Диссертация (1097736), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Ñïëîøíûå êðèâûå ðåôðàêöèÿ îòñóòñòâóåò (γ = 0), ïóíêòèðíûå èøòðèõîâûå êðèâûå γ = +0.25 è γ = −0.25, ñîîòâåòñòâåííî. Ïðàâàÿ ÷àñòüðèñóíêà (klθ > 0) íåíîðìèðîâàííàÿ ïîëíàÿ èíòåíñèâíîñòü (êîãåðåíòíàÿ èíåêîãåðåíòíàÿ ÷àñòè â ñóììå). Ëåâàÿ ÷àñòü ðèñóíêà (klθ < 0) íîðìèðîâàííàÿèíòåíñèâíîñòü êîãåðåíòíîé êîìïîíåíòû ðàññåÿííîãî èçëó÷åíèÿ.αc10.80.60.40.2911234klθ 5Ðèñ.
2.26: Íîðìèðîâàííîå àëüáåäî êîãåðåíòíîãî îáðàòíîãî ðàññåÿíèÿ â êîíñåð-1αc0.80.60.40.21324klθ5Ðèñ. 2.27: Íîðìèðîâàííîå àëüáåäî êîãåðåíòíîãî îáðàòíîãî ðàññåÿíèÿ â êîíñåðâàòèâíîé ðåôðàãèðóþùåé ïëîñêîñëîèñòîé ñðåäå. ×èñëåííîå ðåøåíèå ìåòîäîìÌîíòå-Êàðëî (109 ôîòîíîâ). Ôàçîâàÿ ôóíêöèÿ Õåíüè-Ãðèíñòåéíà, ïîëíàÿ îïòè÷åñêàÿ òîëùèíà ñëîÿ ε(z2 − z1 ) = 40, Λ = 1, g = 0.5. Ñïëîøíàÿ êðèâàÿ (γ = 0), ïóíêòèðíàÿ è øòðèõîâàÿ êðèâûå γ = +0.25 and γ = −0.25, ñîîòâåòñòâåííî.2.3.8Àñèìïòîòè÷åñêèå ðåøåíèÿ äëÿ ñèëüíîàíèçîòðîïíîãî ðàññåÿíèÿ â ìàëîóãëîâîì ïðèáëèæåíèè.Äëÿ ðåôðàãèðóþùèõ ñðåä ñ ñèëüíî âûòÿíóòûìè èíäèêàòðèñàìè ðàññåÿíèÿ ïîëíîñòüþ ïðèìåíèìî óñîâåðøåíñòâîâàííîå ìàëîóãëîâîå ïðèáëèæåíèå ñ ó÷åòîìäèñïåðñèè äëèí ïóòåé ðàñïðîñòðàíåíèÿ ðàññåÿííîãî èçëó÷åíèÿ [53, 54, 78]. Ïîäõîä ê ðåãóëÿðèçàöèè óðàâíåíèÿ ïåðåíîñà èçëó÷åíèÿ íà îñíîâå óêàçàííîãî ïðèáëèæåííîãî ìåòîäà ðåøåíèÿ ìîæåò áûòü â ïîëíîé ìåðå ïðèìåíåí è ê ñëó÷àþñðåäû ñ ðåôðàêöèåé.
Ðàçäåëÿÿ êîìïîíåíòû èçëó÷åíèÿ, ðàññåÿííîãî âïåðåä è íàçàä, ñ ïîìîùüþ ðàçáèåíèÿ åäèíèöû íà ñôåðå íàïðàâëåíèé [54], ìîæåò áûòü çàïèñàíà è ðåøåíà ñèñòåìà ñâÿçàííûõ óðàâíåíèé ïåðåíîñà èçëó÷åíèÿ äëÿ êàæäîéèç âûäåëåííûõ êîìïîíåíò. Îñòàâøàÿñÿ ÷àñòü èçëó÷åíèÿ ïîä÷èíÿåòñÿ óðàâíåíèþ ïåðåíîñà èçëó÷åíèÿ ñ ãëàäêîé ôóíêöèåé èñòî÷íèêîâ â ïðàâîé ÷àñòè. Ñîîò92αc10.80.60.40.21234klθ5Ðèñ.
2.28: Íîðìèðîâàííîå àëüáåäî êîãåðåíòíîãî îáðàòíîãî ðàññåÿíèÿ â êîíñåðâàòèâíîé ðåôðàãèðóþùåé ïëîñêîñëîèñòîé ñðåäå. Äèôôóçèîííîå ïðèáëèæåíèå. Ñïëîøíàÿ êðèâàÿ ðåôðàêöèÿ îòñóòñòâóåò (γ = 0), øòðèõîâàÿ êðèâàÿ γ = ±0.25. Îïòè÷åñêàÿ òîëùèíà ñëîÿ ñðåäû z2 − z1 = 20l.âåòñòâóþùàÿ ñèñòåìà ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé äèñêðåòèçîâàííîéçàäà÷è õîðîøî îáóñëîâëåíà è ïðèãîäíà äëÿ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ. Êðîìå òîãî,â ìàëîóãëîâîì ïðèáëèæåíèè ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû ïðèáëèæåííûå àíàëèòè÷åñêèå ðåøåíèÿ ÓÏÈ äëÿ ðåôðàãèðóþùåé ñðåäû. Ñëåäóÿ ðàáîòàì [128, 129], íàîñíîâå ýòèõ ðåøåíèé ìîæíî ïîñòðîèòü àñèìïòîòè÷åñêèå îöåíêè êîãåðåíòíîãîîáðàòíîãî ðàññåÿíèÿ.Ðàññìîòðèì èçëó÷åíèå ïëîñêîãî ìîíîíàïðàâëåííîãî (ÏÌ) èñòî÷íèêà, íîðìàëüíî ïàäàþùåãî íà ãðàíèöó ïëîñêîñëîèñòîé ñðåäû.
Áóäåì èñêàòü ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå â ôîðìå ðàçëîæåíèÿ â ðÿä ïî ñôåðè÷åñêèì ãàðìîíèêàì (ÑÃ)L(Ω, z) =∞∑Cj (z)Yj0 (Ω) .(2.150)j=0Èíäèêàòðèñà ðàññåÿíèÿ òàêæå ðàçëàãàåòñÿ â ðÿä ïî Ñà (2.8)′x(Ω, Ω ) = 4πj∞ ∑∑n=0 m=−j93xj Yjm (Ω)Yjm∗ (Ω′ ) .(2.151)Ic10.80.60.40.21234klθ 5Ðèñ. 2.29: Íîðìèðîâàííîå àëüáåäî êîãåðåíòíîãî îáðàòíîãî ðàññåÿíèÿ â êîíñåðâàòèâíîé ðåôðàãèðóþùåé ïëîñêîñëîèñòîé ñðåäå. Äèôôóçèîííîå ïðèáëèæåíèå(2.148). Ñïëîøíàÿ êðèâàÿ ðåôðàêöèÿ îòñóòñòâóåò (γ = 0), ïóíêòèðíàÿ èøòðèõîâàÿ êðèâûå γ = +0.25 and γ = −0.25, ñîîòâåòñòâåííî.
Îïòè÷åñêàÿòîëùèíà ñëîÿ ñðåäû z2 − z1 = 20l.Ñ ïîìîùüþ èçâåñòíûõ ðåêóððåíòíûõ ñîîòíîøåíèé äëÿ ïðèñîåäèíåííûõ ôóíêöèé Ëåæàíäðà [150] ìîæíî âûâåñòè ñîîòíîøåíèå äëÿ ñôåðè÷åñêèõ ãàðìîíèêYjm (·) (2.80)√(1−µ)2(1 + j − m)(1 + j + m) mYj+1 (µ, ϕ)(2j + 1)(2j + 3)(2.152) ìàëîóãëîâîì ïðèáëèæåíèè ìîæíî ïîëàãàòü j >> 1, µz = 1. Ðàçëàãàÿ êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ (2.80) â ðÿäû Òåéëîðà ïî j âáëèçè j = ∞, äëÿ àçèìóòàëüíî íåçàâèñèìûõ ñôåðè÷åñêèõ ãàðìîíèê (m = 0) ïîëó÷èì ïðèáëèæåííîåñîîòíîøåíèå)(j 11 02 d00(1 − µ ) Yj (µ, ϕ) ≈+Yj−1− jYj+1(2.153)dµ2 22d mY (µ, ϕ) = (1+j)dµ j(j − m)(j + m) mY (µ, ϕ)−j(2j − 1)(2j + 1) j−1√94Ïðèáëèæåííî ïåðåõîäÿ ê íåïðåðûâíûì çàâèñèìîñòÿì êîýôôèöèåíòîâ ðàçëîæåíèé îò èíäåêñîâ [34],∂Cj,(2.154)∂jïîëó÷àåì èç (2.70), (2.150), (2.8) è (2.80) äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ìàëîóãëîâîãî ïðèáëèæåíèÿ äëÿ êîýôôèöèåíòîâ ñôåðè÷åñêèõ ãàðìîíèê áåç ó÷åòàäèñïåðñèè()(γ)d1 dCj (z) + γ j +Cj (z) =− ε + εΛχ(j) Cj (z) ,(2.155)dz2 dj2Cj±1 ≈ Cj ±ãäå∫∞χ(j) =2πΘdΘJ0 (jΘ)1 dσ(Θ) ≈ xjσ dΩ(2.156)0ïðåîáðàçîâàíèå Ãàíêåëÿ èíäèêàòðèñû ðàññåÿíèÿ, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ ïîäõîäÿùåéíåïðåðûâíîé àïïðîêñèìàöèåé êîýôôèöèåíòîâ ðàçëîæåíèÿ èíäèêàòðèñû ðàññåÿíèÿ xj [128], σ(Ω) ñå÷åíèå ðàññåÿíèÿ.
Ïåðåõîäÿ ê õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ïåðåìåííîé ξ = γz − ln(2jγ + γ), íåòðóäíî ïîëó÷èòü îáûêíîâåííîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ êîýôôèöèåíòîâ ãàðìîíèê C(z, ξ)(γ)d′C(z, ξ) =− ε + εΛχ(j(z , ξ)) C(z, ξ) ,dz2ðåøåíèåì êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿC(z, ξ) = C(0, ξ) exp z∫ ( γ2)− ε(z ′ )(1 − Λχ(j(z ′ , ξ))) dz ′0(2.157).(2.158)Ýòî ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå (2.158) îáîáùàåò èçâåñòíûå ðåçóëüòàòû [19, 34] íàñëó÷àé ïëîñêîñëîèñòîé ðåôðàãèðóþùåé ðàññåèâàþùåé ñðåäû.Äëÿ íîðìàëüíîãî ïàäåíèÿ èçëó÷åíèÿ ïëîñêîãî ìîíîíàïðàâëåííîãî (ÏÌ) èñòî÷íèêà íà ãðàíèöó ñðåäûL(Ω, 0) = δ(Ω) =∞∑j=0√2j + 1 0Yj (Ω) .4π(2.159)ãðàíè÷íîå óñëîâèå çàïèñûâàåòñÿ â âèäå√C(0, ξ) =2j + 1 −γze4π95.(2.160)Ïîëàãàÿ Λ = 0 â (2.158), ïîëó÷àåì ðåøåíèå√C(z, ξ) =2j + 1exp −4π∫zεdz ,(2.161)0ñîîòâåòñòâóþùåå íåðàññåÿííîé êîìïîíåíòå èçëó÷åíèÿ èñòî÷íèêàL0 (Ω, z) = δ(Ω) exp −∫zεdz .(2.162)0Äëÿ èíäèêàòðèñû ðàññåÿíèÿ Õåíüè-Ãðèíñòåéíà [176] χ(j) ≈ g j , òàê ÷òî ðåøåíèå (2.158) äëÿ ε = const âûðàæàåòñÿ ÷åðåç èçâåñòíûå òàáóëèðîâàííûå ôóíêöèè√Cj (z) =(()())ΛεΛε2j + 12j + 12j + 1 −γzexp −εz + √ Eiln g − √ Eie ln g,4πγ g2γ g2(2.163)ãäå∫∞Ei(z) = −−ze− tdtt(2.164) èíòåãðàëüíàÿ ýêñïîíåíöèàëüíàÿ ôóíêöèÿ [150].Ïîëíîå ðåøåíèå ÓÏÈ (2.116) ìîæåò áûòü ïîëó÷åíî â âèäå ñóììû (2.150),(2.158) è íåèçâåñòíîé (ãëàäêîé) ÷àñòè ðåøåíèÿ LD [34, 54].
Ïîäñòàâëÿÿ ñóììóL = La + LD â (2.70), äëÿ àíèçîòðîïíîé ÷àñòè ðåøåíèÿ La â âèäå (2.150),(2.158) ïîëó÷àåòñÿ âåñüìà ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ èñòî÷íèêîâ (íåêîòîðûå ðåçóëüòàòûâû÷èñëåíèé ïîêàçàíû íà ðèñ. 2.3.8).  öåëÿõ ñðàâíåíèÿ, ôóíêöèÿ èñòî÷íèêîâäëÿ àíèçîòðîïíîé ÷àñòè â âèäå íåðàññåÿííîé êîìïîíåíòû èçëó÷åíèÿ èñòî÷íèêàLa = L0 (2.162 ) ïðåäñòàâëåíà íà òîì æå ðèñóíêå.96Θ-300.0156.0.0104.-6030602.
0.005120-120-150150τ=1 g=0.9 Λ=1Ðèñ. 2.30: Ôóíêöèè èñòî÷íèêîâ ÓÏÈ. Èíäèêàòðèñà Õåíüè-Ãðèíñòåéíà, g = 0.9,τ = 1, Λ = 1, ε = 1. Ïðàâàÿ ÷àñòü äèàãðàììû: âûäåëåííàÿ íåðåãóëÿðíàÿ êîìïîíåíòà â ôîðìå ìàëîóãëîâîãî ïðèáëèæåíèÿ (2.150), (2.158). Ñïëîøíûå êðèâûå ðåôðàêöèÿ îòñóòñòâóåò (γ = 0), ïóíêòèðíûå è øòðèõîâûå êðèâûå γ = +0.2è γ = −0.2, ñîîòâåòñòâåííî.
Ëåâàÿ ÷àñòü ðèñóíêà ôóíêöèÿ èñòî÷íèêîâ, ïîðîæäàåìàÿ ïðîñòåéøåé ôîðìîé íåðåãóëÿðíîé ÷àñòè ðåøåíèÿ (δ − ôóíêöèÿ),ðåôðàêöèÿ îòñóòñòâóåò.Ïîäîáíûì îáðàçîì, ìåòîä õàðàêòåðèñòèê ìîæåò áûòü ïðèìåíåí ê âû÷èñëåíèþ ðåøåíèÿ äëÿ òî÷å÷íîãî èçîòðîïíîãî (ÒÈ) è òî÷å÷íîãî ìîíîíàïðàâëåííîãî(ÒÌ) èñòî÷íèêîâ [34] â ñôåðè÷åñêîé èëè äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò. Èç ýòèõ97ðåøåíèé ìîæíî ïîëó÷èòü àñèìïòîòèêó äëÿ êîãåðåíòíî ðàññåÿííîé êîìïîíåíòûèçëó÷åíèÿ [128].Ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå äëÿ ïåðèôåðèéíûõ îáëàñòåé ïèêà êîãåðåíòíîãî îáðàòíîãî ðàññåÿíèÿ â íåïðåëîìëÿþùåé ñðåäå, ïîëó÷åííîå â ðàáîòå [128], â äåéñòâèòåëüíîñòè ÿâëÿåòñÿ ñâåðòêîé ìàëîóãëîâûõ ïðèáëèæåííûõ ðåøåíèé äëÿ ïðÿìîãî ïîòîêà èçëó÷åíèÿ ÒÌ èñòî÷íèêà è îáðàòíîãî ïîòîêà èçëó÷åíèÿ âòîðè÷íûõ ÒÈ èñòî÷íèêîâ îäíîêðàòíî ðàññåÿííîãî èçëó÷åíèÿ, ò.å.
â òàê íàçûâàåìîìïðèáëèæåíèè êâàçèîäíîêðàòíîãî îáðàòíîãî ðàññåÿíèÿ [111]. ×òîáû ñêîíñòðóèðîâàòü ðåøåíèå òàêîãî òèïà äëÿ ïðåëîìëÿþùåé ñðåäû, íåîáõîäèìî ïîëó÷èòüïðèáëèæåííûå ìàëîóãëîâûå ðåøåíèÿ äëÿ ÒÌ è ÒÈ èñòî÷íèêîâ â ýòîé ñðåäå èñâåðíóòü èõ äðóã ñ äðóãîì (ðèñ. 2.3.8).Lbyxqграница средыzТМТИσbL0Ðèñ. 2.31: Ê ïîÿñíåíèþ âûâîäà àñèìïòîòè÷åñêîãî ðåøåíèÿ (2.176).Ïîñêîëüêó ìû èíòåðåñóåìñÿ â îñíîâíîì èçëó÷åíèåì, ðàñïðîñòðàíÿþùèìñÿïî íîðìàëè ê ãðàíèöàì ñðåäû, â çàäà÷å äëÿ ÒÈ èñòî÷íèêà ïðèáëèæåííî áóäåì ñ÷èòàòü êîýôôèöèåíò ïðåëîìëåíèÿ ñôåðè÷åñêè ñèììåòðè÷íîé ôóíêöèåé98n(r) ≈ n(z). Çàïèøåì ÓÏÈ â ñôåðè÷åñêè ñèììåòðè÷íîé ïðåëîìëÿþùåé ñðåäå[186] isI∂L 1 − µ2 ∂LΛε2 ∂Lµ ++γ(1−µ ) +εL−2γµL =L(r, Ω′ )x(Ω, Ω′ )dΩ′ , (2.165)∂rr ∂µ∂µ4πãäå γ = d ln n(r)/dr.
Ñëåäóÿ ðàáîòå [34], áóäåì èñêàòü ðåøåíèå â âèäå ðàçëîæåíèÿ â ðÿä ïî ïîëèíîìàì ËåæàíäðàL(µ, r) =∞∑2j + 1j=04πr2Cj (r)Pj (µ) .(2.166)Èñïîëüçóÿ íåïðåðûâíóþ àïïðîêñèìàöèþ èíäåêñà j [34], ïîëó÷èì ïðèáëèæåííîåâûðàæåíèå äëÿ ïðîèçâîäíîé ∂L/∂µ. Ñ ïîìîùüþ èçâåñòíûõ ôóíêöèîíàëüíûõñîîòíîøåíèé äëÿ ïîëèíîìîâ Ëåæàíäðà(µ2 − 1)dPj (µ) j(j + 1)=(Pj+1 (µ) − Pj−1 (µ))dµ2j + 1(2.167)ïîëó÷èì ñëåäóþùåå ïðèáëèæåííîå âûðàæåíèå:(µ2 − 1)∂L ∑ 2j + 1dPj (µ) ∑ j(j + 1)2=C(µ−1)=Cj (Pj+1 (µ) − Pj−1 (µ))j22∂µ4πrdµ4πrjj(2.168)∑∑(())∂Cj112(2j(j+1)+4jCj=(j−1)jC−j+3j+2CP(µ)≈−j−1j+1j4πr2 j4πr2 j∂j ðàáîòå [34] ó÷òåíà ëèøü ãëàâíàÿ àñèìïòîòèêà (2j(j + 1)∂Cj /∂j â (2.168) äëÿó÷åòà ñôåðè÷åñêîé ðàñõîäèìîñòè â (2.165) è ïîëó÷åíî ïðèáëèæåííîå ðåøåíèåçàäà÷è äëÿ íåïðåëîìëÿþùåé ñðåäû.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
