Диссертация (1097736), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Ñôîðìóëèðîâàíà ÷èñëåííàÿ ñõåìà ðåøåíèÿ ñ âûäåëåíèåì îñîáåííîñòåé ïðÿìîãî èîáðàòíîãî íàïðàâëåíèé. Ïîëó÷åíî ÷èñëåííîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ ïåðåíîñà èçëó÷åíèÿ â ìàëîóãëîâîì ïðèáëèæåíèè. ðàáîòå [139] äëÿ ñðåä ñ ñèëüíî âûòÿíóòûìè èíäèêàòðèñàìè ðàññåÿíèÿ,äëÿ îñíîâíûõ ôóíäàìåíòàëüíûõ òèïîâ èñòî÷íèêîâ (ïëîñêèé ìîíîíàïðàâëåííûé, òî÷å÷íûé ìîíîíàïðàâëåííûé, òî÷å÷íûé èçîòðîïíûé) ïîëó÷åíû àñèìòîòè÷åñêèå ðåøåíèÿ ÓÏÈ â ìàëîóãëîâîì ïðèáëèæåíèè. Íà îñíîâå ïîëó÷åííûõðåçóëüòàòîâ èçâåñòíûå àñèìïòîòè÷åñêèå âûðàæåíèÿ äëÿ ïåðèôåðèéíûõ îáëàñòåé êîíóñà êîãåðåíòíîãî îáðàòíîãî ðàññåÿíèÿ [128, 129] îáîáùåíû íà ñëó÷àéðåôðàãèðóþùèõ ñðåä.  ðàáîòå [140] ïîëó÷åíî ðåøåíèå çàäà÷è î êîãåðåíòíîìîáðàòíîì ðàññåÿíèè â äèôôóçèîííîì ïðèáëèæåíèè, àíàëîãè÷íîå èçâåñòíîìóðåçóëüòàòó [10] äëÿ ñðåä ñ ïîñòîÿííûì êîýôôèöèåíòîì ïðåëîìëåíèÿ.28Ãëàâà 2Òåîðèÿ ïåðåíîñà èçëó÷åíèÿ âñðåäàõ ñ ñèëüíîàíèçîòðîïíûì ðàññåÿíèåì èìàëîóãëîâûå ïðèáëèæåíèÿ.2.1 Çàäà÷è äëÿ ïëîñêîñëîèñòîé ñðåäû ñ ïëîñêèììîíîíàïðàâëåííûì (ÏÌ) èñòî÷íèêîì èçëó÷åíèÿ.2.1.1Ñòàöèîíàðíàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à äëÿ ïëîñêîñëîèñòîéñðåäû.Ðàññìîòðèì êðàåâóþ çàäà÷ó äëÿ óðàâíåíèÿ ïåðåíîñà èçëó÷åíèÿ â ïëîñêîñëîèñòîé ñðåäå 0 < z < z0Λε(Ω · ∇)L = −εL +4πIL(r, Ω′ )x(Ω, Ω′ )dΩ′ + f (r, Ω) ,(2.1)ãäå Ω = (µx , µy , µz ) åäèíè÷íûé âåêòîð íàïðàâëåíèÿ, r = (x, y, z), µz = cos θ,µx = sin θ cos ϕ, µy = sin θ sin ϕ, x(Ω, Ω′ ) èíäèêàòðèñà ðàññåÿíèÿ, Λ àëüáåäîîäíîêðàòíîãî ðàññåÿíèÿ, L(r, Ω) óãëîâîå ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè èçëó÷åíèÿ, f (r, Ω) ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ èñòî÷íèêîâ.
Êîýôôèöèåíò îñëàáëåíèÿèçëó÷åíèÿ â ñðåäå ε = 1 áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ïîëîæèì ðàâíûì åäèíèöå.Óãëîâîå ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè èçëó÷åíèÿ L óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ29(2.1) â ñðåäå è êðàåâûì óñëîâèÿì íà ãðàíèöàõ ñðåäûL(0) = 0 ïðè µz > 0(2.2)L(z0 ) = 0 ïðè µz < 0 .(2.3)èÒèïè÷íîå óïðîùåíèå, âïåðâûå ñäåëàííîå â ðàáîòå [22] è ïðèíèìàåìîå âáîëüøèíñòâå ðàáîò ïî ðåøåíèþ ÓÏÈ â ìàëîóãëîâîì ïðèáëèæåíèè, ñâîäèòñÿê çàìåíå µz → 1, µx , µy → 0.
 ðàáîòå [23] ïóòåì ðÿäà ïðåîáðàçîâàíèé èíòåãðàëüíîãî ÷ëåíà ÓÏÈ íàéäåíî ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå ãàóññîâñêîãî òèïà.  [19]ïîëó÷åíî ðåøåíèå â ôîðìå ðàçëîæåíèÿ ïî ñôåðè÷åñêèì ãàðìîíèêàì è íàéäåíîõîðîøî èçâåñòíîå ïðèáëèæåííîå âûðàæåíèå äëÿ êîýôôèöèåíòîâ ðàçëîæåíèÿ.Êîìïàíååö [24] è ðÿä äðóãèõ èññëåäîâàòåëåé ëîêàëüíî àïïðîêñèìèðîâàëè ñôåðóíàïðàâëåíèé êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòüþ è ïîëó÷èëè ðåøåíèå â âèäå ìíîãîìåðíîéñâåðòêè â ýòîé ïëîñêîñòè.
Áîëåå ïîäðîáíûé îáçîð ìîæíî íàéòè â ðàáîòå [26].Âî âñåõ ïåðå÷èñëåííûõ ðàáîòàõ â ñèëó ãðóáîñòè ïðåäïîëîæåíèÿ µ ≈ 1 îòñóòñòâîâàë ó÷åò äèñïåðñèè äëèí ïóòåé ðàñïðîñòðàíåíèÿ. Âñå ïîïûòêè ó÷åòàäèñïåðñèè ïóòåì ñîõðàíåíèÿ ñëåäóþùåãî ÷ëåíà â ðàçëîæåíèè µ ≈ 1−θ2 /2+. . .,ñäåëàííûå ðÿäîì èññëåäîâàòåëåé [37, 38, 48, 49], íåèçáåæíî ñâîäèëèñü ê ïðåîáðàçîâàíèþ èíòåãðàëà ðàññåÿíèÿ ñîãëàñíî ðàáîòå [23] è ðåøåíèþ ãàóññîâñêîãîâèäà. íàñòîÿùåé ðàáîòå óêàçàí íîâûé ïîäõîä ê ó÷åòó äèñïåðñèè äëèí ïóòåéðàñïðîñòðàíåíèÿ íà ìàëûõ óãëàõ è îáñóæäàåòñÿ åãî ïðàêòè÷åñêîå ïðèìåíåíèåê ðåãóëÿðèçàöèè èçâåñòíûõ ÷èñëåííûõ ñõåì ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ ïåðåíîñà èçëó÷åíèÿ.Âìåñòî ðàçëîæåíèÿ â ðÿä Òåéëîðà cos θ ≈ 1 − θ2 /2 + .
. ., ðàçäåëèì (2.1) íàµz∂1∂1∂11 ΛL+ µx L+ µy L = − L+∂zµz ∂xµz ∂yµzµz 4πI1f (x, y, z) ,µz(2.4)è ðàçëîæèì µ−1 â ðÿä Òåéëîðà ïî µ âáëèçè çíà÷åíèÿ µz = 1, â ñëó÷àå íîðìàëüíîãî ïàäåíèÿ íà ñëîé ñîîòâåòñòâóþùåãî íàïðàâëåíèþ ìàêñèìàëüíîé àíèçîòðîïèè óãëîâîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ÿðêîñòèL(x, y, z, Ω)x(Ω, Ω′ )dΩ′ +1≈ 1 + (1 − µz ) + (1 − µz )2 + .
. . + (1 − µz )n + o((1 − µz )n ) ≡ µ−z .µz30(2.5)Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì óðàâíåíèåI∂∂∂− ΛL+µ−L+µ−L = −µ−z µxz µyz L+µz∂z∂x∂y4πL(x, y, z, Ω)x(Ω, Ω′ )dΩ′ +µ−z f (x, y, z) ,(2.6)ðåøåíèå êîòîðîãî La è åñòü èñêîìîå ðåøåíèå â ìàëîóãëîâîì ïðèáëèæåíèè ñó÷åòîì äèñïåðñèè äëèí ïóòåé ðàñïðîñòðàíåíèÿ â n-ì ïîðÿäêå ïî óãëó θ, ñîîòâåòñòâóþùèì ïîðÿäêó èñïîëüçîâàííîãî Òåéëîðîâñêîãî ðàçëîæåíèÿ µ−1 . Ïðåíåáðåãàÿ îáðàòíûì ðàññåÿíèåì â ãðàíè÷íûõ óñëîâèÿõ, äëÿ óãëîâîãî ðàñïðåäåëåíèÿ èíòåíñèâíîñòè ìîæíî ïîñòàâèòü íà÷àëüíîå óñëîâèå íà ïåðåäíåé ãðàíèöåñðåäû L(0) = 0, è òàêèì îáðàçîì ñôîðìóëèðîâàòü äëÿ íåãî çàäà÷ó Êîøè.Óðàâíåíèå (2.6) ãîðàçäî ïðîùå ïðèáëèæåííûõ óðàâíåíèé, ïîëó÷åííûõ ñ ïîìîùüþ ðàçëîæåíèÿ µz ≈ 1−θ2 /2.
 ðàìêàõ ìåòîäà ñôåðè÷åñêèõ ãàðìîíèê (ÑÃ),óãëîâîå ðàñïðåäåëåíèå ÿðêîñòè ðàçëàãàåòñÿ â ðÿä ïî ñôåðè÷åñêèì ãàðìîíèêàìL=∞ ∑n∑cnm Ynm (θ, ϕ) ,(2.7)n=0 m=−nãäå Ynm (θ, ϕ) ñôåðè÷åñêèå ãàðìîíèêè [150]. Èíäèêàòðèñà ðàññåÿíèÿ òàêæå ðàçëàãàåòñÿ â ðÿä ïî ñôåðè÷åñêèì ãàðìîíèêàì′x(Ω, Ω ) = 4π∞ ∑n∑xn Ynm (θ, ϕ)Ynm (θ′ , ϕ′ ) .(2.8)n=0 m=−nÌíîæèòåëÿì µx , µy , µz â ïðåäñòàâëåíèè Ñà ñîîòâåòñòâóþò ëèíåéíûå ìàòðè÷íûå îïåðàòîðû µ̂x , µ̂y , µ̂z , òàê ÷òî óðàâíåíèÿ (2.1), (2.6) ñâîäÿòñÿ ê ñèñòåìàìîáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé äëÿ êîýôôèöèåíòîâ ñîîòâåòñòâóþùèõ ðàçëîæåíèé.  çàâèñèìîñòè îò õàðàêòåðà ïîñòàâëåííîé çàäà÷è, èõ ìîæíîðåøèòü ñðåäñòâàìè ìàòðè÷íîé àëãåáðû [34] èëè êàêèì ëèáî ÷èñëåííûì ìåòîäîì, íàïðèìåð ìåòîäîì ðàçíîñòíûõ ñõåì [87].
 ìàòðè÷íîé ôîðìóëèðîâêå ïðåäëàãàåìûé ïîäõîä íåïîñðåäñòâåííî îáîáùàåòñÿ íà ñëó÷àé âåêòîðíîãî óðàâíåíèÿïåðåíîñà èçëó÷åíèÿ (ÂÓÏÈ) äëÿ ïîëÿðèçîâàííîãî èçëó÷åíèÿ (ñì. ðàçäåë 2.1.4).312.1.2Íåñòàöèîíàðíîå óðàâíåíèå ïåðåíîñà èçëó÷åíèÿ.Íåñòàöèîíàðíîå ïîëå èçëó÷åíèÿ â ïëîñêîñëîèñòîé ðàññåèâàþùåé ñðåäå áåç ó÷åòà ïîëÿðèçàöèè ñîîòâåòñòâåííî ïîä÷èíÿåòñÿ óðàâíåíèþ [88]∂∂ΛL+µ L+L−∂t∂τ4πIL(t, τ, θ′ , ϕ′ )x(θ, ϕ, θ′ , ϕ′ )dΩ = 0 .(2.9)Ïðè àíàëèçå ðàñïðîñòðàíåíèÿ êîðîòêèõ èìïóëüñîâ áåç ó÷åòà ðàññåÿíèÿ íà áîëüøèå óãëû óäîáíûì ÿâëÿåòñÿ Ôóðüå-ïðåäñòàâëåíèå â ñîïðîâîæäàþùåé ñèñòåìåêîîðäèíàò:1L(t, τ, µ, ϕ) =2π∫+∞exp (iω(t − τ )) L̃(ω, τ, µ, ϕ)dω .(2.10)−∞Ñïåêòð óãëîâîãî ðàñïðåäåëåíèÿ èíòåíñèâíîñòè L̃ óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ∂Λiω(1 − µ)L̃ + µ L̃ + L̃ −∂τ4πIL̃(t, τ, θ′ , ϕ′ )x(θ, ϕ, θ′ , ϕ′ )dΩ = 0 .(2.11)Ýòîò ñïåêòð ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â âèäå ñóììû ðÿäà ïî ñôåðè÷åñêèì ãàðìîíèêàì (2.7).
Ïîäñòàíîâêîé ýòîãî ðàçëîæåíèÿ â óðàâíåíèå ïåðåíîñà èçëó÷åíèÿ(2.11) çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê ñèñòåìå îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèéäëÿ íåèçâåñòíûõ êîýôôèöèåíòîâ, êîòîðàÿ çàòåì ðåøàåòñÿ òåì èëè èíûì ìåòîäîì. Çàäà÷à äëÿ ðàâíîìåðíî îñâåùåííîé ïëîñêîñëîèñòîé ñðåäû äîïóñêàåòðàçäåëåíèå ãàðìîíèê ïî àçèìóòàëüíîìó íîìåðó m.  ìàòðè÷íûõ îáîçíà÷åíèÿõ ñèñòåìà äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé äëÿ êîýôôèöèåíòîâ ãàðìîíèê èìååòâèä∂ ⃗m⃗ m (τ ) − iω(1̂ − µ̂)C⃗ m (τ ) ,C (τ ) = −(1̂ − Λx̂)C(2.12)∂τãäå x̂ - äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà, ýëåìåíòû êîòîðîé ðàâíû ñîîòâåòñòâóþùèì êîýôôèöèåíòàì ðàçëîæåíèÿ èíäèêàòðèñû ðàññåÿíèÿ xl èíäèêàòðèñû ðàññåÿíèÿx(θ) ïî ñèñòåìå ñôåðè÷åñêèõ ãàðìîíèê (2.8), µ̂ äâóõäèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöàîïåðàòîðà, ñîîòâåòñòâóþùåãî óìíîæåíèþ òåëà ÿðêîñòè íà µ, 1̂ åäèíè÷íàÿ⃗ m ñòîëáåö êîýôôèöèåíòîâ ðàçëîæåíèÿ (2.7).
Âû÷èñëåíèå ýëåìåíìàòðèöà Còîâ ìàòðèöû µ̂ ñâîäèòñÿ ê íàõîæäåíèþ èíòåãðàëîâ îò òðîéíûõ ïðîèçâåäåíèéñôåðè÷åñêèõ ôóíêöèé, êîòîðûå âûðàæàþòñÿ ÷åðåç 3j -ñèìâîëû Âèãíåðà [151].ßâíûå âûðàæåíèÿ ïðèâîäÿòñÿ â ëèòåðàòóðå [87].µ̂32 ñëó÷àå îäíîðîäíîé ïëîñêîñëîèñòîé ñðåäû êîíå÷íîé îïòè÷åñêîé òîëùèíûτ0 , çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê ñèñòåìå ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé. Èíòåãðèðóÿ(2.12) îò 0 äî τ0 , ïîëó÷àåì ñèñòåìó óðàâíåíèé â ìàòðè÷íîé çàïèñèexp(−B̂τ )L̃(τ ) − L̃(0) = 0 ,ãäå B̂ = −µ̂−1 (1 − Λx̂k ) − iω(µ̂−1 − 1).(2.13)Ýòè óðàâíåíèÿ âìåñòå ñ ñîîòâåòñòâóþ-ùèìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè (2.2), (2.3) ñîñòàâëÿþò ïîëíóþ ñèñòåìó óðàâíåíèéäëÿ íåèçâåñòíûõ ðàñïðåäåëåíèé èíòåíñèâíîñòè íà ãðàíèöàõ ñðåäû.
 ñòàöèîíàðíîì ñëó÷àå (ω = 0), ïðèìåíåíèå ê ýòîé ñèñòåìå óðàâíåíèé òàê íàçûâàåìîãîìàñøòàáíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ [152] ïðèâîäèò ê õîðîøî îáóñëîâëåííîé ñèñòåìå,ïðèãîäíîé äëÿ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ. íåñòàöèîíàðíîì ñëó÷àå (ω ̸= 0), îäíàêî, ïðèìåíåíèå ìàñøòàáíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ íå ïîçâîëÿåò â äîñòàòî÷íîé ñòåïåíè óëó÷øèòü ñòåïåíü îáóñëîâëåííîñòè àëãåáðàè÷åñêîé ñèñòåìû óðàâíåíèé (2.13), ÷òî èëëþñòðèðóåò ñîîòâåòñòâóþùèé ãðàôèê ÷èñëà îáóñëîâëåííîñòè ( ðèñ. 2.1).3300.51ImΩ1.5232Log cond A1-2-1012ReΩÐèñ. 2.1: Ãðàôèê ÷èñëà îáóñëîâëåííîñòè äèñêðåòèçîâàííîé ñèñòåìû ëèíåéíûõóðàâíåíèé êðàåâîé çàäà÷è äëÿ íåñòàöèîíàðíîãî ÓÏÈ â ïëîñêîñëîèñòîé ñðåäå.Èíäèêàòðèñà Õåíüè-Ãðèíñòåéíà, ïàðàìåòð àíèçîòðîïèè g = 0.9, îïòè÷åñêàÿòîëùèíà ñðåäû τ0 = 10, àëüáåäî îäíîêðàòíîãî ðàññåÿíèÿ Λ = 0.999, êâàäðàòóðíàÿ ôîðìóëà Ãàóññà 64ãî ïîðÿäêàÍà ýòîì ãðàôèêå ïîêàçàíà òèïè÷íàÿ çàâèñèìîñòü ÷èñëà îáóñëîâëåííîñòèñèñòåìû (2.13) îò ÷àñòîòû ω â êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè. Íà ãðàôèêå ïðåäñòàâëåíðåçóëüòàò ðàñ÷åòà äëÿ ñëåäóþùèõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ: èíäèêàòðèñà ÕåíüèÃðèíñòåéíà, ïàðàìåòð àíèçîòðîïèè g = 0.9, îïòè÷åñêàÿ òîëùèíà ñðåäû τ0 = 10,àëüáåäî îäíîêðàòíîãî ðàññåÿíèÿ Λ = 0.999.
Ñèñòåìà (2.13), ñîñòîÿùàÿ èç N =64 óðàâíåíèé, áûëà äîïîëíåíà íóëåâûìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè äëÿ âõîäÿùåãîèçëó÷åíèÿ (ñâîáîäíûå ãðàíèöû)L̃(0) = 0, µ > 0 ,(2.14)L̃(τ0 ) = 0, µ < 0(2.15)àïïðîêñèìèðîâàííûìè â Ñà â ôîðìå Ìàðøàêà [153]. Ìîæíî âèäåòü, ÷òî ÷èñëîîáóñëîâëåííîñòè íà äåéñòâèòåëüíîé îñè ÷àñòîò íåóäîâëåòâîðèòåëüíî âåçäå, êðîìå ω = 0 (ñòàöèîíàðíûé ñëó÷àé). Äåôîðìàöèÿ êîíòóðà èíòåãðèðîâàíèÿ â êîì34ïëåêñíîé ïëîñêîñòè (Im ω > 0) çàòðóäíèòåëüíà â ñâÿçè ñ áîëüøèì êîëè÷åñòâîìîñîáåííîñòåé. Ïî ýòèì ïðè÷èíàì, ïðè ðåøåíèè íåñòàöèîíàðíîãî ÓÏÈ îáû÷íîïðèìåíÿþòñÿ ÷èñëåííûå ñõåìû (êîíå÷íî-ðàçíîñòíûå è äð.) [47], èëè êàêèå-ëèáîïðèáëèæåííûå ðåøåíèÿ [48, 49] íåïîñðåäñòâåííî âî âðåìåííîé îáëàñòè. ïðèáëèæåííûõ ìàëîóãëîâûõ ðåøåíèÿõ íåñòàöèîíàðíîãî óðàâíåíèÿ ïåðåíîñà, ïðèìåíåííûõ â ðÿäå ðàáîò [48, 49], èñïîëüçóåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîå âû÷èñëåíèå ðàçëè÷íûõ êðàòíîñòåé ðàññåÿíèÿ.
 îïòè÷åñêè òîëñòûõ ñðåäàõ, ãäåïðåîáëàäàåò ìíîãîêðàòíî ðàññåÿííîå èçëó÷åíèå, ïðèìåíåíèå òàêîãî ïîäõîäà çàòðóäíèòåëüíî.  ðàáîòàõ [51, 52] è äð. ïðåäëàãàåòñÿ äðóãîé ïîäõîä, ïðèãîäíûéäëÿ ñðåä ïðîèçâîëüíîé îïòè÷åñêîé òîëùèíû, è ïðè ýòîì ñâîáîäíûé îò êàêèõëèáî óïðîùåíèé ôàçîâîé ôóíêöèè ðàññåÿíèÿ.Ðàçäåëèì îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ (2.11) íà êîñèíóñ óãëà ðàñïðîñòðàíåíèÿ èçëó÷åíèÿ íà µ, àíàëîãè÷íî óðàâíåíèþ (2.4):(iω)I111 Λ∂L̃(θ′ , ϕ′ )x(θ, ϕ, θ′ , ϕ′ )dΩ = 0 .− 1 L̃ + L̃ + L̃ −µ∂τµµ 4π(2.16)Ñîîòâåòñòâóþùèå ðàçëîæåíèÿ µ−1 (2.4), ïðèñóòñòâóþùèå â óðàâíåíèè (2.16), âÿâíîì âèäå çàïèñûâàþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:0112−µ2µ2 − 3µ + 33−µ + 4µ − 6µ + 44µ4 − 5µ3 + 10µ2 − 10µ + 53...2(2.17)... ìàòðè÷íîé ôîðìå óðàâíåíèå ïåðåíîñà èçëó÷åíèÿ (2.9) ïîñëå òàêîé çàìåíûáóäåò èìåòü âèä∂ mCl (τ ) = −µ̂− (1 − Λx̂k )Clm (τ ) − iω(µ̂− − 1)Clm (τ ) ,∂τ(2.18)ãäå ìàòðèöà îïåðàòîðà µ̂− áóäåò ñîîòâåòñòâîâàòü óìíîæåíèþ óãëîâîãî ðàñïðåäåëåíèÿ íà µ−1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
