Топология особенностей интегрируемых гамильтоновых систем (1097913), страница 17

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 17)

определение 9).Во-вторых, в каждом классе эквивалентности fn -графов сложности 1 можно однозначно выбрать “простой” fn -граф (см. определение 24 и предложение 9. Дляпростого fn -графа соответствующие ему перестановки µ1 , . . . , µn являются инволюциями (лемма 11). Отсюда, в частности, следует, что для особенностей сложности 1теорему 7 можно упростить, заменив в ней “эквивалентность” fn -графов на “изоморфность” (см. теорему 11).

Еще одним следствием является описание сомножителей минимальной модели для особенностей сложности 1 (предложения 10 и 12).В-третьих, перестановки τ1 , . . . , τn , соответствующие fn -графу сложности 1, задают на множестве его вершин структуру аффинного пространства, относительнокоторой перестановки µ1 , . . . , µn также являются аффинными преобразованиями(следствие 2 и предложение 11. Это позволяет переформулировать теорему классификации для особенностей сложности 1 в алгебраических терминах (теоремыrefcompl1-theor3 и 13) и упростить алгоритм их перечисления (результат вычислений для малой сложности приведен в предложении 13).Перейдем теперь к точным формулировкам и доказательствам указанных утверждений.802.7.1. Простые fn -графыПусть Θ — fn -граф сложности 1, определяемый набором перестановокτ1 , µ1 , .

. . , τn , µn на множестве его вершин. Из условия (c) определения 16 следует, что неориентированные ребра fn -графа Θ образуют подграф, изоморфный 1мерному остову n-мерного куба, где ребра каждого из n цветов параллельны, т. е.инволюцию τi (i = 1, . . . , n) можно рассматривать как сдвиг каждой вершины вдольнеориентированного ребра цвета i.Определение 24. Будем говорить, что fn -граф Θ сложности 1 является простым, если для каждого i = 1, . . .

, n любые две вершины, соединенные ориентированным ребром цвета i, лежат в одной и той же гиперграни куба, перпендикулярнойнеориентированным ребрам цвета i.Лемма 11. Если Θ — простой fn -граф сложности 1, то каждая из соответствующих ему перестановок µ1 , . . . , µn является инволюцией (или тождественной перестановкой).Доказательство. Пусть a и b — вершины fn -графа Θ, соединенные ориентированным ребром цвета i, т. е. b = µi (a). Так как Θ — простой fn -граф, то существует путь, идущий из a в b и состоящий из неориентированных ребер, цвет которыхотличен от i, т.

е. b = τj1 . . . τjk (a), где j1 , . . . , jk ̸= i. Получаемµi (b) = µi τj1 . . . τjk (a) = τj1 . . . τjk µi (a) = τj1 . . . τjk (b) = τj1 . . . τjk τj1 . . . τjk (a) = a,поскольку µi коммутирует с инволюциями τj1 , . . . , τjk .Предложение 9. Среди fn -графов, эквивалентных данному fn -графу Θ сложности 1, существует ровно один (с точностью до изоморфизма) простой fn -граф.Доказательство.

Пусть N — одна из двух гиперграней, перпендикулярныхвсем неориентированным ребрам цвета i. Рассуждая так же, как и при доказательстве леммы 11, получаем, что перестановка µi переводит все вершины, лежащие вгиперграни N , либо в гипергрань N , либо в параллельную ей гипергрань N ′ . Такимобразом, заменяя, если необходимо, µi на τi µi , мы получаем fn -граф, эквивалентный Θ, для которого условие простоты выполнено для ребер цвета i. Поступая такдля каждого i = 1, . . . , n, получим простой fn -граф, эквивалентный Θ.81Докажем теперь, что эквивалентные простые fn -графы изоморфны.

Согласноопределению 19 переход к эквивалентному fn -графу состоит из последовательностиопераций, каждая из которых является заменой перестановки µi либо на µ−1i , либона τi µi . Учитывая, что τi и µi инволюции (лемма 11), получаем, что имеется всеготри варианта применения этих операций: замена µi на τi µi , на µi τi или на τi µi τi .Первые два варианта нарушают свойство простоты fn -графа, а последняя приводитк изоморфному fn -графу (изоморфизм осуществляется перестановкой τi ).Замечание 10. Существование канонического представителя (простого fn графа) среди эквивалентных fn -графов сложности 1, связано с тем, что для особенностей сложности 1 камеру в образе отображения момента можно выбрать некоторым каноническим образом, учитывая, что l-тип особенности сложности 1 однозначно определен (определение l-типа см.

в [9, 73], а также в разделе 2.2).Из предложения 9 следует, что для особенностей сложности 1 общую теорему 7можно уточнить следующим образом.Теорема 11. Две седловые особенности сложности 1 интегрируемых гамильтоновых систем с n степенями свободы полулокально лиувиллево эквивалентнытогда и только тогда, когда соответствующие им простые fn -графы изоморфны.При этом любой простой fn -граф соответствует некоторой седловой особенности сложности 1.Таким образом, задача классификации седловых особенностей сложности 1 эквивалентна задаче перечисления простых fn -графов.Еще один удобный способ описания особенностей интегрируемых гамильтоновыхсистем основан на теореме Н. Т. Зунга о представлении особенностей в виде почтипрямых произведений (теорема 3; см. также [121, 12, 74]).

Используя предложение 9и результаты из разделов 2.3, 2.4, легко доказать следующее утверждение (содержащееся также в работе В. В. Калашникова [24]).Предложение 10. Для седловой особенности сложности 1 сомножителямив ее минимальной модели могут быть только атомы B, C2 , D1 , P4 (соответствующие им f -графы см. на рис. 6).82Доказательство. Рассмотрим седловую особенность сложности 1 и соответствующий ей простой fn -граф Θ. Сомножители минимальной модели данной особенности задаются f -графами (т. е. f1 -графами), которые являются связными компонентами подграфов, образованных ребрами одного цвета fn -графа Θ (см. предложение 4 и лемму 9).

Поскольку fn -граф Θ является простым, каждый такой f -графΓi задается парой перестановок τi , µi , где τi — инволюция, а µi — инволюция илитождественная перестановка. Это означает, что ориентированные ребра f -графа Γiобразуют либо петли, либо циклы длины 2.c_BZ__#cD1#_C2__P4Рис. 6: Образующие минимальной модели для особенностей сложности 1Рассуждения, аналогичные доказательству леммы 11, показывают, что каждаяперестановка τi µi τi µi является инволюцией или тождественной перестановкой (еслирассмотреть τi µi τi µi как новые перестановки µ′i , то для них, очевидно, выполненыусловия леммы 11).Перебирая все варианты получаем следующее: f -граф Γi может иметь либо только две петли (атом B), либо две петли и один цикл длины 2 (атом D1 ), либо двацикла длины 2 (атом C2 ), либо четыре цикла длины 2 (атом P4 ).2.7.2.

Алгебраическое описание особенностейсложности 1Дадим еще одну интерпретацию fn -графов сложности 1, удобную для их перечисления.Набор инволюций τ1 , . . . , τn задает на множестве вершин fn -графа Θ структуруn-мерного аффинного пространства над полем Z2 . Действительно, если a и b — вершины fn -графа Θ, то b = τ1ε1 . . . τnεn (a), где набор из нулей и единиц (ε1 , .

. . , εn ) ∈ Zn2однозначно определен. Тем самым каждой паре вершин a, b сопоставляется элемент⃗v ∈ Zn2 , который можно рассматривать как “вектор, соединяющий a и b”. Будемзаписывать это соответствие в виде b = a + ⃗v или b − a = ⃗v. Множество вершинfn -графа Θ с указанной структурой аффинного пространства обозначим через An .83(Здесь и далее мы обозначаем элементы аффинного пространства An , т. е. вершиныfn -графа, через a, b, .

. . , а элементы линейного пространства Zn2 , ассоциированного⃗ , . . . .)с An , через ⃗v, wПерестановки τ1 , . . . , τn являются образующими подгруппы сдвигов в группеGA(n, Z2 ) биективных аффинных преобразований пространства An . Оказывается,перестановки µ1 , . . . , µn также являются аффинными преобразованиями пространства An .

Это вытекает из следующего простого утверждения.Лемма 12. Пусть L — (n − 1)-мерное подпространство в Zn2 . Если отображение R : An → An коммутирует со всеми сдвигами на элементы подпространства L, то R является аффинным преобразованием, причем его дифференциалT = dR действует на L тождественно.Доказательство. По определению отображение R является аффинным преобразованием тогда и только тогда, когда для любых a ∈ An и ⃗v ∈ Zn2 выполненосоотношениеR(a + ⃗v) = R(a) + T ⃗v,где T — линейный оператор на Zn2 . Рассмотрим в Zn2 элемент ⃗e ∈/ L.

Любой элемент⃗v ∈ Zn2 имеет вид ⃗v = ⃗vL + λ⃗e, где ⃗vL ∈ L и λ ∈ Z2 . Учитывая, что R коммутируетсо сдвигом на ⃗vL , получаемR(a + ⃗v) = R(a + ⃗vL + λ⃗e) = R(a + λ⃗e) + ⃗vL = R(a) + λ(R(a + ⃗e) − R(a)) + ⃗vL ,где последнее равенство, очевидно, верно при λ ∈ {0, 1} = Z2 . Проверим, что⃗ = a+w⃗ L + µ⃗e,R(a +⃗e) − R(a) не зависит от a ∈ An .

Действительно, если b = a + w⃗ L ∈ L и µ ∈ Z2 , тогде w⃗ L + µ⃗e + ⃗e) − R(a + w⃗ L + µ⃗e) =R(b + ⃗e) − R(b) = R(a + w= R(a + (µ + 1)⃗e) − R(a + µ⃗e) = R(a + ⃗e) − R(a).Полагая T⃗e = R(a + ⃗e) − R(a) и T ⃗v = ⃗v для любого ⃗v ∈ L, получаем требуемоеутверждение.Следствие 2. Каждая перестановка µi (i = 1, . . . , n) является невырожденным аффинным преобразованием Qi : An → An .84Таким образом, каждому fn -графу Θ сложности 1 сопоставлен набор аффинных преобразований P1 , . . . Pn , Q1 , . . .

, Qn ∈ GA(n, Z2 ), удовлетворяющих следующим условиям:(A1) P1 , . . . Pn образуют базис в подгруппе сдвигов группы GA(n, Z2 );(A2) Q1 , . . . , Qn попарно коммутируют;(A3) Pi Qj = Qj Pi при i ̸= j.Если рассматривать такие наборы с точностью до сопряжения в группе GA(n, Z2 )и перенумерации базисных элементов, то указанное соответствие будет взаимнооднозначным. Точнее, верно следующее утверждение (ср. предложение 6).Предложение 11.

Наборы аффинных преобразований P1 , . . . Pn , Q1 , . . . , Qn иP1′ , . . . Pn′ , Q′1 , . . . , Q′n , удовлетворяющие условиям (A1)–(A3), задают изоморфныеfn -графы Θ и Θ′ сложности 1 тогда и только тогда, когда существуют σ ∈ Sn иg ∈ GA(n, Z2 ), для которыхPi′ = gPσ(i) g −1иQ′i = gQσ(i) g −1при всех i = 1, . . . , n,Доказательство. Утверждение следует из того, что любое отображениеg : An → An , переводящее набор базисных сдвигов P1 , . .

. Pn в некоторый наборбазисных сдвигов, является аффинным преобразованием.2.7.3. Матричная форма инвариантаЗафиксируем набор P1 , . . . , Pn и выберем базис ⃗e1 , . . . , ⃗en в Zn2 , в котором каждоепреобразование Pi : An → An является сдвигом на вектор ⃗ei . Тогда любой fn -графсложности 1 задается набором преобразований Q1 , . . . , Qn ∈ GA(n, Z2 ), удовлетворяющих условиям (A2) и (A3).Компоненты элемента ⃗v ∈ Zn2 в базисе ⃗e1 , . . . , ⃗en обозначим через v1 , . . . , vn .Обозначим через Li подпространство в Zn2 , состоящее из векторов ⃗v, для которыхvi = 0. Если ⃗v ∈ Li , то будем говорить, что ⃗v перпендикулярен ⃗ei , и писать ⃗v⊥⃗ei .Зафиксируем некоторую вершину a0 ∈ An .

Характеристики

Список файлов диссертации