Топология особенностей интегрируемых гамильтоновых систем (1097913), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Однако они, очевидно, пересекаюткаждую траекторию ровно в одной точке. Сгладив образы окружностей так, чтобыони стали трансверсальны потоку v2 , получим разрезающий набор для потока v2 .Применяя теперь утверждение (2) леммы 22 к построенному и исходному разрезающим наборам потока v2 , получаем требуемый результат.Замечание 24. Очевидно, набор v-атомов, определяемый произвольным разрезающим набором окружностей, не является в общем случае полным топологическим траекторным инвариантом (например, обоим потокам, описанным в примере 8,132соответствуют одни и те же два v-атома типа S). Кроме того, поскольку v-атомопределяется как класс эквивалентности элементарных областей, пока не ясно, насколько интересен такой инвариант. Например, сам класс эквивалентности потокаМорса–Смейла является его топологическим траекторным инвариантом (и, очевидно, полным), но такой инвариант никак не помогает эффективно решить задачуклассификации.На самом деле, как показано ниже, используя результаты разделов 3.1 и 3.2,можно получить “эффективную” классификацию седловых v-атомов (классификация не седловых v-атомов уже описана в лемме 21).
Оказывается, что для потоковМорса набор v-атомов, определяемый произвольным разрезающим набором окружностей, является полным топологическим траекторным инвариантом. Поскольку вэтом случае нет ни одного v-атома типа S, классификация седловых v-атомов эквивалентна траекторной классификации потоков Морса на связных поверхностях.Это можно сформулировать в следующем виде.Лемма 23. Пусть v — поток Морса на связной поверхности M , отличный отпростейшего и имеющий k источников и стоков.
Тогда1) набор v-атомов, сопоставляемый потоку v, состоит ровно из одного седлового v-атома Z(v) и k штук v-атомов типа A;2) поток v однозначно (с точностью до топологической траекторной эквивалентности) восстанавливается по v-атому Z(v).Доказательство. Первое утверждение леммы очевидно, так как вырезаниемаленьких дисков, содержащих стоки и источники, из поверхности M не нарушаетее связности.Доказательство второго утверждения сводится к следующему. Поверхность Mс потоком v получается в результате “приклеивания” элементарных областей типа A по всем граничным окружностям элементарной области, соответствующей vатому Z(v).
Надо показать, что это “приклеивание” определено однозначно с точностью до топологической траекторной эквивалентности. Более точно, надо показать,что любой гомеоморфизм f границы элементарной области типа A на себя продолжается до такого гомеоморфизма всей этой элементарной области на себя, которыйпереводит траектории в траектории с сохранением направления.
Ясно, что такое133продолжение всегда существует. Например, можно продолжать f внутрь диска так,чтобы сохранялся параметр на траекториях.Из доказанной леммы следует, что для классификации седловых v-атомов можноиспользовать любой из инвариантов, рассмотренных в разделах 3.1 и 3.2. Мы будемсчитать, что каждому седловому v-атому V сопоставлен трехцветный граф T (V ).3.3.3. Построение v-молекулыРассмотрим теперь произвольный поток Морса–Смейла v на поверхности M . Согласно следствию 5, ему соответствует однозначно определенный набор v-атомов.Чтобы восстановить поверхность M с потоком v, нужно склеить элементарные области, соответствующие v-атомам этого набора по граничным окружностям.
Каждаясклейка двух областей по двум граничным компонентам (окружностям) S1 и S2 однозначно определяется гомеоморфизмом f : S1 → S2 , причем гомотопные гомеоморфизмы дают одинаковый в смысле топологической траекторной эквивалентностирезультат (см., например, [107]). Поскольку с точностью до гомотопии существуетровно два различных гомеоморфизма окружности в окружность, то с точностью дотопологической траекторной эквивалентности для каждой склейки существует неболее двух возможностей.Замечание 25. Говоря о склейке элементарных областей (т.
е. многообразийс границей, на которых задан поток), мы, естественно, подразумеваем, что послесклейки получается гладкое многообразие с гладким потоком. Не сложно показать,что для произвольного гомеоморфизма граничных компонент этого можно достичь,либо изменяя гладкую структуру, либо заменяя потоки на траекторно эквивалентные в некоторых маленьких окрестностях этих граничных компонент.Если на граничных компонентах склеиваемых областей фиксирована некотораяориентация, то выбор одной из двух возможных склеек можно задавать меткой ±1для каждой пары отождествляемых при склейке окружностей: (+1) означает, чтоориентации при отождествлении согласованы, а (−1) — что, не согласованы.Таким образом, для однозначного описания всех склеек необходимо задать ориентации на граничных окружностях элементарных областей.
Можно считать, что на134границе элементарной области типа S (кольцо или лист Мёбиуса) ориентация индуцирована потоком на содержащемся в этой области предельном цикле. На границеэлементарной области типа A (диск) ориентацию можно задать произвольно, таккак для этой области существует гомеоморфизм, переводящий траектории в траектории и обращающий ориентацию на границе диска. Осталось задать ориентациина граничных окружностях седловых элементарных областей.Каждая седловая элементарная область определяет v-атом, которому соответствует некоторый трехцветный граф.
Мы предполагаем, что задача классификацииседловых v-атомов (или, что то же самое, потоков Морса) уже решена, т. е. имеетсясписок всех связных трехцветных графов (с количеством вершин, не превосходящимнекоторого числа K). Поэтому можно считать, что в этом списке трехцветные графы перечислены с указанием некоторой ориентации на всех st-циклах и tu-циклах.Замечание 26. В дальнейшем, говоря о некотором седловом v-атоме V , мывсегда будем подразумевать, что это v-атом из известного списка V1 , V2 , .
. . , в котором седловые v-атомы представлены в виде трехцветных графов T (Vi ), т. е. Vi —это некоторая буква, обозначающая седловой v-атом, а T (Vi ) — это соответствующий ему связный трехцветный граф, у которого ориентации на всех st-циклах иtu-циклах были выбраны каким-то образом (после чего он был занесен в список) ибольше не меняются. При этом будем предполагать, что для трехцветных графов,не имеющих циклов нечетной длины (т. е.
соответствующих ориентируемым поверхностям — см. теорему 16), ориентации st-циклов и tu-циклов выбраны согласованнов смысле определения 29.Конечно, перечислить седловые v-атомы (связные трехцветные графы) можномножеством способов. Мы лишь предполагаем, что список составлен и фиксирован. В разделе 3.4 будет указан алгоритм, позволяющий некоторым стандартнымспособом ориентировать все st-циклы и tu-циклы данного трехцветного графа T(см.
замечание 31). Этот алгоритм не является “естественным” в каком-то инвариантном смысле, но позволяет выбрать все ориентации однозначно с точностью доизоморфизма графа T .Опишем теперь, как мы будем задавать ориентацию на граничных окружностяхседловых элементарных областей. Трехцветный граф, соответствующий седловой135элементарной области, определен однозначно (по существу, это есть утверждение (1)леммы 18). Рассуждая точно так же, как при доказательстве первой части теоремы 15, можно считать, что трехцветный граф вложен в седловую элементарнуюобласть как граф, двойственный графу, составленному из сепаратрис потока и tтраекторий.
При этом вложении st-циклы будут соответствовать граничным окружностям элементарной области, в точках которых поток направлен внутрь области,а tu-циклы — граничным окружностям, в точках которых поток направлен наружу(см. рис. 11). Ясно, что задание ориентации на каком-либо st-цикле или tu-циклевложенного трехцветного графа однозначно определяет ориентацию на соответствующей этому циклу граничной окружности (и наоборот).Определение 38.
Пусть T̃ — трехцветный граф, вложенный указанным вышеобразом в седловую элементарную область N , который изоморфен трехцветномуграфу T из списка. Произвольный изоморфизм f : T̃ → T назовем параметризацией седловой элементарной области N . Ясно, что любая параметризация определяеториентации всех st-циклов и tu-циклов графа T̃ , поскольку на соответствующихциклах графа T ориентация задана. После этого однозначно определяются ориентации всех граничных окружностей элементарной области N . Будем говорить, чтоориентации на граничных окружностях, полученные в результате описанной процедуры, индуцированы параметризацией f . Кроме того, параметризация, естественно,определяет биекцию множества граничных окружностей области N на множествоst-циклов и tu-циклов графа T .Замечание 27. Ясно, что различные параметризации седловой элементарнойобласти определяют, вообще говоря, различные ориентации ее граничных окружностей.
Можно сказать, что группа G(T ) автоморфизмов трехцветного графа T действует на множестве ориентаций граничных окружностей, индуцированных некоторой параметризацией: каждый автоморфизм g ∈ G(T ) переводит ориентации, индуцированные параметризацией f , в ориентации, индуцированные параметризациейg ◦ f . Это действие транзитивное и ядро его есть подгруппа G0 (T ) группы G(T ),состоящая из автоморфизмов, сохраняющих ориентации всех st-циклов и tu-цикловграфа T .
Таким образом, имеется естественная биекция между множеством всехориентаций граничных окружностей, индуцированных некоторой параметризацией,136и множеством смежных классов G(T )/G0 (T ). В частности, количество различныхвозможностей при таком способе ориентирования граничных окружностей равноиндексу подгруппы G0 (T ) в группе G(T ).Замечание 28. Если при траекторной классификации потоков Морса–Смейлаограничиться рассмотрением ориентированных многообразий и гомеоморфизмов,сохраняющих ориентацию, то для произвольной (ориентированной) седловой элементарной области можно канонически ориентировать все ее граничные окружности.
Например, можно выбирать на окружностях ориентацию таким образом,чтобы ориентация репера (w, v), где w — касательный вектор к окружности, задающий ориентацию на ней, а v — внутренняя нормаль, совпадала с ориентациейкасательной плоскости в данной точке. При такой ориентации граничных окружностей ориентируемой седловой элементарной области мы получим либо ориентацию, соответствующую определению 38, либо противоположную (одновременно навсех окружностях), поскольку у трехцветного графа (из списка), соответствующегоориентируемой элементарной области, st-циклы и tu-циклы ориентированы согласованно (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
