Диссертация (1097736), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Ìàòðèöû ñîîòâåòñòâóþùèõ òåéëîðîâñêèõ ðàçëîæåíèé òàêæå35èìåþò âèä ìíîãî÷ëåíîâ, ïðèâåäåííûé â òàáëèöå, ñ çàìåíîé ñòåïåíåé µ ñîîòâåòñòâóþùèìè ñòåïåíÿìè ìàòðèöû µ̂.Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (2.18) âûðàæàåòñÿ â ôîðìå ìàòðè÷íîé ýêñïîíåíòûmCkm (τ ) = exp(Âτ )C0k(τ ) ,(2.19) = −µ̂− (1 − Λx̂k ) − iω(µ̂− − 1) ,(2.20)ãäåmC0k(τ ) ñòîëáåö êîýôôèöèåíòîâ ãàðìîíèê òåëà ÿðêîñòè, ñîîòâåòñòâóþùèé íà÷àëüíûì óñëîâèÿì ïàäàþùåìó èçëó÷åíèþ íà ãðàíèöå ñðåäû. Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (2.10) ìîæíî âîññòàíîâèòü ïî ñïåêòðó (2.19) ÷èñëåííûì îáðàùåíèåì ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå.Ñëåäóÿ öèòèðîâàííûì ðàáîòàì, ìû òàêæå îãðàíè÷èâàåìñÿ àíàëèçîì íîðìàëüíîãî ïàäåíèÿ èçëó÷åíèÿ íà ïëîñêóþ ãðàíèöó ñðåäû.
Òåì ñàìûì, ëèøü îñíîâíàÿ àçèìóòàëüíàÿ ãàðìîíèêà m = 0 ïðèñóòñòâóåò â (2.7) è äðóãèõ âûðàæåíèÿõ. Ðåçóëüòàòû ÷èñëåííîãî ðàñ÷åòà ðàñïðîñòðàíåíèÿ êîðîòêèõ èìïóëüñîâ èçëó÷åíèÿ â ïëîñêîñëîèñòîé ñðåäå ïî ôîðìóëàì (2.19) - (2.20), ïðèâåäåííûå íà ðèñ.2.2 ïîëó÷åíû äëÿ èíäèêàòðèñû ðàññåÿíèÿ Õåíüè-Ãðèíñòåéíà ñî ñðåäíèì êîñèíóñîì ðàññåÿíèÿ g = 0.9 è àëüáåäî îäíîêðàòíîãî ðàññåÿíèÿ Λ = 1. Ñîîòâåòñòâóþùåå ðåøåíèå ïîêàçàíî íà ðèñ. 2.2 ñïëîøíûìè êðèâûìè.
Äëÿ ó÷åòà äèñïåðñèèèñïîëüçîâàëàñü ïðîñòåéøàÿ òåéëîðîâñêàÿ àïïðîêñèìàöèÿ µ̂− = 2̂− µ̂, îáåñïå÷èâàþùàÿ ó÷åò äèñïåðñèè â ïåðâîì ïîðÿäêå (ò.å. êâàäðàòè÷íîì ïî θ). Ýòàëîííîåðåøåíèå ìåòîäîì Ìîíòå-Êàðëî [154] ïðèâåäåíî äëÿ ñðàâíåíèÿ (ïóíêòèðíûå ëèíèè). Çíà÷åíèÿ îïòè÷åñêèõ òîëùèí äëÿ êàæäîé ïàðû èìïóëüñîâ óêàçàíû öèôðàìè ïðè êàæäîé ïàðå êðèâûõ. Äëÿ íàãëÿäíîñòè êðèâûå óñëîâíî ðàçíåñåíû ïîîñè âðåìåí. Ïîêàçàíî èçëó÷åíèå, ðàññåÿííîå íà íåáîëüøîé óãîë (θ = 6◦ ).36L832.5291.51100.5t0.20.40.60.81Ðèñ. 2.2: ×èñëåííîå ìîäåëèðîâàíèå íåñòàöèîíàðíîãî ìàëîóãëîâîãî ðåøåíèÿóðàâíåíèÿ ïåðåíîñà (2.19).2.1.3Ìàëîóãëîâîå ïðèáëèæåíèå äëÿ óðàâíåíèÿ ïåðåíîñàïîëÿðèçîâàííîãî èçëó÷åíèÿ.Ìàëîóãëîâîå ïðèáëèæåíèå òåîðèè ïåðåíîñà ñ ó÷åòîì ïîëÿðèçàöèè âïåðâûå áûëî ïîëó÷åíî â ðàáîòå [33], ãäå áûëà ðàññìîòðåíà ýêâèâàëåíòíàÿ ïðîáëåìà ðàññåÿíèÿ ÷àñòèö ñî ñïèíîì.
Ýòî è ïîñëåäóþùèå [34] ðåøåíèÿ íå ó÷èòûâàþò äèñïåðñèþ äëèí ïóòåé ðàñïðîñòðàíåíèÿ, ÷òî ïðèâîäèò êî âñåì òåì æå òðóäíîñòÿì, ÷òîè áåç ó÷åòà ïîëÿðèçàöèè. Ïàðàáîëè÷åñêîå óðàâíåíèå Ìàðêîâñêîãî ïðèáëèæåíèÿäëÿ îáîáùåííûõ ïàðàìåòðîâ Ñòîêñà, ýêâèâàëåíòíîå ÌÓÏ äëÿ íåñòàöèîíàðíîãî óðàâíåíèÿ ïåðåíîñà èçëó÷åíèÿ, äëÿ ìàãíèòîàêòèâíûõ ñðåä áûëî ïîëó÷åíîâ íåñêîëüêèõ ðàáîòàõ [35, 36] .  ðàáîòå [46] ðåøåíèå âåêòîðíîãî óðàâíåíèÿïåðåíîñà èçëó÷åíèÿ (ÂÓÏÈ) â ìàëîóãëîâîì ïðèáëèæåíèè ñ ó÷åòîì äèñïåðñèèïîëó÷åíî íåïîñðåäñòâåííî, ïîëíîñòüþ àíàëîãè÷íî ðàáîòàì [51, 52] äëÿ ñêàëÿðíîãî ÓÏÈ.37Ñîãëàñíî [34], ñïåêòð íåñòàöèîíàðíîãî ðåøåíèÿ L̃(ω, τ, µ, ϕ)∫+∞1exp (iω(t − τ )) L̃(ω, τ, µ, ϕ)dω .L(t, τ, µ, ϕ) =2π(2.21)−∞âåêòîðíîãî óðàâíåíèÿ ïåðåíîñà èçëó÷åíèÿ â ïëîñêîñëîèñòîé îäíîðîäíîé ñðåäå∂iω(1 − µ)L̃(τ,⃗l) + µ L̃(τ,⃗l) + L̃(τ, ⃗l)∂τ(2.22)∞ ∑∞∑2k + 1 kkL̃(τ,⃗l) =Ŷm (µ)f⃗m(τ ) exp(−imϕ) ,4πm=−∞(2.23)IΛ=R̂(⃗l × ⃗l′ → ⃗l × ⃗l0 )x̂(⃗l,⃗l′ )R(⃗l × ⃗l0 → ⃗l × ⃗l′ )L̃(τ,⃗l′ )d⃗l′4πâ öèðêóëÿðíîì ïðåäñòàâëåíèè [155] ïðåäñòàâëÿåòñÿ â ôîðìåk=0ãäå ìàòðèöà ðàññåÿíèÿ ïîëÿðèçîâàííîãî èçëó÷åíèÿ ðàçëàãàåòñÿ â ðÿä⃗x(τ, l · l )⃗′=r,s∞∑k(2k + 1)xkr,s (τ )Pr,s,(2.24)k=0kkkkkïî îáîáùåííûì ñôåðè÷åñêèì ôóíêöèÿì Pr,s, Ŷmk (µ) = diag{Pm,+2, Pm,+0, Pm,−0, Pm,−2} ñîîòâåòñòâóþùàÿ äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà, ⃗l åäèíè÷íàÿ íîðìàëü ê ñôåðå íà0 ⃗1kïðàâëåíèé.
Âåêòîðíûå êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ f⃗m = {f⃗m, fm , . . . , f⃗m, . . .}óäîâëåòâîðÿþò áåñêîíå÷íîé ñèñòåìå îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíèàëüíûõ óðàâíåíèé[]∂iω(1̂ − µ̂)f⃗m + µ̂f⃗m + 1̂ − Λx̂ f⃗m (τ ) = 0 ,(2.25)∂τãäå ìàòðè÷íûé îïåðàòîð µ̂, ïðèñóòñòâóþùèé â äèôôåðåíöèàëüíîì ñëàãàåìîì,çàïèñûâàåòñÿ â âèäå]1 [ k+1 ⃗k+1kk ⃗kk ⃗k−1⃗ f(µ̂f )m ≡+ B̂m fm + Âm fm,(2.26)2k + 1 m m1√ 2k (k − m2 )(k 2 − s2 )δr,s ,(2.27)Âm =r,skms(2k + 1)kB̂m =δr,s ,(2.28)r,sk(k + 1)381̂ åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà ñîîòâåòñòâóþùåãî ðàçìåðà, x̂ ìàòðèöà êîýôôèöèåíòîâðàññåÿíèÿ (2.24) [34]. Àíàëîãè÷íî âûâîäó óðàâíåíèé ñêàëÿðíîé òåîðèè ïåðåíîñà, ðàçäåëèì âåêòîðíîå óðàâíåíèå ïåðåíîñà (2.22) íà µ è àïïðîêñèìèðóåì µ−1òåéëîðîâñêèì ðàçëîæåíèåì íåîáõîäèìîãî ïîðÿäêà.
 ýòîì ïðèáëèæåíèè, ñèñòåìà îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (2.25) äëÿ âåêòîðíûõ êîýôôèöèåíòîâ f⃗m ñâîäèòñÿ ê âèäó[]∂iω(µ̂− − 1̂)f⃗m + f⃗m + µ̂− 1̂ − Λx̂ f⃗m (τ ) = 0 ,∂τ(2.29)àíàëîãè÷íî (2.18). Ìàòðè÷íûé îïåðàòîð µ̂− îçíà÷àåò òåéëîðîâñêîå ðàçëîæåíèå(2.17), â êîòîðîì µ̂ òåïåðü ñîîòâåòñòâóåò ìàòðè÷íîìó îïåðàòîðó (2.26). Ðåøåíèåóðàâíåíèÿ (2.29) âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ìàòðè÷íóþ ýêñïîíåíòó, àíàëîãè÷íî (2.19).Íà÷àëüíîå óñëîâèå äëÿ f⃗m ñîîòâåòñòâóåò ñîñòîÿíèþ ïîëÿðèçàöèè ïàäàþùåãî íàñðåäó èçëó÷åíèÿ (â öèðêóëÿðíîì ïðåäñòàâëåíèè) [34]pe−2iϕ0 δm,2 (1 − q)δm,0 k,f⃗m(0) ∝ (1 + q)δm,0 pe+2iϕ0 δm,−2(2.30)ãäå p è q ñòåïåíü ïîëÿðèçàöèè è ñòåïåíü ýëëèïòè÷íîñòè, ñîîòâåòñòâåííî.2.1.4×èñëåííîå ìîäåëèðîâàíèå ðàñïðîñòðàíåíèÿ ïîëÿðèçîâàííûõ èìïóëüñîâ â ñðåäå ðàáîòå [156] áûëà ïðåäëîæåíà ìàòðèöà ðàññåÿíèÿ, îáîáùàþùàÿ ìîäåëüíóþèíäèêàòðèñó Õýíüè-Ãðèíñòåéíà íà ñëó÷àé ó÷åòà ïîëÿðèçàöèè:1Pm (1 − γ 2 )001 − g200 Pm (1 − γ 2 ) (1 + γ)2 /4HGx̂ (γ) =22 ,23/200(1 + γ) /4 Qm (1 − γ )(1 + g − 2gγ)00−Qm (1 − γ 2 )1(2.31)ãäå γ = cos θ êîñèíóñ óãëà ðàññåÿíèÿ Pm è Qm ïîñòîÿííûå, óäîâëåòâîðÿþùèå íåêîòîðûì îãðàíè÷åíèÿì.
Ïðîôèëè èìïóëüñîâ èçëó÷åíèÿ ïîñëå ïðîõîæäåíèÿ îïòè÷åñêîãî ïóòè τ = 15 â ñðåäå c ìàòðèöåé ðàññåÿíèÿ (2.31) ïîêàçàíûíà ðèñ. 2.3, a). Àëüáåäî îäíîêðàòíîãî ðàññåÿíèÿ Λ = 1, ïàðàìåòðû ìàòðèöûÕýíüè-Ãðèíñòåéíà Pm = 0.5 è Qm = 0.2 áûëè âûáðàíû äëÿ ÷èñëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ, ñëåäóÿ ðàáîòå [34]. Ïîêàçàíû ðåçóëüòàòû äëÿ êðóãîâîé (p = 0,39q = 1) è ëèíåéíîé (p = 1, q = 0) ïîëÿðèçàöèè ïàäàþùåãî èçëó÷åíèÿ (ñïëîøíàÿè ïóíêòèðíàÿ êðèâûå, ñîîòâåòñòâåííî). Äëÿ ó÷åòà äèñïåðñèè èñïîëüçîâàëàñüïðîñòåéøàÿ òåéëîðîâñêàÿ àïïðîêñèìàöèÿ (2.17) ïåðâîãî ïîðÿäêà µ̂− = 2̂ − µ̂,√ò.å.
êâàäðàòè÷íàÿ ïî θ. Ñòåïåíü ïîëÿðèçàöèè m = Q2 + U 2 + V 2 /I [105] ïîêàçàíà æèðíûìè êðèâûìè íà îäíîì ãðàôèêå ñ èíòåíñèâíîñòüþ I (òîíêèå êðèâûå,ïðîèçâîëüíûå åäèíèöû) äëÿ êàæäîé èç äâóõ ïîëÿðèçàöèé. Ðåçóëüòàòû, ïðèâåäåííûå íà ðèñ. 2.3, a) êà÷åñòâåííî ñîãëàñóþòñÿ ñ óñòàíîâëåííûì ôàêòîì [157]î ïðåèìóùåñòâåííîé äåïîëÿðèçàöèè ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííîãî èçëó÷åíèÿ ïðèìíîãîêðàòíîì ìàëîóãëîâîì ðàññåÿíèè.Òàêæå áûëè ïðîâåäåíû âû÷èñëåíèÿ ñ ôóíêöèåé ðàññåÿíèÿ Ìè, ñòðîãî âû÷èñëåííîé äëÿ ìàëîêîíòðàñòíûõ ðàññåèâàòåëåé [158] (ñôåðû ðàäèóñà r = λ èêîýôôèöèåíòà ïðåëîìëåíèÿ n = 1.0005, Λ = 1).
Íà ðèñ. 2.3, á) ïîêàçàíû ïðîôèëè èìïóëüñîâ, ïðîøåäøèõ îïòè÷åñêèé ïóòü τ = 15 äëÿ êðóãîâîé è ëèíåéíîéïîëÿðèçàöèè, ñîîòâåòñòâåííî. Òàê æå êàê è äëÿ ìàòðèöû Õýíüè-Ãðèíñòåéíà,íàáëþäàåòñÿ ðàçëè÷íûé õàðàêòåð äåïîëÿðèçàöèè èçëó÷åíèÿ ñ êðóãîâîé è ëèíåéíîé ïîëÿðèçàöèåé.a)б)I, pI, p110.80.80.60.60.40.40.20.251015τ2051015τ20Ðèñ. 2.3: Ïîëÿðèçîâàííûå èìïóëüñû. a) Ìàòðèöà ðàññåÿíèÿ Õåíüè-Ãðèíñòåéíà[156]. τ = 15. Ñïëîøíûå êðèâûå êðóãîâàÿ ïîëÿðèçàöèÿ, ïóíêòèðíûå êðèâûå ëèíåéíàÿ ïîëÿðèçàöèÿ. Æèðíûå êðèâûå ñòåïåíü ïîëÿðèçàöèè m, òîíêèåêðèâûå èíòåíñèâíîñòü (ïåðâûé ïàðàìåòð Ñòîêñà) I , ïðîèçâîëüíûå åäèíèöû).á) Ìîäåëü ìàëîêîíòðàñòíûõ ðàññåèâàòåëåé [158] τ = 15.
Ñïëîøíûå êðèâûå êðóãîâàÿ ïîëÿðèçàöèÿ, ïóíêòèðíûå êðèâûå ëèíåéíàÿ ïîëÿðèçàöèÿ. Æèðíûåêðèâûå ñòåïåíü ïîëÿðèçàöèè m, òîíêèå êðèâûå èíòåíñèâíîñòü (ïåðâûé ïàðàìåòð Ñòîêñà) I , ïðîèçâîëüíûå åäèíèöû).402.1.5Âûäåëåíèå ñèëüíî àíèçîòðîïíîé ñîñòàâëÿþùåé ïîëíîãî ðåøåíèÿ.Êðàåâàÿ çàäà÷à äëÿ ñâåòîâîãî ïîëÿ â ïëîñêîñëîèñòîé ñðåäå ôîðìóëèðóåòñÿ ââèäå óðàâíåíèÿ ïåðåíîñà (2.1) ñ íåêîòîðîé ôóíêöèåé èñòî÷íèêîâ â ïðàâîé ÷àñòè è êðàåâûõ óñëîâèé, îïðåäåëÿåìûõ çàêîíàìè îòðàæåíèÿ/ïðîïóñêàíèÿ èçëó÷åíèÿ íà ãðàíèöàõ ðàññìàòðèâàåìîé ñðåäû, íàïðèìåð (2.14,2.15). Ïîäñòàâëÿÿïðèíÿòîå ïðåäñòàâëåíèå ðåøåíèÿ â âèäå ñóììû ðåãóëÿðíîé è àíèçîòðîïíîé ÷àñòè (1.1) â êðàåâóþ çàäà÷ó äëÿ óðàâíåíèÿ (2.1) ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè (2.2),(2.3), äëÿ ðåãóëÿðíîé ÷àñòè ðåøåíèÿ LD ïîëó÷èì êðàåâóþ çàäà÷ó äëÿ óðàâíåíèÿ (2.1) ñ íåêîòîðîé ôóíêöèåé èñòî÷íèêîâ fD è ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè,çàâèñÿùèìè îò ïðåäâàðèòåëüíî íàéäåííîé àíèçîòðîïíîé ÷àñòè ðåøåíèÿ La .Äëÿ íàõîæäåíèÿ ðåøåíèÿ ÓÏÈ â öåëîì, ïîäñòàâèì ðåøåíèå â âèäå ñóììûL = La + Ls â óðàâíåíèå (2.1).Äëÿ îñòàâøåéñÿ ÷àñòè ðåøåíèÿ Ls ìû ïîëó÷èì óðàâíåíèå (2.1) ñ ôóíêöèåéèñòî÷íèêîâ fs (x, y, z) â ïðàâîé ÷àñòè∂∂∂Λfs (x, y, z) = −µx La − µy La − µz La + La −∂x∂y∂z4πILa (x, y, z, Ω)x(Ω, Ω′ )dΩ′ + f (x, y, z) .Èñïîëüçóÿ (2.4) è (2.5), ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ èñòî÷íèêîâ ðàâíàfs (x, y, z) =(1 − µ−z µz )(2.32))(I∂∂∂Λ′′La (x, y, z, Ω)x(Ω, Ω )dΩ + f (x, y, z) .−µx La − µy La − µz La + La −∂x∂y∂z4π(2.33) ïåðåäíåé ïîëóñôåðå ôóíêöèÿ èñòî÷íèêîâ ýôôåêòèâíî ïîäàâëåíà ìíîæèòånëåì (1 − µ−z µz ) = o((1 − µz ) ), ñòðåìÿùèìñÿ ê íóëþ â íàïðàâëåíèè âïåðåä, ò.å.â íàïðàâëåíèè ìàêñèìàëüíîé àíèçîòðîïèè ïîëÿ ðàññåÿííîãî èçëó÷åíèÿ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
