Диссертация (1097736), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Òàêèìîáðàçîì, ôóíêöèÿ èñòî÷íèêîâ fs (x, y, z) ÿâëÿåòñÿ âåñüìà ãëàäêîé ôóíêöèåé íàïðàâëåíèÿ Ω, òàê ÷òî çàäà÷à ðåøåíèÿ ÓÏÈ ñ ãëàäêîé ôóíêöèåé èñòî÷íèêîâè ñîîòâåòñòâóþùèìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè äëÿ íàõîæäåíèÿ Ls îêàçûâàåòñÿãîðàçäî ïðîùå èñõîäíîé çàäà÷è.Ñîîòâåòñòâóþùåå âûðàæåíèå äëÿ êîýôôèöèåíòîâ ðàçëîæåíèÿ fD ïî ñôåðè÷åñêèì ãàðìîíèêàì çàïèñûâàåòñÿ â âèäå [52]⃗ SH (τ ) = (µ̂µ̂− − 1̂)(1̂ − Λx̂ + iω)C⃗ a (τ ) ,∆(2.34)⃗ a (τ ) - âåêòîð-ñòîëáåö êîýôôèöèåíòîâ ðàçëîæåíèÿ àíèçîòðîïíîé ÷àñòè ðåãäå Cøåíèÿ. Ïðè óäà÷íî íàéäåííîé àíèçîòðîïíîé ÷àñòè ïîëÿ ðåøåíèå êðàåâîé çà41äà÷è ÿâëÿåòñÿ ïëàâíîé, ðåãóëÿðíîé ôóíêöèåé, êîòîðóþ íåòðóäíî íàéòè ëþáûì÷èñëåííûì ìåòîäîì. Èñïîëüçîâàíèå â êà÷åñòâå àíèçîòðîïíîé ÷àñòè âûðàæåíèÿ(2.19) ñîîòâåòñòâóþùåãî ïîðÿäêà ïðèáëèæåíèÿ (2.17) ïîçâîëÿåò ñôîðìóëèðîâàòü âåñüìà ðåãóëÿðíóþ çàäà÷ó äëÿ ãëàäêîé ÷àñòè ðåøåíèÿ. ñëó÷àå ïëîñêîñëîèñòîé çàäà÷è ðåøåíèå ìîæåò áûòü ýôôåêòèâíî íàéäåíîñðåäñòâàìè ìàòðè÷íîé àëãåáðû ñ ðàçäåëåíèåì ïî àçèìóòàëüíûì ãàðìîíèêàì m.Áóäåì èñêàòü ðåøåíèå ÓÏÈ â âèäå ñóììû (1.1), ãäå La âûäåëåííàÿ îñîáåííàÿ÷àñòü ðåøåíèÿ.
Äëÿ îñòàâøåéñÿ ãëàäêîé ÷àñòè òåëà ÿðêîñòè LD ôîðìóëèðóåòñÿêðàåâàÿ çàäà÷à äëÿ íåîäíîðîäíîãî ÓÏÈ∂Λµ LD + LD −∂τ4πILD (t, τ, θ′ , ϕ′ )x(θ, ϕ, θ′ , ϕ′ )dΩ = SF ,(2.35)ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè. Ôóíêöèÿ èñòî÷íèêîâ SF∂ΛSF = −iωLa − µ La − La +∂τ4πILa (t, τ, θ′ , ϕ′ )x(θ, ϕ, θ′ , ϕ′ )dΩ .(2.36)ñòîÿùàÿ â ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ, ïîäñòàíîâêîé ðàçëîæåíèÿ àíèçîòðîïíîé÷àñòè (2.19) â ÓÏÈ â Ñà ïðåäñòàâëåíèè (2.12) ìîæåò áûòü íàéäåíà â âèäå ðàçëîæåíèÿ â ðÿä ïî ñôåðè÷åñêèì ãàðìîíèêàì äëÿ äàííîãî àçèìóòàëüíîãî ÷èñëàmSFSH = (µ̂µ̂− − 1)(1 + iω − Λx̂k ) exp(Âτ )Ckm (0) .(2.37)Ãëàäêóþ ÷àñòü òåëà ÿðêîñòè óäîáíî èñêàòü ìåòîäîì äèñêðåòíûõ îðäèíàò.Ââåäåì ñîîòâåòñòâóþùóþ ïðÿìîóãîëüíóþ ìàòðèöó ŴŴi,l = Ylm (µi )(2.38)äëÿ ïåðåõîäà îò ñôåðè÷åñêèõ ãàðìîíèê ê äèñêðåòíûì îðäèíàòàì, ãäå µi - óçëûèñïîëüçóåìîé êâàäðàòóðíîé ôîðìóëû.
Óðàâíåíèå äëÿ ãëàäêîé ÷àñòè â äèñêðåòíûõ îðäèíàòàõ çàïèøåì â âèäå∞∑∑∂iωLi + µi Li = −Li + 2πΛaj xl Yl0 (µi )Yl0 (µj )Lj + SFi ,∂τj(2.39)l=0ãäå ôóíêöèÿ èñòî÷íèêîâ ñîîòâåòñòâåííî âûðàæàåòñÿ â âèäåSFi = Ŵ SFSH .42(2.40)Ïî âîçìîæíîñòè ñîõðàíÿÿ îáîçíà÷åíèÿ, ïðèíÿòûå â ðàáîòå [159], çàïèøåì (2.39)â ìàòðè÷íîé ôîðìå∂Li = B̂Li + µ−1i SFi .∂τÐåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ âûðàæàåòñÿ â êâàäðàòóðàõ∫τexp(−B̂τ )Li (τ ) − Li (0) =exp(−B̂τ )(2.41)1SFi dτ .µi(2.42)0Ìàòðèöû A è B äèàãîíàëèçóåìû, ò.å. ïðåäñòàâèìû â âèäåˆ V̂ −1 , = V̂ ∆(2.43)B̂ = Û Γ̂Û −1 ,(2.44)ˆ è Γ̂ãäå V̂ è Û ìàòðèöû ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ ìàòðèö A è B ñîîòâåòñòâåííî, ∆ ñîîòâåòñòâóþùèå äèàãîíàëüíûå ìàòðèöû ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé.
Ïîäñòàâëÿÿâûðàæåíèÿ (2.37),(2.38),(2.40) â ïðàâóþ ÷àñòü (2.42), ìû ïîëó÷èì∫τexp(−B̂τ )1Ŵ (µ̂µ̂− − 1)(1 + iω − Λx̂k ) exp(Âτ )Ckm (0)dτ =µi(2.45)0∫τÛ exp(−Γ̂τ )Û −11ˆ )V̂ −1 C m (0)dτ .Ŵ (µ̂µ̂− − 1)(1 + iω − Λx̂k )V̂ exp(∆τkµi0Ââîäÿ îáîçíà÷åíèåΞ̂ ≡ Û −11Ŵ (µ̂µ̂− − 1)(1 + iω − Λx̂k )V̂ ,µi(2.46)ïåðåïèøåì ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå äëÿ ïðàâîé ÷àñòè (2.42) â âèäå∫τˆ )V̂ −1 C m (0)dτ .Û exp(−Γ̂τ )Ξ̂ exp(∆τk(2.47)0Êàê íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, óìíîæåíèå ìàòðèöû Ξ̂ ñïðàâà è ñëåâà ñîîòâåòñòâåí-ˆ ) ýêâèâàëåíòíî óìíîæåíèþíî íà äèàãîíàëüíûå ìàòðèöû exp(−Γ̂τ ) è exp(∆τêàæäîãî ýëåìåíòà ìàòðèöû Ξ̂i,j íà exp((∆j − Γi )τ ).
Ýëåìåíòû ïðÿìîóãîëüíîé43ìàòðèöû Ξ̂i,j íå çàâèñÿò îò τ , è òàêèì îáðàçîì èíòåãðàë ïî τ â (2.47) ëåãêîâû÷èñëÿåòñÿ äëÿ êàæäîãî ýëåìåíòà ìàòðèöû:{∫τexp((∆j − Γi )τ )dτ =(exp((∆j − Γi )τ ) − 1)/(∆j − Γi ) ,τ , ∆j = Γi .∆j ̸= Γi(2.48)0Ïðèìåíåíèå ê (2.42) îïåðàöèè ìàñøòàáíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ, ò.å. óìíîæåíèå ñëåâà íà ìàòðèöó Ŝ Û −1 , ãäå Ŝ äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà ñ ýëåìåíòàìè ñëåäóþùåãîâèäà:{Sii =exp(−Γi τ ) , ReΓi > 01 , ReΓi < 0 ,(2.49)ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü õîðîøî îáóñëîâëåííóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé äëÿ íåêîíñåðâàòèâíûõ ñðåä ïðàêòè÷åñêè íåîãðàíè÷åííîé îïòè÷åñêîé òîëùèíû. Ìàñøòàáíîåïðåîáðàçîâàíèå äëÿ çàäà÷ ñ êîíñåðâàòèâíûìè ñðåäàìè ïðåäëîæåíî â [152].функцияθ, градусыÐèñ.
2.4: Ôóíêöèè èñòî÷íèêîâ ïëîñêîñëîèñòîé êðàåâîé çàäà÷è ÓÏÈ (2.1), (2.2),(2.3). Èíäèêàòðèñà Õýíüè-Ãðèíñòåéíà g = 0.98, τ = 10,Λ = 1,µ0 = 1.Íà ðèñ. 2.4 ôóíêöèè èñòî÷íèêîâ (2.34) ïîêàçàíû â çàâèñèìîñòè îò óãëà âèçèðîâàíèÿ äëÿ íåñêîëüêèõ çíà÷åíèé îïòè÷åñêèõ òîëùèí è äðóãèõ ïàðàìåòðîâ.Ìîæíî âèäåòü, ÷òî ñ óâåëè÷åíèåì ïîðÿäêà àïïðîêñèìàöèè óãëîâûå ðàñïðåäåëåíèÿ ôóíêöèé èñòî÷íèêîâ (2.34) ïåðåìåùàþòñÿ èç ïåðåäíåé ïîëóñôåðû â çàäíþþ.
Äëÿ âûñîêèõ ïîðÿäêîâ àïïðîêñèìàöèè, ôóíêöèè èñòî÷íèêîâ ÿâëÿþòñÿ44âåñüìà ñãëàæåííûìè è â îñíîâíîì ñîñðåäîòî÷åíû â çàäíåé ïîëóñôåðå íàïðàâëåíèé âèçèðîâàíèÿ áëàãîäàðÿ ìíîæèòåëþ (µ̂µ̂− − 1̂), ïðèñóòñòâóþùåìó â âûðàæåíèè (2.34). Çíà÷åíèÿ ïîðÿäêà àïïðîêñèìàöèè, òî åñòü ñòåïåíè ñîîòâåòñòâóþùåãî òåéëîðîâñêîãî ðàçëîæåíèÿ (2.19) ïîêàçàíû öèôðàìè ðÿäîì ñ êàæäîé êðèâîé. Ôóíêöèÿ èñòî÷íèêîâ, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïðîñòåéøåé àíàëèòè÷åñêîé ôîðìåîñîáåííîé ÷àñòè ðåøåíèÿ (ò.å.
â âèäå äåëüòà-ôóíêöèè δ(θ)), ïîêàçàíà æèðíîéïóíêòèðíîé êðèâîé. Ìîæíî íàáëþäàòü óìåíüøåíèå ôóíêöèè èñòî÷íèêîâ â ïåðåäíåé ïîëóñôåðå è ðîñò â çàäíåé ñ ðîñòîì íîìåðà. Íîìåðà ïîðÿäêà ïðèáëèæåíèÿ îáîçíà÷åíû öèôðàìè ïðè êàæäîé êðèâîé. Íà ðèñ. 2.5 ïîêàçàíû ìîäóëèêîýôôèöèåíòîâ ãàðìîíèê ôóíêöèè èñòî÷íèêîâ ÓÏÈ ðàçëè÷íîé ñòåïåíè ìàëîóãëîâîãî ïðèáëèæåíèÿ. Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ñ óâåëè÷åíèåì ïîðÿäêà òî÷íîñòèàïïðîêñèìàöèè (2.34) êîýôôèöèåíòû âûñîêèõ íîìåðîâ ãàðìîíèê ôóíêöèè èñòî÷íèêîâ âåñüìà áûñòðî óìåíüøàþòñÿ è äîñòèãàþò ìèíèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ,îãðàíè÷åííîãî òî÷íîñòüþ âû÷èñëèòåëüíîãî óñòðîéñòâà.функцияÐèñ. 2.5: Ìîäóëè êîýôôèöèåíòîâ ãàðìîíèê ôóíêöèé èñòî÷íèêîâ ïëîñêîñëîèñòîé êðàåâîé çàäà÷è ÓÏÈ (2.34).452.2 Çàäà÷è òåîðèè ïåðåíîñà èçëó÷åíèÿ ñ òî÷å÷íûì ìîíîíàïðàâëåííûì (ÒÌ) èñòî÷íèêîì èçëó÷åíèÿ â ðàññåèâàþùåé ñðåäå.2.2.1×èñëåííîå ìîäåëèðîâàíèå óçêèõ ïó÷êîâ.Ðàññìîòðèì òèïè÷íóþ êîíôèãóðàöèþ çîíäèðîâàíèÿ ñëîèñòîé àòìîñôåðû óçêèì ïó÷êîì íåïðåðûâíîãî èçëó÷åíèÿ [57] (ðèñ.
2.6). Ïó÷îê íîðìàëüíî ïàäàåò íàíèæíþþ ãðàíèöó z = z1 ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñëîèñòîé ðàññåèâàþùåé ñðåäû.Âåðõíÿÿ ãðàíèöà ñðåäû íàõîäèòñÿ íà âûñîòå z = z2 . Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè,êîýôôèöèåíò îñëàáëåíèÿ â ñëîå ε = 1 ïîëîæèì ðàâíûì åäèíèöå.L0BМутная средаθ1z2L1(1)r1LD(2)θ2z1r2L2zθxyAÐèñ. 2.6: Ñõåìàòè÷åñêîå èçîáðàæåíèå ãåîìåòðèè ýêñïåðèìåíòà ïî âåðòèêàëüíîìó ëèäàðíîìó çîíäèðîâàíèþ. ýòîì ðàçäåëå îãðàíè÷èìñÿ ðåøåíèåì ñêàëÿðíîãî ÓÏÈ â ïðèáëèæåíèè êâàçèîäíîêðàòíîãî îáðàòíîãî ðàññåÿíèÿ. Ïîëÿðèçàöèîííûå õàðàêòåðèñòèêè èçëó÷åíèÿ è äèôôóçíàÿ êîìïîíåíòà ðåøåíèÿ LD ðàññìîòðåíû íå áóäóò. Òàêèì îáðà46çîì, áóäåì èñêàòü ðåøåíèå â âèäå ñóììû íåðàññåÿííîãî èçëó÷åíèÿ L0 è ïðÿìîãîè îáðàòíîãî ïîòîêîâ L1 è L2 .
Ïîëå ðàññåÿííîãî èçëó÷åíèÿ ÒÌ èñòî÷íèêà â ïëîêîñëîèñòîé ñðåäå ñ îòêðûòûìè ãðàíèöàìè ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì êðàåâîé çàäà÷èäëÿ óðàâíåíèÿ ïåðåíîñà èçëó÷åíèÿ (2.1) c ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè (2.2), (2.3).Íåðàññåÿííûé ïîòîê èçëó÷åíèÿ L0 èçâåñòåí òàê ÷òî L1 è L2 óäîâëåòâîðÿþòóðàâíåíèÿì (2.56) è (2.57) ñ íóëåâûìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè ïðè L1 (z1 ) = 0è L2 (z2 ) = 0, ñîîòâåòñòâåííî. Áóäåì ñ÷èòàòü ïó÷îê áåñêîíå÷íî òîíêèì(∫L0 = δ(x)δ(y)δ(Ω) exp)εdz,(2.50)òîãäà ôóíêöèÿ èñòî÷íèêà â óðàâíåíèè (2.1) ðàâíàΛf (r, Ω) =4π2.2.2I( ∫)ΛL0 (r, Ω′ )x(Ω, Ω′ )dΩ′ = δ(x)δ(y) x(Ω) exp − εdz .4π(2.51)Ïðèáëèæåíèå êâàçèîäíîêðàòíîãî îáðàòíîãî ðàññåÿíèÿÐàññìîòðèì óðàâíåíèå ïåðåíîñà èçëó÷åíèÿ (2.1).
Ïðèìåì, ÷òî óãëîâîå ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè èñòî÷íèêîâ f (r, Ω) ñèëüíî âûòÿíóòî â ïîëîæèòåëüíîìíàïðàâëåíèè îñè z (µz → 1). Êîýôôèöèåíò îñëàáëåíèÿ â ñðåäå ε = 1 áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ïîëîæèì ðàâíûì åäèíèöå.Ïåðåéäåì ê ðàçäåëüíûì óðàâíåíèÿì äëÿ ïðÿìîãî è îáðàòíîãî ïîòîêîâ âïðèáëèæåíèè êâàçèîäíîêðàòíîãî îáðàòíîãî ðàññåÿíèÿ (L1 è L2 , ñîîòâåòñòâåííî). Ñôåðó íàïðàâëåíèé ðàçäåëèì íà ïåðåäíþþ (µz > 0)è çàäíþþ (µz < 0)ïîëóñôåðû è ââåäåì ðàçáèåíèå åäèíèöû [160] M1 (Ω) + M2 (Ω) ≡ 1 òàêîå, ÷òîM1 (µz → 1) → 1, M2 (µz → 1) → 0 è M1 (µz → −1) → 0, M2 (µz → −1) → 1ñîîòâåòñòâåííî.
Ñ ïîìîùüþ ýòîãî ðàçáèåíèÿ åäèíèöû ðàçäåëèì èíòåãðàë ðàññåÿíèÿ è ôóíêöèþ èñòî÷íèêîâ f (r) íà âêëàäû â ïåðåäíþþ è çàäíþþ ïîëóñôåðûè ó÷òåì îäíîêðàòíîå ðàññåÿíèå ïðÿìîãî ïîòîêà L1 â çàäíþþ ïîëóñôåðó â óðàâíåíèè äëÿ L2 Ïîëó÷èì ïàðó ñâÿçàííûõ óðàâíåíèéIΛ(Ω · ∇)L1 = −L1 + M1 (Ω)L1 (r, Ω′ )x(Ω, Ω′ )dΩ′ + M1 (Ω)f (r) , (2.52)4πIΛ(Ω · ∇)L2 = −L2 + M2 (Ω)L2 (r, Ω′ )x(Ω, Ω′ )dΩ′ + M2 (Ω)f (r)(2.53)4π47IΛ+M2 (Ω)L1 (r, Ω′ )x(Ω, Ω′ )dΩ′ .4πÑëåäóÿ ðàáîòàì [52, 53, 46], ïåðåéäåì â óðàâíåíèÿõ (2.52) è (2.53) ê ìàëîóãëîâûì ïðèáëèæåíèÿì â ïðÿìîì è îáðàòíîì íàïðàâëåíèÿõ, ñîîòâåòñòâåííî.
Äëÿýòîãî, îáå ÷àñòè êàæäîãî óðàâíåíèÿ ðàçäåëèì íà µz è àïïðîêñèìèðóåì âåëè÷èíó µ−1òåéëîðîâñêèì ðàçëîæåíèåì ïî µz âáëèçè ïîëþñà ñîîòâåòñòâóþùåézïîëóñôåðû µz = ±1:1−2nnµz ≡ 1 + (1 − µz ) + (1 − µz ) + . . . + (1 − µz ) + o((1 − µz ) ) ≈(2.54)µz µz →+112nnµ+≡−1−(1+µ)−(1+µ)−...−(1+µ)+o((1−µ))≈. (2.55)zzzzzµz µz →−1Ïîëó÷èì ïàðó óðàâíåíèé äëÿ L1 è L2 â ìàëîóãëîâîì ïðèáëèæåíèè ñ ó÷åòîìäèñïåðñèè äëèí ïóòåé èçëó÷åíèÿ â êàæäîì ïîòîêå∂∂∂L1 + µ−L1 + µ−L1 =z µxz µy∂z∂x∂yIΛ−−L1 (r, Ω′ )x(Ω, Ω′ )dΩ′ + µ−−µz L1 + µz M1 (Ω)z M1 (Ω)f (r) ,4π(2.56)∂∂∂L2 + µ+L2 + µ+L2 =(2.57)z µxz µy∂z∂x∂yIΛ+(L1 (r, Ω′ ) + L2 (r, Ω′ )) x(Ω, Ω′ )dΩ′ + µ+−µ+z M2 (Ω)f (r) .z L2 + µz M2 (Ω)4πÐåøåíèå ýòîé ïàðû óðàâíåíèé (2.56), (2.57) ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè ãðàíè÷íûìèóñëîâèÿìè è ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è î ïîëå ÒÌ èñòî÷íèêà â îäíîðîäíîéñðåäå â çàäàííîì ïðèáëèæåíèè.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
