение теоремы 17 по-существу следует из доказанной в работе [43] теоремы классификации a-функций и описанного выше взаимнооднозначного соответствия между f -инвариантами и инвариантами Флейтаса(а значит, и другими инвариантами, классифицирующими потоки Морса). Действительно, как легко понять, это соответствие устроено так, что a-функции f и потокуgrad f сопоставляются одинаковые f -инварианты.
Этим и задается биекция междуклассами сопряженности a-функций и классами топологической траекторной эквивалентности потоков Морса.Замечание 19. Если поверхность M , на которой задан поток Морса (илиa-функция), является ориентированной, и мы рассматриваем гомеоморфизмы поверхностей, сохраняющие ориентацию, то определение f -инварианта в этом случаеможно упростить.
Неоднозначность представления f -инварианта в виде меченого f -графа возникала из-за неоднозначности выбора ориентаций на окружностях,ограничивающих диски в поверхности. Если поверхность ориентирована, то, выбирая ориентации на окружностях в соответствии с ориентациями дисков, мы получиммеченый f -граф, все метки которого равны +1. Поэтому полным топологическимтраекторным инвариантом потоков Морса на ориентированных поверхностях (относительно гомеоморфизмов, сохраняющих ориентацию) является просто f -граф (безметок).Как показано в этом разделе, существует много (эквивалентных) полных топологических траекторных инвариантов для потоков Морса на поверхностях.
Тот илииной инвариант может оказаться более удобным при решении различных задач. Например, используя трехцветные графы или меченые f -графы, легко описать алгоритмы сравнения и перечисления потоков Морса (а также потоков Морса–Смейла),что будет сделано в разделе 3.4. Отметим, что в ориентируемом случае описанныеинварианты являются различными “представлениями” атомов, определенных в разделе 2.1.1.Наша дальнейшая задача — классифицировать потоки Морса–Смейла на двумерных поверхностях. Основная идея: проводить классификацию в два этапа. Пер-124вый этап — описанная выше классификация потоков Морса, играющих в дальнейшем роль “атомов”, из которых “склеиваются” произвольные потоки Морса–Смейла.Второй этап — описание правил склейки для атомов и построение “молекул”. Этотподход будет реализован в следующем разделе.3.3.
Классификация потоковМорса–СмейлаПрежде чем переходить к построению инварианта, траекторно классифицирующего потоки Морса–Смейла произвольного вида на двумерных поверхностях, обсудим другой подход.3.3.1. Конструкция ПейксотоМ. Пейксото [105] обобщает понятие различающего графа на случай потоковМорса–Смейла следующим образом. В качестве вершин первого и третьего уровнейдобавляются соответственно отталкивающие и притягивающие предельные циклы.Кроме сепаратрис появляются некоторые новые ребра (соединяющие вершины первого и третьего уровней), которые можно описать следующим образом. Выбросимиз многообразия все предельные циклы потока и рассмотрим те из получившихсясвязных компонент, которые не содержат седловых точек. Каждая такая компонента состоит из траекторий, имеющих одно и то же α-предельное и одно и то жеω-предельное множества.
Для каждой такой компоненты соединим ребром пару вершин (первого и третьего уровней), соответствующих этим предельным множествам.Отметим, что для потока Морса, имеющего седловые точки, описанное правило построения различающего графа дает в точности граф из сепаратрис. Только вслучае простейшего потока Морса (см. замечание 14) мы получим граф, состоящийиз двух вершин (первого и третьего уровней), соединенных одним ребром. Для потоков Морса–Смейла с периодическими траекториями такие ребра уже являютсятипичными.Далее, аналогично тому, как это делалось для потоков Морса, М. Пейксото описывает типы выделенных подграфов и формулирует условия, которым должны удо-125влетворять выделенные подграфы различающего графа потока. Всего получается45 типов подграфов (36 с вершинами второго уровня и еще 9 без них) и около 10условий.
Кроме того, для вершин первого и третьего уровня теперь надо указывать,чему они соответствуют: особой точке или предельному циклу одного из двух типов(с ориентируемой или неориентируемой окрестностью).Мы не будем описывать все типы подграфов и условия (тем более, что они несформулированы в работе [105] полностью). Эти условия накладываются таким образом, чтобы после склеивания канонических областей (аналог канонических четырехугольников, возникавших в случае потоков Морса) в соответствии с выделенными подграфами различающего графа, получилось замкнутое двумерное многообразие.
Ясно, что это требование накладывает сильные ограничения на различающийграф, откуда и возникают все условия.Напротив, мы хотим показать, что существуют топологически траекторно не эквивалентные потоки Морса–Смейла с одинаковыми различающими графами, т. е.вопрос заключается не в реализуемости данного различающего графа, а в однозначности этой реализации.Поясним причину неоднозначности реализации различающего графа.
Фактически, алгоритм построения различающего графа для потока Морса–Смейла заключается в следующем: мы разрезаем поверхность по периодическим траекториям(запоминая, какие из получившихся компонент границы были между собой склеены), стягиваем каждую граничную окружность в точку, затем строим различающийграф для получившегося потока Морса (возможно, на несвязном многообразии), и,наконец, склеиваем между собой те вершины различающего графа, которые соответствуют одному и тому же предельному циклу (до разрезания). При такой процедуре теряется часть информации о потоке, поэтому мы не можем восстановить егооднозначно.Действительно, рассмотрим ситуацию, возникающую при попытке осуществитьобратную операцию. Используя различающий граф (в частности, его выделенныеподграфы), мы можем восстановить поток на многообразии, получающемся из исходного при выбрасывании всех предельных циклов, а также указать, какие “граничные” компоненты этого многообразия примыкают к одному и тому же предель-126ному циклу.
Однако, например, для предельного цикла, окрестность которого естькольцо, существует четыре (в общем случае, попарно не эквивалентных) возможности “склеить” эти компоненты в окрестности данного цикла: существует два способа склейки самих компонент, для каждого из которых можно выбрать одно издвух возможных направлений потока на предельном цикле. При этом топологияполученной поверхности может зависеть только от способа склейки. Поэтому, дажеесли мы знаем, каким образом надо произвести склейку (например, из соображенийориентируемости), все равно необходима информация о том, в какую сторону былнаправлен поток на данном предельном цикле.(a)(b)(c)Рис. 22: Не эквивалентные потоки с одинаковым различающим графом ПейксотоПример 8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
