Диссертация (1097736), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Ñëåäîâàòåëüíî, âûðàæåíèå (2.107) åñòü Ôóðüå-òðàíñôîðìàíòà ðåøåíèÿ ÓÏÈ ñ ÒÌ èñòî÷íèêîì. Àíàëîãè÷íî, èíòåíñèâíîñòü íåêîãåðåíòíîãî ðàññåÿíèÿ ðàâíà íóëåâîéÔóðüå-êîìïîíåíòå ðåøåíèÿ ÓÏÈ IC (0). Ïîñêîëüêó ìíîãèå èçâåñòíûå ðåøåíèÿÓÏÈ íàéäåíû â ôîðìå Ôóðüå-ïðåäñòàâëåíèÿ [93, 58, 60, 53, 54], îíè ìîãóò áûòüíåïîñðåäñòâåííî ïðèìåíåíû ê çàäà÷å êîãåðåíòíîãî îáðàòíîãî ðàññåÿíèÿ.2.3.2Ïîëíîå ÷èñëåííîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ ïåðåíîñà èçëó÷åíèÿ.Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå ïåðåíîñà èçëó÷åíèÿ (2.1). Ñîãëàñíî ðàçä. 2.2.2, ðåøèìêðàåâóþ çàäà÷ó äëÿ ÓÏÈ â ïðèáëèæåíèè êâàçèîäíîêðàòíîãî îáðàòíîãî ðàññåÿíèÿ (2.56), (2.57) è íàéäåì Ôóðüå-êîìïîíåíòû ðàñïðåäåëåíèÿ èíòåíñèâíîñòè èçëó÷åíèÿ (2.59), ñ ïîìîùüþ êîòîðûõ âûðàæàåòñÿ èíòåíñèâíîñòü îáðàòíîãîðàññåÿíèÿ (2.107).71Îäíîêðàòíî ðàññåÿííîå èçëó÷åíèå íå âíîñèò âêëàäà â êîãåðåíòíîå óñèëåíèåîáðàòíîãî ðàññåÿíèÿ [111] è äîëæíî áûòü âû÷òåíî èç îáùåãî ðåçóëüòàòà.
Åãîìîæíî íàéòè ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèÿ (2.57). Ïîëàãàÿ â ýòîì óðàâíåíèè ðàññåÿíèåðàâíûì íóëþ (Λ = 0), ïîëó÷èì∂ (1)∂ (1)∂ (1)(1)+L2 + µ+L2 + µ+L2 = −µ+z µxz µyz L2 + µz M2 (Ω)f (r) .∂z∂x∂y(2.108)Îòäåëüíî ó÷èòûâàòü îäíîêðàòíî ðàññåÿííîå èçëó÷åíèå â óðàâíåíèè äëÿ äèôôóçíîé êîìïîíåíòû LD íåò ñìûñëà, ïîñêîëüêó â èíòåðåñóþùèõ íàñ íàïðàâëåíèÿõ, áëèçêèõ ê îáðàòíîìó, îíî ïðàêòè÷åñêè ïîëíîñòüþ ó÷èòûâàåòñÿ â ìàëîóãëîâîì ïðèáëèæåíèè îäíîêðàòíîãî îáðàòíîãî ðàññåÿíèÿ (2.108).Òàêèì îáðàçîì, ïîëíîå ðåøåíèå çàäà÷è ìîæåò áûòü íàéäåíî â âèäå ñóììûL = L0 + L1 + L2 + LD ,(2.109)ãäå äëÿ LD ïîëó÷àåòñÿ íåîäíîðîäíîå óðàâíåíèå ïåðåíîñà ñ ïðàâîé ÷àñòüþ (2.58).Èç ýòîé ñóììû äîëæíà áûòü âû÷òåíà èíòåíñèâíîñòü îäíîêðàòíîãî îáðàòíîãîðàññåÿíèÿ (2.108).Íåèçâåñòíûå êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ â (2.59) óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèÿì (2.60), (2.60) è∂ ⃗ (1)++ ⃗ (1)+⃗⃗ (1)⃗ (1)C2 + µ̂+z µ̂x ikx C2 + µ̂z µ̂y iky C2 = −µ̂z C2 + µ̂z M̂2 Λx̂f ,∂z(2.110)⃗ 1, C⃗ 2, C⃗ (1) , f⃗ âåêòîð-ñòîëáöû êîýôôèöèåíòîâ ðàçëîæåíèé (2.59) äëÿãäå C2(1)L1 , L2 , L2 , f , ñîîòâåòñòâåííî, µ̂x , µ̂y , µ̂z ìàòðèöû îïåðàòîðîâ óìíîæåíèÿ íàµx , µy , µz .
ßâíûå âûðàæåíèÿ äëÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ìàòðèö ìîæíî íàéòè â ëèòåðàòóðå [87]. Ìàòðèöû µ̂±z ìàòðè÷íûå ïîëèíîìû µ̂z , îïðåäåëÿåìûå ôîðìóëàìè(2.54), (2.55). Ìàòðèöû M̂1,2 ñîîòâåòñòâóþò ôóíêöèÿì ðàçáèåíèÿ åäèíèöû íàñôåðå M1,2 (Ω) [54].Óðàâíåíèå (2.1) ñ ôóíêöèåé èñòî÷íèêîâ fD (2.58) äëÿ äèôôóçíîé ÷àñòèèçëó÷åíèÿ LD ðåøàëîñü ìåòîäîì äèñêðåòíûõ îðäèíàò ñ ïîìîùüþ êîíå÷íîðàçíîñòíîé ñõåìû [87, 153]. Èñïîëüçîâàëàñü ãàóññîâñêàÿ êâàäðàòóðíàÿ ôîðìóëàäëÿ ñôåðû G29 [178] 29-ãî ïîðÿäêà òî÷íîñòè ñ 302 óçëàìè.Ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû îïåðàòîðîâ ìîãóò áûòü âû÷èñëåíû ñ ïîìîùüþ 3j ñèìâîëîâ Âèãíåðà [151]. Îáîáùåíèå ïîäõîäà íà íåñòàöèîíàðíûé ñëó÷àé íå âûçûâàåò çàòðóäíåíèé [54, 46].722.3.3×èñëåííîå ìîäåëèðîâàíèå è îáñóæäåíèå ðåçóëüòàòîâ.Íà ðèñ.
2.17 ïðåäëàãàåìîå ÷èñëåííîå ðåøåíèå äëÿ ïèêà îáðàòíîãî ðàññåÿíèÿïîêàçàíî âìåñòå ñ èçâåñòíûì ðåøåíèåì â äèôôóçèîííîì ïðèáëèæåíèè [10] äëÿïîëóáåñêîíå÷íîé ñðåäû (τ0 = ∞, Λ = 1)α(θ) = (3a/4πl){1 + [1 − exp(−q⊥ a)]/q⊥ a} ,(2.111)íîðìèðîâàííûì ñîîòâåòñòâóþùèì îáðàçîì. Ïîïåðå÷íîå âîëíîâîå ÷èñëî q⊥ =kθ, ïàðàìåòð a = 2(ltr + z0 ), ãäå z0 ≈ 0.7 ltr .Ic10.80.60.40.2klΘ0.20.40.60.811.2Ðèñ.
2.17: Êîãåðåíòíîå óñèëåíèå îáðàòíîãî ðàññåÿíèÿ â êîíñåðâàòèâíîé ñðåäå: ñïëîøíàÿ êðèâàÿ äèôôóçèîííîå ïðèáëèæåíèå [10], ïóíêòèðíàÿ êðèâàÿ ÷èñëåííûé ðàñ÷åò. τ0 = 200, Λ = 1, g = 0.9, èíäèêàòèñà ðàññåÿíèÿ ÕåíüèÃðèíñòåéíà [176]×èñëåííîå ðåøåíèå ïîëó÷åíî äëÿ íîðìàëüíî îñâåùåííîãî ïëîñêîãî ñëîÿ ñðåäû ñ îïòè÷åñêîé òîëùèíîé τ0 = 200, Λ = 1, èíäèêàòðèñà ðàññåÿíèÿ ÕåíüèÃðèíñòåéíà, ïàðàìåòð àíèçîòðîïèè g = 0.9.Ìàðèíþê è Ðîãîçêèí [128] èññëåäîâàëè êîãåðåíòíîå îáðàòíîå ðàññåÿíèå âñðåäàõ ñ ñèëüíî àíèçîòðîïíûì ðàññåÿíèåì è âûÿâèëè ðîëü ïîãëîùåíèÿ â ñðå73äå.
Îíè óêàçàëè äâà îñíîâíûõ ðåæèìà, ñîîòâåòñòâóþùèõ ñëó÷àÿì ñëàáîãî èñèëüíîãî ïîãëîùåíèÿ.  ñëó÷àå ñëàáîãî ïîãëîùåíèÿ(la ≫ ltr ), ãäå la = ((1 − Λ)ε)−1 äëèíà ïîãëîùåíèÿ è ltr òðàíñïîðòíàÿäëèíà, ïîãëîùåíèå èçëó÷åíèÿ â ñðåäå ïðèâîäèò ê îñëàáëåíèþ èíòåíñèâíîñòèïðè óãëàõθ < λ/√la ltr .(2.112)ò.å. ê ñãëàæèâàíèþ âåðøèíû ïèêà. Àâòîðû [128] ðàññìîòðåëè òàêæå ñëó÷àéñèëüíîãî ïîãëîùåíèÿ la < ltr .
 ñìûñëå îáùåïðèíÿòîãî îïðåäåëåíèÿ òðàíñïîðòíîé äëèíû ltr = 1/(nσtr ) [105], ãäå n îáúåìíàÿ êîíöåíòðàöèÿ ðàññåèâàòåëåé âñðåäå èσtr = σs (1 − g) + σa(2.113) òðàíñïîðòíîå ñå÷åíèå ðàññåÿíèÿ, σs and σa ñîîòâåòñòâåííî ñå÷åíèÿ ðàññåÿíèÿè ïîãëîùåíèÿ, g ñðåäíèé êîñèíóñ ðàññåÿíèÿ, óêàçàííîå íåðàâåíñòâî la < ltrèìåòü ìåñòà íå ìîæåò. Ïîñêîëüêó â ðàáîòå [128] îòñóòñòâóåò ïðèíÿòîå àâòîðàìèîïðåäåëåíèå òðàíñïîðòíîé äëèíû, â íàñòîÿùåì èññëåäîâàíèè ïðè ñðàâíåíèèðåçóëüòàòîâ èñïîëüçóåòñÿ çíà÷åíèå ltr = l/(1 − g) äëÿ êîíñåðâàòèâíîé ñðåäû,êàê ðàçóìíîå ïðèáëèæåíèå.740.0010.010.1IcklΘ0.90.8IVIIIIID0.7IÐèñ. 2.18: Êîãåðåíòíîå óñèëåíèå îáðàòíîãî ðàññåÿíèÿ â ñëàáî ïîãëîùàþùåéñðåäå: ÷èñëåííûé ðàñ÷åò.
τ0 = 200, g = 0.9, èíäèêàòðèñà ðàññåÿíèÿ ÕåíüèÃðèíñòåéíà [176]. I Λ = 0.99, II Λ = 0.96, III Λ = 0.93, IV Λ = 0.9. D Λ = 1 (äèôôóçèîííîå ïðèáëèæåíèå [10]).Íà ðèñ. 2.18 ïîêàçàíà öåíòðàëüíàÿ ÷àñòü ïèêà êîãåðåíòíîãî ðàññåÿíèÿ äëÿðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé àëüáåäî îäíîêðàòíîãî ðàññåÿíèÿ Λ = 0.9 . . . 0.99 . Õàðàê-√(1 − g)(1 − Λ) äëÿ êàæäîé êðèâîé îáîçíà÷åíâåðòèêàëüíîé ëèíèåé ñåòêè.
Öåíòðàëüíàÿ (ñãëàæåííàÿ) è ïåðèôåðèéíàÿ ÷àñòèêàæäîãî ïèêà ïîêàçàíû ñïëîøíîé è ïóíêòèðíîé êðèâûìè, ñîîòâåòñòâåííî. Çíà÷åíèÿ àëüáåäî Λ óêàçàíû öèôðàìè ïðè êàæäîé êðèâîé.Íà ðèñ. 2.19 ïîêàçàíû êðèâûå îáðàòíîãî ðàññåÿíèÿ â ðåæèìå ñèëüíîãî ïîãëîùåíèÿ (ltr ≥ la ) äëÿ ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé àëüáåäî Λ.  ýòîì ðåæèìå íàïåðèôåðèè ïèêà îáðàòíîãî ðàññåÿíèÿ ïðåîáëàäàåò âêëàä îäíîêðàòíî îáðàòíîðàññåÿííîãî èçëó÷åíèÿ. Ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå äëÿ êîãåðåíòíîé ÷àñòè îáðàòíîðàññåÿííîãî èçëó÷åíèÿ â êðûëüÿõ ïèêà ïîëó÷åíî â ðàáîòå [128] äëÿ èíäèêàòðèñû ðàññåÿíèÿ Õýíüè-Ãðèíñòåéíà [176]òåðíûé óãëîâîé ìàñøòàá klθ =∫τ0 lJc (θ) ∝0[()]1 − exp(−(1 − g)kθz)dz exp(−2z/l) × exp 2−1 ,(1 − g)kθl75(2.114)Ic1(IV)IV1(III)III1(II)II1(I)I0.010.1klΘ10.90.80.70.6Ðèñ.
2.19: Êîãåðåíòíîå óñèëåíèå îáðàòíîãî ðàññåÿíèÿ â ñèëüíî ïîãëîùàþùåéñðåäå: ÷èñëåííûé ðàñ÷åò. τ0 = 200, g = 0.9, èíäèêàòðèñà ðàññåÿíèÿ ÕåíüèÃðèíñòåéíà [176]. I Λ = 0.9, II Λ = 0.85, III Λ = 0.8, IV Λ = 0.75.Ïóíêòèðíûå ëèíèè àñèìïòîòè÷åñêîå ðåøåíèå [128], øòðèõîâûå ëèíèè ÷èñëåííîå ðåøåíèå â îáëàñòè ñïðàâåäëèâîñòè àñèìïòîòèêè. Ãîðèçîíòàëüíûå ëèíèè ïóíêòèðíîé ñåòêè óðîâíè åäèíè÷íîé íîðìèðîâàííîé èíòåíñèâíîñòè äëÿêàæäîé êðèâîé, âåðòèêàëüíûå ëèíèè ïóíêòèðíîé ñåòêè ãðàíèöû ïåðèôåðèéíûõ îáëàñòåé ïèêà êîãåðåíòíîãî îáðàòíîãî ðàññåÿíèÿ (îáëàñòåé ñïðàâåäëèâîñòèàñèìïòîòèêè).àñèìïòîòè÷åñêè ñïðàâåäëèâîå ïðè θ > (λ/ltr )(ltr /la )2 . Ýòî ðåøåíèå ïîêàçàíîäëÿ ñðàâíåíèÿ æèðíûìè ïóíêòèðíûìè êðèâûìè â ïðàâîé ÷àñòè ðèñóíêà äëÿêàæäîãî çíà÷åíèÿ Λ.
×èñëåííûå ðåøåíèÿ èçîáðàæåíû ñïëîøíûìè êðèâûìèâ öåíòðàëüíîé ÷àñòè ïèêà è ïóíêòèðíûìè êðèâûìè â îáëàñòè àñèìïòîòè÷åñêîé ñïðàâåäëèâîñòè ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ (2.114). Ñîîòâåòñòâóþùèå óãëîâûå ìàñøòàáû klθ = (1 − Λ)2 /(1 − g) è åäèíè÷íûå óðîâíè èíòåíñèâíîñòè äëÿêàæäîãî ðåøåíèÿ ïîêàçàíû ëèíèÿìè ñåòêè.
Çíà÷åíèÿ Λ óêàçàíû öèôðàìè ïðèêàæäîé êðèâîé.2.3.4Òåîðèÿ ñëàáîé ëîêàëèçàöèè â ñðåäàõ ñ ðåôðàêöèåéÕîðîøî èçâåñòíî [111], ÷òî ñëàáàÿ ëîêàëèçàöèÿ èçëó÷åíèÿ â ðàññåèâàþùåé ñðåäå îáóñëîâëåíà òàê íàçûâàåìûìè öèêëè÷åñêèìè (ìàêñèìàëüíî ñêðåùåííûìè)76äèàãðàììàìè ðàññåÿíèÿ. Âñëåäñòâèå èçâåñòíûõ ñîîòíîøåíèé ìåæäó öèêëè÷åñêèìè è ëåñòíè÷íûìè äèàãðàììàìè ðàññåÿíèÿ â ñèëó ïðèíöèïà âçàèìíîñòè[179, 180], â îáùåïðèíÿòîì ïðèáëèæåíèè çàäà÷à î êîãåðåíòíîì óñèëåíèè îáðàòíîãî ðàññåÿíèÿ ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ óðàâíåíèÿ ïåðåíîñà èçëó÷åíèÿ ñ òî÷å÷íûììîíîíàïðàâëåííûì (ÒÌ) èñòî÷íèêîì [78]∫zL0 (r, Ω) = δ(x)δ(y)δ(Ω) exp(−ε dz) .(2.115)0Äàííîå ïðèáëèæåíèå ñïðàâåäëèâî ïðè l >> λ.
Ñîãëàñíî óêàçàííûì ðàáîòàì,èíòåíñèâíîñòü êîãåðåíòíîé êîìïîíåíòû ðàññåÿííîãî èçëó÷åíèÿ ïðîïîðöèîíàëüíà Ôóðüå-êîìïîíåíòå ñîîòâåòñòâóþùåãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ ïåðåíîñà èçëó÷åíèÿ ñ Ôóðüå-ïàðàìåòðîì ky = kθ, ãäå θ ôàçîâûé óãîë (óãîë ìåæäó íàïðàâëåíèåì ðàññåÿíèÿ è îáðàòíûì íàïðàâëåíèåì ê íàïðàâëåíèþ ïàäåíèÿ èçëó÷åíèÿ).Ñêàëÿðíîå óðàâíåíèå ïåðåíîñà èçëó÷åíèÿ äëÿ ñðåäû ñ ðåôðàêöèåé çàïèñûâàåòñÿ â âèäå [181]dn2ds(Ln2)+ εL = S + F ,(2.116)ãäå S è F èíòåãðàë ðàññåÿíèÿ è ôóíêöèÿ èñòî÷íèêîâ, ñîîòâåòñòâåííî, n êîýôôèöèåíò ïðåëîìëåíèÿ ñðåäû.
Íàñêîëüêî íàì èçâåñòíî, ýòî óðàâíåíèå âïåðâûå âñòðå÷àåòñÿ â ðàáîòå Âóëè (ñì. ññûëêó â [182]). Ïîñëå ýòîãî, äëÿ îïèñàíèÿïåðåíîñà èçëó÷åíèÿ â ñðåäå ñ ðåôðàêöèåé áûëî ïðåäëîæåíî íåñêîëüêî äðóãèõóðàâíåíèé ïîäîáíîãî òèïà [183, 184, 185]. Òåì íå ìåíåå, â áîëüøèíñòâå èññëåäîâàíèé ïî ðåôðàãèðóþùèì ñðåäàì èñïîëüçóåòñÿ óðàâíåíèå (2.116).
 ðàáîòå [146]ýòî óðàâíåíèå ïðèâåäåíî ê ñïåöèàëüíîìó âèäó äëÿ ñëó÷àÿ ïëîñêîé ñëîèñòîéñðåäû ñ îäíîìåðíîé ñòðàòèôèêàöèåé êîýôôèöèåíòà ïðåëîìëåíèÿ â íàïðàâëåíèè, íîðìàëüíîì ê ãðàíèöå.  ðàáîòå [186] ïîëó÷åíà çàïèñü ýòîãî óðàâíåíèÿ âöèëèíäðè÷åñêîé è ñôåðè÷åñêîé ñèñòåìàõ êîîðäèíàò.Âîñïîëüçóåìñÿ óðàâíåíèåì ïåðåíîñà èçëó÷åíèÿ â ñðåäå ñ ðåôðàêöèåé (2.70)â ôîðìå çàïèñè äëÿ ïëîñêîñëîèñòîé ñðåäû ñ ïðîôèëåì ðåôðàêöèè óêàçàííîãîâèäà, ïîëó÷åííîé â ðàáîòå [146]:ΛεdL(Ω · ∇)L + γ(1 − µ2z )= −εL + µz 2γL +dµz4π77IL(r, Ω′ )x(Ω, Ω′ )dΩ′ + f (r, Ω) ,(2.117)ãäå Ω = (µx , µy , µz ) åäèíè÷íûé âåêòîð íàïðàâëåíèÿ, r = (x, y, z) ðàäèóñâåêòîð, x(Ω, Ω′ ) èíäèêàòðèñà ðàññåÿíèÿ, L(r, Ω) óãëîâîå ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè èçëó÷åíèÿ, Λ àëüáåäî îäíîêðàòíîãî ðàññåÿíèÿ, ε îáúåìíûéêîýôôèöèåíò îñëàáëåíèÿ, γ = d ln n/dz ëîãàðèôìè÷åñêàÿ ïðîèçâîäíàÿ êîýôôèöèåíòà ïðåëîìëåíèÿ ñðåäû. Òàêèì îáðàçîì, çàïèøåì óðàâíåíèå äëÿ ñîîòâåòñòâóþùåé Ôóðüå-êîìïîíåíòû ðåøåíèÿ L̃(z, Ω) [78]dL̃dL̃Λεµz −iky µy L̃+γ(1−µ2z )= −εL̃+µz 2γ L̃+dzdµz4πãäå ôóíêöèÿ èñòî÷íèêîâIL̃(z, Ω′ )x(Ω, Ω′ )dΩ′ +f˜(z, Ω) ,(2.118)( ∫)Λf˜(z, Ω) =L0 (r, Ω′ )x(Ω, Ω′ )dΩ′ dx dy =x(Ω) exp − εdz .4π(2.119)Óðàâíåíèå äëÿ èíòåíñèâíîñòè îäíîêðàòíî ðàññåÿííîãî èçëó÷åíèÿ, âõîäÿùåãîâ âûðàæåíèÿ äëÿ êîãåðåíòíîé êîìïîíåíòû [179], ìîæíî ïîëó÷èòü èç (2.70),(2.118), ïîëàãàÿ Λ = 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
