Топология особенностей интегрируемых гамильтоновых систем (1097913), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Каждое подпространство Li определяет пару параллельных аффинных подпространств Ni ∋ a0 и Ni′ ̸∋ a0 . Следующееутверждение показывает, что преобразование Qi , ограниченное на каждое из аффинных подпространств Ni и Ni′ , является сдвигом.85Лемма 13. Пусть Q1 , . . . , Qn удовлетворяют условиям (A2) и (A3), гдеP1 , . . . , Pn — сдвиги на базисные векторы ⃗e1 , . . . , ⃗en соответственно. Тогда длякаждого Qi (i = 1, .
. . , n) существуют ⃗yi ,⃗zi ∈ Zn2 такие, чтоQi (a) = a + ⃗yi , если a ∈ Ni ,иQi (a) = a + ⃗zi , если a ∈ Ni′ .(9)В частности, dQi : Zn2 → Zn2 имеет вид dQi (⃗v) = ⃗v + vi⃗ti , где ⃗ti = ⃗yi + ⃗zi и tii = 0.Доказательство. Положим Qi (a0 )−a0 = ⃗yi и Qi (a0 +⃗ei )−(a0 +⃗ei ) = ⃗zi . Тогдаформулы (9) следуют из того, что Qi коммутирует с любым сдвигом на ⃗ej при j ̸= i.Равенство tii = 0 следует из того, что dQi — невырожденный оператор.Таким образом, каждый fn -граф Θ сложности 1 задается набором векторов⃗y1 ,⃗z1 , . . . , ⃗yn ,⃗zn ∈ Zn2 , определенных формулами (9). Ясно, что условие простотыfn -графа Θ эквивалентно тому, что yi ⊥⃗ei и zi ⊥⃗ei (i = 1, . .
. , n). Это означает, чтодля простого fn -графа каждый из векторов ⃗yi ,⃗zi задает сдвиг в соответствующейему гиперграни куба (рассматриваемой как аффинное подпространство в An ).Каждая пара векторов ⃗yi ,⃗zi определяет соответствующую перестановку µi намножестве вершин fn -графа Θ и тем самым задает один из сомножителей в минимальной модели особенности, соответствующей этому fn -графу. Из доказательствапредложения 10 вытекает, что этот сомножитель может быть описан следующимобразом в терминах векторов ⃗yi ,⃗zi .Предложение 12.
Пусть набор векторов ⃗y1 ,⃗z1 , . . . , ⃗yn ,⃗zn ∈ Zn2 задает простой fn -граф Θ сложности 1. Тогда i-й сомножитель в соответствующей минимальной модели есть1) атом B, если ⃗yi = ⃗zi = ⃗0,2) атом C2 , если ⃗yi = ⃗zi ̸= ⃗0,3) атом D1 , если ⃗yi = ⃗0, ⃗zi ̸= ⃗0 или ⃗yi ̸= ⃗0, ⃗zi = ⃗0,4) атом P4 , если ⃗yi ̸= ⃗0, ⃗zi ̸= ⃗0 и ⃗yi ̸= ⃗zi .Набор векторов ⃗y1 ,⃗z1 , . .
. , ⃗yn ,⃗zn , задающих структуру fn -графа, не произволен.Эти векторы должны удовлетворять условию “коммутирования”, т. е. условию, эквивалентному условию (A2) для соответствующих им преобразований Q1 , . . . , Qn .Найдем вид этого условия в координатной форме.86Лемма 14. Пусть ⃗y1 ,⃗z1 , . . . , ⃗yn ,⃗zn ∈ Zn2 . Набор аффинных преобразованийQi : An → An (i = 1, . . . , n), заданных формулами (9), удовлетворяет условию (A2)тогда и только тогда, когда для любых i, j ∈ {1, . . . , n} выполнены следующие соотношения:yji (⃗yi + ⃗zi ) = zij (⃗yi + ⃗zi ) = yij (⃗yj + ⃗zj ) = zji (⃗yj + ⃗zj ).(10)Доказательство.
Пусть a0 ∈ An и ⃗v ∈ Zn2 . Формулы (9) можно переписатьв следующем виде:Qi (a0 + ⃗v) = a0 + ⃗v + (vi + 1)⃗yi + vi⃗zi .Применяя преобразование Qj Qi к произвольной точке a = a0 + ⃗v ∈ An , получаемQj Qi (a0 + ⃗v) = Qj (a0 + ⃗v + (vi + 1)⃗yi + vi⃗zi ) == a0 + ⃗v + (vi +1)⃗yi + vi⃗zi + ((⃗v+(vi +1)⃗yi +vi⃗zi )j + 1)⃗yj + (⃗v+(vi +1)⃗yi +vi⃗zi )j⃗zj == a0 + ⃗v + (vi +1)⃗yi + vi⃗zi + (vj +(vi +1)yij +vi zji +1)⃗yj + (vj + (vi +1)yij +vi zji )⃗zj .Приравнивая полученное выражение к аналогичному выражению для Qi Qj (a0 + ⃗v),получим соотношение((vj + 1)yji + vj zij )(⃗yi + ⃗zi ) = ((vi + 1)yij + vi zji )(⃗yj + ⃗zj ),которое верно для любого вектора ⃗v. Рассматривая все возможные значенияvi , vj ∈ Z2 , получаем равенства (10).Замечание 11. Пару векторов ⃗yi ,⃗zi ∈ Zn2 можно рассмотреть как “векторноеполе” ξi на An , заданное соответствующими сдвигами на паре параллельных гиперграней куба (т. е.
на паре аффинных подпространств в An ). Если определитьстандартными формулами производную полинома вдоль векторного поля и коммутатор векторных полей на An , то соотношения (10) эквивалентны тому, что поляξi и ξj коммутируют.Переформулируем теперь теорему 11, описывающую классификацию седловыхособенностей сложности 1, в терминах векторов ⃗yi ,⃗zi .Как и выше, рассмотрим аффинное пространство An , в котором фиксирована“система координат” (элемент a0 ∈ An и базис ⃗e1 , . .
. , ⃗en ∈ Zn2 ), как множество87вершин графа. Неориентированные ребра цвета i соединяют вершины a и a + ⃗ei ,а ориентированные ребра цвета i идут из a в Qi (a), где Qi определено формулами (9). Из лемм 13 и 14 следует, что если ⃗y1 ,⃗z1 , . . . , ⃗yn ,⃗zn удовлетворяют соотношениям (10), то мы получим некоторый fn -граф сложности 1. Рассмотрим(n × n)-матрицы y и z, столбцами которых являются ⃗y1 , . . . , ⃗yn и ⃗z1 , . . . ,⃗zn соответственно, и обозначим построенный fn -граф через Θ(y, z).Из определения 24 очевидно, что fn -граф Θ(y, z) является простым тогда и только тогда, когда все диагональные элементы матриц y и z равны нулю.Теорема 12.1) Каждая пара (n × n)-матриц y, z, элементы которыхyij , zji ∈ Z2 удовлетворяют условиям (10) и соотношениям yii = zii = 0, задаетседловую особенность сложности 1, соответствующую fn -графу Θ(y, z), причемлюбая седловая особенность сложности 1 задается таким образом.2) Две седловые особенности сложности 1 интегрируемых гамильтоновых систем с n степенями свободы полулокально лиувиллево эквивалентны тогда итолько тогда, когда пару матриц y, z, задающую одну особенность, можно получить из аналогичной пары матриц, задающей другую особенность, применяяследующие операции:(i) сопряжение матриц y и z при помощи некоторой матрицы перестановки;(ii) замена столбца ⃗yi в матрице y на ⃗zi и замена столбца ⃗zi в матрице z на ⃗yiдля некоторого i = 1, .
. . , n.Доказательство. Первое утверждение следует из теоремы 11 и определенияfn -графа Θ(y, z). Второе утверждение следует из предложения 11. Операция (i) соответствует перенумерации базисных элементов ⃗e1 , . . . , ⃗en , а операция (ii) — заменевершины a0 ∈ An на вершину a0 + ⃗ei .Применяя операции (i) и (ii) из теоремы 12, можно привести матрицы y и zк некоторому “простому” виду, чтобы сократить перебор при составлении спискаседловых особенностей сложности 1. Для описания этого вида удобнее использоватьматрицу t = y + z вместо одной из матриц y, z (ясно, что пары матриц y, z и t, yоднозначно определяют друг друга).88Лемма 15.
Пусть элементы матриц y, z удовлетворяют условиям (10) исоотношениям yii = zii = 0. Тогда, применяя операцию (i), матрицы t = y + z и yможно привести к следующему виду:kk1km. . . z}|{z }|0 { z}|{T1 . . . Tmkk1km. . . z}|{z }|0 { z}|{0t=U,00VW1y=0..00,(11).Wmгде 1 ≤ k0 ≤ n, каждая из матриц T1 , . . . , Tm состоит из одинаковых ненулевыхстолбцов, матрица U — любая с нулями на диагонали, матрица V — любая, акаждая из матриц W1 , .
. . , Wm — симметричная с нулями на диагонали (в частности, если k0 = n, то t = 0 и y = U ).Доказательство. Для матриц t, y условия (10), очевидно, можно переписатьследующим образом:tij⃗ti = 0,yji⃗ti = yij⃗tj∀ i, j ∈ {1, . . . , n}.(12)Первое из соотношений (12) означает в точности следующее: для любого i = 1, . . . , nматрица t имеет либо нулевой i-й столбец, либо нулевую i-ю строку. Перенумеруем базисные векторы ⃗e1 , . . .
, ⃗en (т. е. применим операцию (i)) так, чтобы первые k0столбцов матрицы t были нулевыми, а все остальные n − k0 столбцов — ненулевыми. Тогда последние n − k0 строк матрицы t будут нулевыми. Группируя ненулевыестолбцы, получаем требуемый вид для матрицы t.Докажем, что в результате матрица y также примет требуемый вид. Рассматривая второе из соотношений (12), получаем следующие варианты. Если i, j ≤ k0 ,то соотношение выполнено, т.
е. на матрицу U нет никаких условий кроме yii = 0.Если i ≤ k0 , а j > k0 , то yij = 0, так как ⃗ti = 0, а ⃗tj ̸= 0. Это означает, что левыйнижний блок матрицы y нулевой. Наконец, если i, j > k0 , то ⃗ti и ⃗tj — ненулевыевекторы. Поэтому в случае ti ̸= tj получаем yji = yij = 0, а в случае ti = tj получаемyji = yij .89Из леммы 15 следует, что теорема 12 может быть уточнена следующим образом.Теорема 13. 1) Каждая пара матриц t, y вида (11) задает седловую особенность сложности 1, соответствующую fn -графу Θ(y, y + t), причем любая седловая особенность сложности 1 задается таким образом.2) Две седловые особенности сложности 1 интегрируемых гамильтоновых систем с n степенями свободы полулокально лиувиллево эквивалентны тогда итолько тогда, когда пару матриц t, y вида (11), задающую одну особенность, можно получить из аналогичной пары матриц, задающей другую особенность, применяя следующие операции:(i′ ) сопряжение матриц t и y при помощи некоторой матрицы перестановки;(ii′ ) замена столбца ⃗yi в матрице y на ⃗yi + ⃗ti для некоторого i = 1, .
. . , n.Теорема 13 показывает, что имеется взаимно однозначное соответствие междуседловыми особенностями сложности 1 и классами эквивалентности пар матриц t, yвида (11) относительно операций (i′ ) и (ii′ ). Отметим, что выбрать некоторый “канонический” представитель в каждом таком классе эквивалентности вряд ли возможно. Например, следующее утверждение показывает, что в случае t = 0 эта задачаэквивалентна нахождению некоторой “канонической” нумерации вершин произвольного графа.Следствие 3.
Для интегрируемых гамильтоновых систем с n степенями свободы количество седловых особенностей сложности 1, для которых сомножителями минимальной модели являются лишь атомы B и C2 , равно количеству всех ориентированных графов с n вершинами без петель и кратныхребер.Доказательство. Согласно предложению 12 рассматриваемые особенностисоответствуют случаю t = 0. Поэтому каждая из таких особенностей задается лишьматрицей y.
Более того, из леммы 15 следует, что в этом случае y = U , где U — любая матрица с нулями на диагонали, причем операция (ii′ ) ее не меняет. Матрицу Uможно рассматривать как матрицу смежности некоторого графа, а операцию (i′ ) —как перенумерацию его вершин.90Отметим также противоположный случай, когда матрица t имеет максимальноечисло ненулевых столбцов.Следствие 4. Для интегрируемых гамильтоновых систем с n степенями свободы количество седловых особенностей сложности 1, для которых сомножителями минимальной модели являются один атом B и n − 1 атомов P4 , равно количеству всех неориентированных графов без петель и кратных ребер, число вершинкоторых равно n − 1, причем ни одна из вершин не является изолированной.Доказательство. Из предложения 12 следует, что для рассматриваемых особенностей матрицы t и y имеют ровно один нулевой столбец.
Если такие матрицыимеют вид (11), то k0 = 1 и m = 1. Отсюда получаем, что U = 0, а T1 — матрица размера 1 × (n − 1), все элементы которой равны 1. Учитывая операцию (ii′ ),можно считать, что V = 0. Таким образом, каждая особенность указанного видазадается симметричной (n − 1) × (n − 1)-матрицей W1 с нулями на диагонали и безнулевых столбцов.
Такую матрицу можно рассматривать как матрицу смежностинеориентированного графа.Используя теорему 12, легко предъявить алгоритм перечисления седловых особенностей сложности 1 для данного числа степеней свободы n: необходимо перебратьвсе пары матриц t, y вида (11), а затем устранить из полученного списка лишниепары, применяя операции (i′ ) и (ii′ ). В следующем утверждении указано количество таких особенностей для малых значений n, полученное при реализации этогоалгоритма на компьютере.Предложение 13.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
