Диссертация (1097736), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Áóäåì èñêàòü àíèçîòðîïíóþ ÷àñòü ïîëÿ â âèäåL = L0 + L1 ,(2.243)ãäå L0 ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé1L0 (x, y, ϕ) = δ(ϕ)δ(y) exp(−x) =2π∫∞exp(iky y)Cn(0) (x, ky ) exp(inϕ)dky ,−∞(2.244)= (2π)−1 exp(−x). Ðàñïðåäåëåíèå ÿðêîñòè L1 ïðåäñòàâëÿåò ñîáîéèçëó÷åíèå, ðàññåÿííîå íà ìàëûå óãëû. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ∂L0 /∂x = −L0 , ïîäñòàâèìñóììó îáîèõ ñëàãàåìûõ (2.243) â óðàâíåíèå ïåðåíîñà (2.203) è ïîëó÷èìIΛ(n · ∇)L1 = −L1 +(L0 (x, y, ϕ) + L1 (x, y, ϕ))x(ϕ, ϕ′ )dϕ′ .(2.245)2πãäå(0)Cn (x, ky )Ñëåäóÿ ðàáîòå [51], ðàçäåëèì óðàâíåíèå (2.245) íà µx è çàìåíèì âåëè÷èíó µ−1xå¼ ðàçëîæåíèåì â ðÿä Òåéëîðà âáëèçè µx = 1:∂∂− ΛL1 + µ−L1 = −µ−x µyx L1 + µx∂x∂y2πI(L0 (x, y, ϕ) + L1 (x, y, ϕ))x(ϕ, ϕ′ )dϕ′ ,(2.246)−1ãäå µ−x ≈ µx = 1 − (µx − 1) + . .
.. Ïîäñòàâèì èíòåãðàë Ôóðüå (2.244) äëÿ L0 èàíàëîãè÷íîå ïðåäñòàâëåíèå äëÿ L1 â óðàâíåíèå (2.246 ). Óìíîæèì ýòî óðàâíåíèåíà ñîïðÿæåííóþ áàçèñíóþ ôóíêöèþ exp(−inϕ) è ïðîèíòåãðèðóåì ïî÷ëåííî ïîïî âñåé îêðóæíîñòè 0 < ϕ < 2π . Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷èì ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå(1)äëÿ íåèçâåñòíûõ êîýôôèöèåíòîâ ãàðìîíèê Cn (x, ky ) of L1∂ ⃗ (1)⃗ (1) = −µ̂− C⃗ (1) + µ̂− Λx̂C⃗ (1) + µ̂− Λx̂C⃗ (0) ,C + µ̂−x µ̂y iky Cxxx∂x(2.247)⃗ (0) (x, ky ) and C⃗ (1) (x, ky ) âåêòîð-ñòîëáöû êîýôôèöèåíòîâ ãàðìîíèê äëÿãäå CL0 è L1 , ñîîòâåòñòâåííî, x̂ äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà ñ êîýôôèöèåíòàìè ðàçëîæåíèÿ èíäèêàòðèñû (2.207), µ̂x and µ̂y ìàòðèöû îïåðàòîðîâ óìíîæåíèÿ íàcos ϕ and sin ϕ (2.222), (2.223) ñ êîýôôèöèåíòàìè µ̂x k,j = (δk,j+1 + δk,j−1 )/2 èµ̂y k,j = i(δk,j−1 − δk,j+1 )/2, ñîîòâåòñòâåííî, µ̂−x ìàòðèöà îïåðàòîðà òåéëîðîâñêîé àïïðîêñèìàöèè µ−1x (2.5).123Ìàòðèöà µ̂−x òåéëîðîâñêîé àïïðîêñèìàöèè ïåðâîãî ïîðÿäêà (äî ëèíåéíîã÷ëåíà âêëþ÷èòåëüíî) âûðàæàåòñÿ â âèäå µ̂−x = 2I − µ̂x , ãäå I åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà.
Êðîìå L0 , äðóãèå èñòî÷íèêè èçëó÷åíèÿ îòñóòñòâóþò, òàê ÷òî äëÿ îñòàâøåéñÿ ÷àñòè ïîëÿ èçëó÷åíèÿ ôîðìóëèðóåòñÿ êðàåâàÿ çàäà÷à ñ îäíîðîäíûìèãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè òèïà (2.14), (2.15). Ðåøåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåé îäíîðîäíîé ñèñòåìû óðàâíåíèé (2.247) ýêñïîíåíöèàëüíî óáûâàþò ñ ðîñòîì x. Ïðåíå-⃗ (1) = 0 ïðè x = 0. Äîïîëíÿÿ ñèñòåìóáðåãàÿ îáðàòíûì ðàññåÿíèåì, ïîòðåáóåì Cîáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (2.247) êðàåâûìè óñëîâèÿìè íàèñêîìûå êîýôôèöèåíòû ãàðìîíèê, ïîëó÷àåì çàäà÷ó Êîøè äëÿ ýòèõ êîýôôèöèåíòîâ, êîòîðóþ íåòðóäíî ðåøèòü êàêèì-ëèáî èç èçâåñòíûõ ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ.
Íàéäåííîå ðåøåíèå áóäåò âêëþ÷àòü â ñåáÿ ñèíãóëÿðíóþ ÷àñòü ïîëÿ â âèäåïðÿìîãî èçëó÷åíèÿ èñòî÷íèêà L0 è ðàññåÿííîå âïåðåä èçëó÷åíèå, îáëàäàþùååñèëüíîé àíèçîòðîïèåé. Ïðèìåíåíèå òåéëîðîâñêîé àïïðîêñèìàöèè µ̂−x äîñòàòî÷íî âûñîêîãî ïîðÿäêà ïîçâîëÿåò â ïåðåäíåé ïîëóñôåðå óãëîâ (µx > 0) ïîëó÷èòüõîðîøåå ñîâïàäåíèå ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ ñ òî÷íûì. Îäíàêî, ïðè ýòîì ïîëíîñòüþ èãíîðèðóåòñÿ ðàññåÿíèå â çàäíþþ ïîëóñôåðó µx < 0. çàäà÷àõ äëÿ ÏÌ èñòî÷íèêà [34] ïîëíîå ðåøåíèå èùóò â âèäå ñóììû L0 +L1è ðåãóëÿðíîé ÷àñòè LD .
Ïîäñòàâëÿÿ åãî â (2.203) è ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ, ïîëó÷àþò íåîäíîðîäíóþ êðàåâóþ çàäà÷ó äëÿ LD . Ïðè ýòîì äèôôóçíàÿ ÷àñòü èçëó÷åíèÿ LD îêàçûâàåòñÿ áëèçêà ê èçîòðîïíîé è ìîæåò áûòü ëåãêî âû÷èñëåíà.Îäíàêî, âñëåäñòâèå ãåîìåòðè÷åñêèõ ñâîéñòâ çàäà÷è ñ ÒÌ èñòî÷íèêîì îáðàòíîðàññåÿííîå èçëó÷åíèå òàêæå ñèëüíî àíèçîòðîïíî.  ðàáîòå [53] àíèçîòðîïíàÿ÷àñòü îáðàòíî ðàññåÿííîãî èçëó÷åíèÿ âûäåëåíà â îòäåëüíîå ñëàãàåìîå L2 , äëÿêîòîðîãî ñôîðìóëèðîâàíà îòäåëüíàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à Êîøè (2.246). Ïîäñòàâëÿÿñóììó L0 + L1 + L2 â óðàâíåíèå (2.203), ðàçäåëèì µx è àïïðîêñèìèðóåì µ−1xåå ðàçëîæåíèåì â ðÿä Òåéëîðà âáëèçè µx = −1. Äëÿ íåèçâåñòíûõ êîýôôèöèåíòîâ ðàçëîæåíèÿ L2 â èíòåãðàë Ôóðüå ïî y ïîëó÷èì ñèñòåìó îáûêíîâåííûõäèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â ìàòðè÷íîé çàïèñè∂ ⃗ (2) + ∂ ⃗ (1) +⃗ (1) +C⃗ (2) ) = −µ̂+ (C⃗ (1) +C⃗ (2) )+µ̂+ Λx̂(C⃗ (0) +C⃗ (1) +C⃗ (2) ) ,C +µ̂x µ̂x C +µ̂x µ̂y iky (Cxx∂x∂x(2.248)−1ãäå µ+x ≈ µx ≈ −1 − (µx + 1) + .
. ..Ðåøåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåé îäíîðîäíîé ñèñòåìû óðàâíåíèé ýêñïîíåíöèàëüíîóáûâàþò ñ óáûâàíèåì x. Ïîýòîìó êðàåâîå óñëîâèå íà íåèçâåñòíûå êîýôôèöèåí124⃗ (2) íåîáõîäèìî ïîñòàâèòü íà äàëüíåé îò èñòî÷íèêà ãðàíèöå ñëîÿ x = X . Ñòû Có÷åòîì îäíîðîäíîãî êðàåâîãî óñëîâèÿ íà âõîäÿùåå â ñðåäó èçëó÷åíèå åñòåñòâåííî áóäåò ïîëîæèòü L2 = −L1 ïðè x = X è µx < 0. C ôèçè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ,äëÿ êîððåêòíîãî ó÷åòà àíèçîòðîïèè äîñòàòî÷íî óäîâëåòâîðèòü êðàåâîìó óñëîâèþ L2 = −L1 ïðè óãëàõ, íå ñëèøêîì äàëåêèõ îò íîðìàëè. Ñôîðìóëèðóåìêðàåâîå óñëîâèå â âèäåL2 (X, ϕ) = −M (ϕ)L1 (X, ϕ) ,(2.249)ãäå M (ϕ) íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ óãëà ϕ, ðàâíàÿ åäèíèöå â íàïðàâëåíèè ñòðîãî íàçàä è ïëàâíî óáûâàþùàÿ ïî ìåðå îòêëîíåíèÿ îò óêàçàííîãî íàïðàâëåíèÿ.
 êà÷åñòâå òàêîãî ìíîæèòåëÿ óäîáíî âûáðàòü ôóíêöèþ M (ϕ) = exp (−a(1 + cos ϕ)),ãäå a íåêîòîðûé ÷èñëîâîé ïàðàìåòð, ðåãóëèðóþùèé ýôôåêòèâíóþ øèðèíóîêðåñòíîñòè, âûäåëÿåìîé ïðè ïîìîùè ýòîãî óãëîâîãî ìíîæèòåëÿ â äèàïàçîíåóãëîâ. Ïîñòðîèì ñîîòâåòñòâóþùóþ ìàòðèöó äëÿ óìíîæåíèÿ âåêòîð-ñòîëáöîâêîýôôèöèåíòîâ ãàðìîíèê. Ïóñòü L1 (X, ϕ) =∑(1)Cj (X) exp(ijϕ), L2 (X, ϕ) =∑ (2)∑Ck (X) exp(ikϕ), M (ϕ) =Mm exp(imϕ). Òîãäà ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî óìíîæåíèå ôóíêöèé â êðàåâîì óñëîâèè áóäåò ýêâèâàëåíòíî ñâåðòêå ñîîòâåòñòâóþùèõ ðÿäîâ êîýôôèöèåíòîâ ãàðìîíèê. Íåïîñðåäñòâåííîé ïðîâåðêîé ëåãêî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òîexp (−a(1 + cos ϕ)) = exp(−a)∞∑(−1)m Im (a) exp(imϕ) ,(2.250)m=−∞è ãðàíè÷íîå óñëîâèå (2.249) â ìàòðè÷íîé ôîðìå, òàêèì îáðàçîì, çàïèñûâàåòñÿêàê(2)Ck∑(1)= − exp(−a)(−1)j+k Ij+k (a)Cj ,(2.251)jãäå Im (·) ìîäèôèöèðîâàííàÿ ôóíêöèÿ Áåññåëÿ ïåðâîãî ðîäà [150].⃗ (2) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé çàäà÷ó ÊîøèÒàêèì îáðàçîì, êðàåâàÿ çàäà÷à äëÿ Cäëÿ íåîäíîðîäíîé ñèñòåìû îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, ïðè÷åì ðåøåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåé îäíîðîäíîé ñèñòåìû óáûâàþò ñ óáûâàíèåì Ðåøåíèå ýòîé ñèñòåìû íåòðóäíî íàéòè êàêèì-ëèáî ÷èñëåííûì ìåòîäîì.Ôàêòè÷åñêè ïîñòðîåííîå ñóììàðíîå ðåøåíèå L0 + L1 + L2 âû÷èñëåíî â ïðèáëèæåíèè îäíîêðàòíîãî îáðàòíîãî ðàññåÿíèÿ, ïðè÷åì äëÿ ó÷åòà ìíîãîêðàòíîãî125ðàññåÿíèÿ íà ìàëûå óãëû âî âñòðå÷íûõ ïîòîêàõ L1 è L2 ïðèìåíåíî óñîâåðøåíñòâîâàííîå ìàëîóãëîâîå ïðèáëèæåíèå ñ ó÷åòîì äèñïåðñèè [51].
Ðàñïðåäåëåíèåèíòåíñèâíîñòè â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå ñðåäû âû÷èñëÿåòñÿ ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå (2.216) ïî ïîïåðå÷íîé êîîðäèíàòå y .Ïîëíîå ðåøåíèå çàäà÷è áóäåì èñêàòü â âèäå ñóììû L0 + L1 + L2 + LD , ãäåLD íåèçâåñòíàÿ äèôôóçíàÿ ÷àñòü èçëó÷åíèÿ. Ïîäñòàâëÿÿ åå â óðàâíåíèå (2.203)è êðàåâûå óñëîâèÿ, ïîëó÷èì íåîäíîðîäíóþ êðàåâóþ çàäà÷ó äëÿ LD . Ó÷èòûâàÿîäíîðîäíûå êðàåâûå óñëîâèÿ íà âõîäÿùåå â ñðåäó èçëó÷åíèå, ïîñòàâëåííûå âèñõîäíîé çàäà÷å, â çàäà÷å äëÿ LD ïîòðåáóåì óäîâëåòâîðåíèÿ êðàåâûì óñëîâèÿìLD = −L1 − L2(2.252)ïðè x = 0 , µx > 0 è x = X , µx < 0 íà áëèæíåé è äàëüíåé îò èñòî÷íèêà ãðàíèöàõ, ñîîòâåòñòâåííî. Íàéòè ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è óäîáíî ìåòîäîì äèñêðåòíûõ îðäèíàò, èñïîëüçóÿ êâàäðàòóðíóþ ôîðìóëó (2.225) è ìàòðèöó ðàññåÿíèÿ(2.226). Ïåðåõîäÿ â óðàâíåíèè äëÿ LD è ãðàíè÷íûõ óñëîâèÿõ îò óãëîâûõ ãàðìîíèê ê äèñêðåòíûì îðäèíàòàì ïðè ïîìîùè ñîîòâåòñòâóþùèõ ìàòðèö ïåðåõîäà,ïîëó÷èì çàäà÷ó â äèñêðåòíûõ îðäèíàòàõ, ðåøåíèåì êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ íåèçâåñòíàÿ ãëàäêàÿ ÷àñòü ïîëÿ èçëó÷åíèÿ â ñðåäå.
Åãî ìîæíî íàéòè ñ ïîìîùüþêàêîé-ëèáî ðàçíîñòíîé ñõåìû [87]. Íàéäåííûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèé ôàêòè÷åñêèÿâëÿþòñÿ ñïåêòðàëüíûìè êîìïîíåíòàìè èíòåãðàëîâ Ôóðüå òèïà ñîäåðæàùèåñîîòâåòñòâóþùèé âîëíîâîé ìàñøòàá ky â êà÷åñòâå ïàðàìåòðà. Îáðàòíûì ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå âîññòàíîâèì óãëîâîå ðàñïðåäåëåíèå ÿðêîñòè âî âñåõ òî÷êàõïðîñòðàíñòâà.1260.30.250.20.150.10.05Ðèñ. 2.42: Óãëîâûå ðàñïðåäåëåíèÿ âûõîäÿùåãî èçëó÷åíèÿ L2 + LD . Λ = 0.99,g = 0.9, X = 1, x = 0. y = 0 (ñïëîøíàÿ êðèâàÿ), y = 0.05 (ïóíêòèðíàÿ êðèâàÿ).0.040.030.020.01Ðèñ. 2.43: Óãëîâûå ðàñïðåäåëåíèÿ âûõîäÿùåãî èçëó÷åíèÿ L2 + LD .
Λ = 0.99,g = 0.9, X = 1, x = 0. y = 0.75 (ñïëîøíàÿ êðèâàÿ), y = 1.5 (ïóíêòèðíàÿêðèâàÿ).Óãëîâûå ðàñïðåäåëåíèÿ ÿðêîñòè L2 + LD íà áëèæíåé ê èñòî÷íèêó ïîâåðõíîñòè ñëîÿ â çàâèñèìîñòè îò ðàññòîÿíèÿ äî èñòî÷íèêà ïîêàçàíû íà ðèñ. 2.42-2.43. òî÷êå ðàñïîëîæåíèÿ èñòî÷íèêà, ðàññåÿííîå ïîëå ñèíãóëÿðíî, òàê ÷òî ïðèâåäåííîå íà ðèñ. 2.42 ñîîòâåòñòâóþùåå ðàñïðåäåëåíèå ñëåäóåò ïîíèìàòü êàêóñðåäíåííîå ïî íåêîòîðîé êîíå÷íîé àïåðòóðå (æèðíàÿ êðèâàÿ). Îñòàëüíûå ðàñïðåäåëåíèÿ, ïîêàçàííûå íà ðèñ.
2.42-2.43, ÿâëÿþòñÿ ðåãóëÿðíûìè.2.6 Çàäà÷è äëÿ ïðîèçâîëüíîé ãåîìåòðèè îáëàñòèðàññåèâàþùåé ñðåäû. ñëó÷àå ïðîèçâîëüíîé ãåîìåòðèè ñðåäû èçëîæåííûé ïîäõîä òàêæå ìîæåò áûòüïðèìåíåí äëÿ ðåãóëÿðèçàöèè îñîáåííîñòåé è àíèçîòðîïèè ðåøåíèÿ.127Ôàêòè÷åñêè ïðåîáðàçîâàíèå µz µ−z ñæèìàåò îáëàñòü íà ñôåðå íàïðàâëåíèé,ò.å. îòîáðàæàåò ñôåðó íàïðàâëåíèé âíóòðü íåêîòîðîãî êîíóñà, â ïðåäåëàõ êîòîðîãî ñîñðåäîòî÷åíû âñå õàðàêòåðèñòèêè óðàâíåíèÿ (2.6), ïðîõîäÿùèå ÷åðåçäàííóþ òî÷êó ïðîñòðàíñòâà (ðèñ. 2.44).
Âûáèðàÿ îñü z ýòîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ âíàïðàâëåíèè ïðåèìóùåñòâåííîé àíèçîòðîïèè ñâåòîâîãî ïîëÿ, ñîçäàííîãî ðàññìàòðèâàåìîé êîíôèãóðàöèåé èñòî÷íèêîâ â îáëàñòè, â êàæäîé òî÷êå ãðàíèöûîáëàñòè ìîæíî îïðåäåëèòü íà÷àëüíûå óñëîâèÿ íà õàðàêòåðèñòèêàõ óðàâíåíèÿ,âõîäÿùèõ âíóòðü îáëàñòè ñðåäû â äàííîé òî÷êå ãðàíèöû.  ñëó÷àå ñëîæíîéêîíôèãóðàöèè èñòî÷íèêîâ â íåé ìîæíî âûäåëèòü êîìïîíåíòû, ñîçäàþùèå âñðåäå àíèçîòðîïíûå ðàñïðåäåëåíèÿ èíòåíñèâíîñòè â òåõ èëè èíûõ íàïðàâëåíèÿõ. Ñîîòâåòñòâóþùèå âêëàäû â ôóíêöèþ èñòî÷íèêîâ ÓÏÈ è ãðàíè÷íûå óñëîâèÿìîæíî âûäåëèòü ïðè ïîìîùè ïîäõîäÿùåãî ðàçáèåíèÿ åäèíèöû. Äëÿ êàæäîãîèç âûäåëåííûõ òàêèì îáðàçîì âêëàäîâ ìîæíî çàïèñàòü è ðåøèòü îòäåëüíóþçàäà÷ó äëÿ óðàâíåíèÿ (2.6) c ó÷åòîì äèñïåðñèè â òðåáóåìîì ïîðÿäêå òî÷íîñòè.Ïîäîáíûì îáðàçîì ìîæíî âûäåëèòü ñèëüíî àíèçîòðîïíûå êîìïîíåíòû â ïåðâîé, âòîðîé è ò.ä.
êðàòíîñòÿõ ðàññåÿíèÿ, åñëè ýòî íåîáõîäèìî (ïîáî÷íûå ìàêñèìóìû èíäèêàòðèñû ðàññåÿíèÿ òèïà ðàäóãè è ïð., â íàïðàâëåíèÿõ, îòëè÷íûõîò íàïðàâëåíèÿ âïåðåä).конусхарактеристиксферанаправленийобласть средывходящиехарактеристикивыходящиехарактеристикиграница области средыÐèñ.
2.44:Õàðàêòåðèñòèêè óðàâíåíèÿ (2.6) â òðåõìåðíîé îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà.128Óðàâíåíèå äëÿ äèôôóçíîé ÷àñòè ðåøåíèÿ ïîëó÷àåòñÿ ïîäñòàíîâêîé â èñõîäíîå ÓÏÈ ðåøåíèÿ â âèäå ñóììû âñåõ âûäåëåííûõ íåðåãóëÿðíûõ ñëàãàåìûõè äèôôóçíîé ÷àñòè LD ïî òèïó (1.1), è ðåøåíî êàêèì-ëèáî èçâåñòíûì ñïîñîáîìáåç ïðèìåíåíèÿ ñïåöèàëüíûõ ìåð ïî áîðüáå ñ àíèçîòðîïèåé. Ãëàäêîñòü äèôôóçíîé ÷àñòè óëó÷øàåòñÿ ñ óòî÷íåíèåì ó÷åòà äèñïåðñèè â âûäåëåííûõ îñîáåííûõ÷àñòÿõ.2.7 Êîíå÷íî-ðàçíîñòíûå ñõåìû ðåøåíèÿ óðàâíåíèé ìàëîóãëîâîãî ïðèáëèæåíèÿ òåîðèè ïåðåíîñà èçëó÷åíèÿ.Ìàëîóãëîâîå ïðèáëèæåíèå (ÌÓÏ) òåîðèè ïåðåíîñà èçëó÷åíèÿ èãðàåò âàæíóþðîëü ïðè ðåøåíèè çàäà÷ äëÿ óðàâíåíèÿ ïåðåíîñà èçëó÷åíèÿ (ÓÏÈ) â ñðåäàõ ññèëüíî âûòÿíóòûìè âïåðåä èíäèêàòðèñàìè ðàññåÿíèÿ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
