Топология особенностей интегрируемых гамильтоновых систем (1097913), страница 21
Текст из файла (страница 21)
е. при изоморфизме ребра помеченные буквами s, t, u переходят вребра помеченные теми же буквами). Для краткости будем называть эти ребра sребрами, t-ребрами и u-ребрами.Опишем процедуру сопоставления каждому потоку Морса (отличному от простейшего) некоторого трехцветного графа.Пусть v — поток Морса на поверхности M , имеющий хотя бы одну седловуюособую точку. Разрезая M вдоль всех сепаратрис потока v, мы разобьем поверхность на канонические области, имеющие вид, изображенный на рис. 9(a).
Каждаятакая область (после разрезания) представляет собой четырехугольник, вершиныкоторого — особые точки поля v (один источник, один сток и два седла), а стороны— сепаратрисы поля v. При этом в многообразии M четырехугольник может “вырождаться”, т. е. разные стороны этого четырехугольника могут соответствоватьодной и той же сепаратрисе (рис. 9(b)).(a)(b)(c)Рис. 9: Разбиение на треугольникиКак вырожденные, так и невырожденные четырехугольники будем называтьканоническими четырехугольниками.
Все остальные траектории поля v, расположенные в таком четырехугольнике, “начинаются” в вершине-источнике и “заканчиваются” в вершине-стоке. Зафиксируем в каждом четырехугольнике одну из такихтраекторий. Вместе с сепаратрисами они разбивают многообразие M на треугольники. При этом стороны одного треугольника уже не могут быть “склеены” между104собой в многообразии M . Это легко следует из того, что стороны каждого треугольника образованы тремя траекториями разных типов: траектория, идущая изисточника в седло, траектория, идущая из седла в сток, и траектория, идущая из источника в сток.
Будем называть такие траектории соответственно s-траекториями,u-траекториями и t-траекториями (рис. 9(c)). Отметим, что t-траектории определены неоднозначно.Построим трехцветный граф T , соответствующий полученному разбиению M натреугольники следующим образом:1) вершины графа T взаимно-однозначно соответствуют треугольникам;2) если два треугольника имеют общую сторону, образованную s-траекторией, tтраекторией или u-траекторией, то соединим соответствующие этим треугольникамвершины графа T ребром с меткой s, t или u соответственно.(a)(b)(c)Рис. 10: Построение трехцветного графаПример 3. На рис. 10 показан пример построения трехцветного графа по потоку Морса на двумерной сфере.
В данном примере поток имеет два источника, дваседла и два стока (на рисунке один из стоков расположен на “задней” невидимойстороне сферы). На рис. 10(a) изображены траектории самого́ векторного поля, причем жирными линиями выделены сепаратрисы. На рис. 10(b) от векторного поляостались лишь сепаратрисы (s-траектории и u-траектории) и траектории, разделяющие канонические четырехугольники на треугольники (t-траектории). Жирнымилиниями на рис.
10(b) изображен трехцветный граф. На рис. 10(c) построенныйтрехцветный граф изображен как абстрактный (не вложенный в поверхность) граф.105Лемма 18. При описанном выше сопоставлении трехцветного графа потокуМорса1) результат не зависит от выбора t-траекторий в каждом каноническом четырехугольнике;2) топологически траекторно эквивалентным потокам Морса сопоставляются изоморфные трехцветные графы.Доказательство. Первое утверждение леммы очевидно.
Далее, пусть h — гомеоморфизм, устанавливающий топологическую траекторную эквивалентность потоков v1 и v2 . Так как h переводит канонические четырехугольники потока v1 вканонические четырехугольники потока v2 (в частности, сепаратрисы потока v1 —в сепаратрисы потока v2 ), то, учитывая первое утверждение леммы, можно предполагать, что h переводит треугольники одного потока в треугольники другого потока.3.1.3. Теорема классификацииУтверждение леммы 18 означает, что мы построили некоторый топологическийтраекторный инвариант потоков Морса на двумерных поверхностях.
Трехцветныйграф, соответствующий потоку v, будем обозначать T (v). Следующая теорема показывает, что построенный инвариант является полным топологическим траекторныминвариантом для потоков Морса на поверхностях.Теорема 14. Два потока Морса v1 и v2 (отличные от простейшего) на двумерных поверхностях M1 и M2 топологически траекторно эквивалентны тогдаи только тогда, когда соответствующие им трехцветные графы T (v1 ) и T (v2 )изоморфны.Доказательство. В одну сторону теорема уже доказана (лемма 18). Предположим теперь, что трехцветные графы T (v1 ) и T (v2 ) изоморфны.
Этот изоморфизминдуцирует биекцию между треугольниками многообразия M1 и треугольникамимногообразия M2 . В силу определения графа T (v), эта биекция согласована с пересечениями треугольников: если два треугольника многообразия M1 имеют общуюсторону (общую вершину), то соответствующие два треугольника многообразия M2106также имеют общую сторону (общую вершину) того же типа. Напомним, что, по построению, вершинами каждого треугольника являются источник, седло и сток, чтои определяет тип каждой вершины и каждой стороны. Таким образом имеющаясябиекция между треугольниками однозначно определяет биекцию между вершинамитреугольников, т. е. между особыми точками потока v1 и особыми точками потокаv2 , причем эти биекции согласованы.Гомеоморфизм h : M1 → M2 , устанавливающий топологическую траекторнуюэквивалентность потоков v1 и v2 , строится следующим образом:1) в особых точках потока v1 отображение h определено указанной биекцией;2) отображение h продолжается на сепаратрисы потока v1 так, чтобы каждая изних гомеоморфно отображалась в соответствующую сепаратрису потока v2 ;3) для каждого канонического четырехугольника (рис.
9(a)) потока v1 отображение h, заданное на его границе (и отображающее ее в границу некоторого канонического четырехугольника потока v2 ) продолжается на весь канонический четырехугольник так, чтобы это был гомеоморфизм, переводящий траектории в траектории.Существование требуемого продолжения на последнем шаге можно доказатьстандартными методами (см., например, [31], [107]).3.1.4. Реализация инвариантовРассмотрим произвольный трехцветный граф T . Очевидно, если выбросить изграфа T все ребра какого-нибудь одного цвета, то он распадется в несвязное объединение циклов, образованных ребрами других двух цветов.
Циклы, получающиеся врезультате выбрасывания s-ребер (соответственно t-ребер, u-ребер), будем называтьtu-циклами (соответственно su-циклами, st-циклами).Следующая теорема описывает множество допустимых инвариантов T (v) (т. е.множество значений инварианта T ).Теорема 15. Трехцветный граф T соответствует некоторому потоку Морсаv на двумерной поверхности тогда и только тогда, когда все его su-циклы имеютдлину 4.107Доказательство.
Хотя трехцветный граф T (v), сопоставляемый потоку Морса v на поверхности M , строится как абстрактный граф, его можно естественнымобразом вложить в поверхность M как граф, двойственный графу, ребрами которого являются s-траектории, t-траектории и u-траектории (см. пример на рис. 10).При таком вложении граф T (v) разбивает поверхность M на односвязные области,в каждой из которых находится ровно одна особая точка потока v. При этом граница каждой такой области является su-циклом, st-циклом или tu-циклом графаT (v), т. е.
состоит из 2k ребер графа T (v) ровно двух цветов, где 2k — количество треугольников, для которых данная особая точка является вершиной. Ясно,что su-циклы ограничивают седла, st-циклы ограничивают источники, а tu-циклыограничивают стоки. На рис. 11 изображено вложение графа T (v) в окрестностиседла, источника и стока (жирные траектории опять изображают сепаратрисы, апунктирные — t-траектории).(a)(b)(c)Рис.
11: Окрестности седла, источника и стокаИз этого замечания сразу следует необходимость условия на длины su-цикловграфа T (v), поскольку каждая седловая особая точка потока Морса v является вершиной ровно четырех треугольников. Докажем теперь достаточность этого условия.Опишем сначала некоторый “стандартный” треугольник с заданным на нем потоком требуемого вида. Для этого рассмотрим векторное поле v0 на плоскости, которое в декартовых координатах (x, y) записывается так: v0 = (sin πx, sin πy). Легкопроверить, что поле v0 является полем Морса. Его особые точки — это в точностивсе точки целочисленной решетки плоскости (x, y), причем точки с двумя четными координатами — источники, точки с двумя нечетными координатами — стоки, аточки с координатами разной четности — седла потока, определяемого полем v0 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
