Диссертация (1097736), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Ýòî ïðèáëèæåíèå ïîçâîëÿåò êàê íåïîñðåäñòâåííî ïîëó÷èòü ðàçóìíóþ àïïðîêñèìàöèþ òî÷íîãî ðåøåíèÿÓÏÈ, òàê è ïðèìåíÿòüñÿ â ñîñòàâå ñõåì ñòðîãîãî ðåøåíèÿ ÓÏÈ äëÿ ðåãóëÿðèçàöèè ÷èñëåííîé ïðîöåäóðû.Àíàëèòè÷åñêèå ðåøåíèÿ óðàâíåíèé ìàëîóãëîâîãî ïðèáëèæåíèÿ òåîðèè ïåðåíîñà èçëó÷åíèÿ, âûðàæàþùèåñÿ â êâàäðàòóðàõ, èçâåñòíû ëèøü äëÿ îãðàíè÷åííîãî ÷èñëà ñèòóàöèé. Êðîìå òîãî, òàêèå ðåøåíèÿ, êàê ïðàâèëî, ïîëó÷àþòñÿìåòîäîì õàðàêòåðèñòèê. Ïðè âíåäðåíèè òàêîé àïïðîêñèìàöèè â ÷èñëåííóþ ñõåìó ðåøåíèÿ ÓÏÈ ñ ðàçäåëåíèåì àíèçîòðîïíîé è äèôôóçíîé êîìïîíåíò, ñòðóêòóðà õàðàêòåðèñòèê ÌÓÏ â îáùåì ñëó÷àå íå ñîâïàäàåò ñî ñòðóêòóðîé ñåòêèñõåìû ðåøåíèÿ ÓÏÈ äëÿ äèôôóçíîé (ãëàäêîé) ÷àñòè ðåøåíèÿ. Ýòî ïðèâîäèò êíåîáõîäèìîñòè ïðèìåíåíèÿ èíòåðïîëÿöèîííûõ ïðîöåäóð, ñíèæàþùèõ òî÷íîñòüè óñëîæíÿþùèõ àëãîðèòì, ëèáî ê ðîñòó âû÷èñëèòåëüíûõ çàòðàò ïðè ðàñ÷åòåÌÓÏ â êàæäîì óçëå ïî îòäåëüíîé õàðàêòåðèñòèêå.
Èñêëþ÷åíèå ñîñòàâëÿåò çàäà÷à î ïàäåíèè èçëó÷åíèÿ ïëîñêîãî ìîíîíàïðàâëåííîãî (ÏÌ) èñòî÷íèêà íà ãðàíèöó ïëîñêîñëîèñòîé ðàññåèâàþùåé ñðåäû, õàðàêòåðèñòèêè ñîîòâåòñòâóþùåãîðåøåíèÿ óðàâíåíèé ÌÓÏ äëÿ êîòîðîé [19] ÿâëÿþòñÿ ïðÿìûìè ëèíèÿìè. îáùåì ñëó÷àå äâóìåðíîé è òðåõìåðíîé ñðåäû ðåøåíèå óðàâíåíèé ÌÓÏêàê ìåòîäîì õàðàêòåðèñòèê, òàê è ÷èñëåííî ìåòîäîì ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ129îêàçûâàåòñÿ íåâîçìîæíûì.  ýòîì ñëó÷àå öåëåñîîáðàçíî íåïîñðåäñòâåííîå ÷èñëåííîå èíòåãðèðîâàíèå óðàâíåíèé ÌÓÏ ñ ïîìîùüþ ðàçíîñòíîé ñõåìû.Ðàññìîòðèì êðàåâóþ çàäà÷ó äëÿ óðàâíåíèÿ ïåðåíîñà èçëó÷åíèÿ â ïëîñêîìñëîå ðàññåèâàþùåé ñðåäû 0 < z < τ0 ñ ãðàíèöåé, îñâåùåííîé íîðìàëüíî ïàäàþùèì èçëó÷åíèåì ïëîñêîãî ìîíîíàïðàâëåííîãî èñòî÷íèêà ñ ïðîèçâîëüíûìðàñïðåäåëåíèåì èíòåíñèâíîñòè âäîëü ãðàíèöû.
Óãëîâîå ðàñïðåäåëåíèå ÿðêîñòèâ ñðåäå L óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ ïåðåíîñà èçëó÷åíèÿΛε(Ω · ∇)L = −εL +4πIL(r, Ω′ )x(Ω, Ω′ )dΩ′ + f (r, Ω)(2.253)âìåñòå ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè{L=0, z = 00, z = τ0µz > 0µz < 0 .(2.254)Çäåñü Ω = (µx , µy , µz ) åäèíè÷íûé âåêòîð íàïðàâëåíèÿ, r = (x, y, z), µz = cos θ,µx = sin θ cos ϕ, µy = sin θ sin ϕ, x(Ω, Ω′ ) èíäèêàòðèñà ðàññåÿíèÿ, L(r, Ω) óãëîâîå ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè èçëó÷åíèÿ,∫Λf (r, Ω) =L0 x(Ω, Ω′ )dΩ′(2.255)4π ôóíêöèÿ èñòî÷íèêîâ,L0 = Lx (x)δ(Ω) exp(−z)(2.256) ïàäàþùåå èçëó÷åíèå ÏÌ èñòî÷íèêà, Lx (x) ïðîèçâîëüíàÿ çàâèñèìîñòü èíòåíñèâíîñòè ïàäàþùåãî èçëó÷åíèÿ îò ïîïåðå÷íîé êîîðäèíàòû âäîëü ãðàíèöûñëîÿ.
Ñëåäóÿ îáùåé èäåå âûäåëåíèÿ íåðåãóëÿðíîé êîìïîíåíòû, ðàçäåëèì ðåøåíèå íà àíèçîòðîïíóþ è äèôôóçíóþ ÷àñòèL = La + LD .(2.257)Äëÿ ìàëîóãëîâîé ÷àñòè çàïèøåì óðàâíåíèå ìàëîóãëîâîãî ïðèáëèæåíèÿ ñ ó÷åòîì äèñïåðñèè (2.56)∂∂−− ΛLa + µ−L=−µµL+µaxazzz∂z∂x4πILa (r, Ω′ )x(Ω, Ω′ )dΩ′ + µ−z f (r) , (2.258)−1ãäå µ−z òåéëîðîâñêàÿ àïïðîêñèìàöèÿ âåëè÷èíû µz çàäàííîé ñòåïåíè âáëè-çè íàïðàâëåíèÿ ïàäåíèÿ èçëó÷åíèÿ èñòî÷íèêà µ0 [54]. Ó÷åòó äèñïåðñèè äëèí130ïóòåé ðàñïðîñòðàíåíèÿ â ïåðâîì ïîðÿäêå ïî µz ïðè íîðìàëüíîì ïàäåíèè èçëó÷åíèÿ èñòî÷íèêà ñîîòâåòñòâóåò àïïðîêñèìàöèÿ µ−z = 2 − µz . Ïîòðåáóåì äëÿàíèçîòðîïíîé ÷àñòè ðåøåíèÿ La âûïîëíåíèÿ íà÷àëüíîãî óñëîâèÿ íà ïåðåäíåéãðàíèöå ïëîñêîñëîèñòîé ñðåäûLa (z = 0) = 0 .(2.259)Òîãäà, ïîäñòàâëÿÿ ïîëíîå ðåøåíèå çàäà÷è â ôîðìå (2.257) â (2.253),2.254, äëÿäèôôóçíîé êîìïîíåíòû ðåøåíèÿ LD ïîëó÷èì êðàåâóþ çàäà÷ó â âèäå óðàâíåíèÿ(2.253) ñ ôóíêöèåé èñòî÷íèêîâfD =(µz µ−z −1)(µx∂ΛLa +La )+(1−µz µ−z)∂x4πè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìèLD ={0, z = 0−La , z = τ0ILa (r, Ω′ )x(Ω, Ω′ )dΩ′ +(1−µz µ−z )f .(2.260)µz > 0µz < 0 .(2.261)Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî ñóììà ãëàäêîé è àíèçîòðîïíîé ÷àñòåé (2.257),óäîâëåòâîðÿþùèõ ñôîðìóëèðîâàííûì çäåñü äëÿ íèõ óðàâíåíèÿì è ãðàíè÷íûìóñëîâèÿì, ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì èñõîäíîé êðàåâîé çàäà÷è (2.253),(2.254).
Ïðè ýòîì,ôóíêöèÿ èñòî÷íèêîâ (2.260) áëàãîäàðÿ ïðèñóòñòâèþ â íåé ìíîæèòåëåé âèäà(µz µ−z −1) ïðè ìàëûõ óãëàõ ðàñïðîñòðàíåíèÿ èçëó÷åíèÿ θ ñòðåìèòñÿ ê íóëþ êàêñòåïåíü âåëè÷èíû 1 − µz , ñîîòâåòñòâóþùàÿ ñòåïåíè ïðèìåíÿåìîé òåéëîðîâñêîéàïïðîêñèìàöèè µ−z . Òåì ñàìûì, èç äèôôóçíîé ÷àñòè ðåøåíèÿ LD îêàçûâàåòñÿóäàëåííîé çíà÷èòåëüíàÿ ÷àñòü ðàññåÿííîãî âïåðåä íà ìàëûå óãëû èçëó÷åíèÿ.Òàêèì îáðàçîì, LD ÿâëÿåòñÿ âåñüìà ãëàäêîé ôóíêöèåé íàïðàâëåíèÿ Ω, ÷òî ïîçâîëÿåò äëÿ åå âû÷èñëåíèÿ ïîëüçîâàòüñÿ êàêèì-ëèáî èç èçâåñòíûõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ ÓÏÈ áåç ïðèíÿòèÿ äîïîëíèòåëüíûõ ìåð ê ðåãóëÿðèçàöèè àíèçîòðîïèè.Âûäåëåíèå àíèçîòðîïíîé ÷àñòè ðåøåíèÿ La â âèäå èçâåñòíûõ ðåøåíèé ÓÏÈ âìàëîóãëîâîì ïðèáëèæåíèè áåç ó÷åòà äèñïåðñèè èëè ñ ãðóáûì åå ó÷åòîì ÷àñòîíå îáåñïå÷èâàåò òðåáóåìîé ìàëîñòè ôóíêöèè èñòî÷íèêîâ fD ïðè ìàëûõ óãëàõ èñîîòâåòñòâåííî äîñòàòî÷íîé ðåãóëÿðèçàöèè àíèçîòðîïèè.
Ïðåèìóùåñòâî ïðåäëàãàåìîãî çäåñü ïîäõîäà çàêëþ÷àåòñÿ â âûñîêîé òî÷íîñòè ó÷åòà äèñïåðñèè äëèíïóòåé ðàñïðîñòðàíåíèÿ èçëó÷åíèÿ ïðè ìàëûõ óãëàõ. Êðàåâàÿ çàäà÷à äëÿ àíèçîòðîïíîé ÷àñòè ðåøåíèÿ La (2.56), (2.259) ìîæåò áûòü ðåøåíà ïðè ïîìîùèñïåöèàëüíîé ðàçíîñòíîé ñõåìû.131Ðàññìîòðèì ýòàëîííóþ çàäà÷ó î ïîëå èçëó÷åíèÿ â ìóòíîé ñðåäå âáëèçè ðåçêîé ãðàíèöû ñâåòà è òåíè. Ïóñòü ïëîñêèé ìîíîíàïðàâëåííûé èñòî÷íèê ñ íîðìàëüíûì ïàäåíèåì íà ãðàíèöó ïëîñêîñëîèñòîé ñðåäû îñâåùàåò åå ïîëîæèòåëüíóþ ïîëóïëîñêîñòü{Lx =1, x > 00, x < 0 .(2.262)Ïîñêîëüêó ñåòêà óçëîâ ðàçíîñòíîé ñõåìû âîçìîæíà â îáëàñòè êîíå÷íîãî ðàçìåðà, íà ïðàêòèêå ýòó îáëàñòü ïëîñêîñëîèñòîé ñðåäû ìîæíî îãðàíè÷èòü âåðòèêàëüíûìè áîêîâûìè ãðàíèöàìè, äîñòàòî÷íî óäàëåííûìè îò îáëàñòè ñóùåñòâåííîé íåîäíîðîäíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ïîëÿ â ñðåäå.
Íà äîñòàòî÷íîì óäàëåíèè îòýòîé îáëàñòè ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ðåøåíèå ìàëî îòëè÷àåòñÿ îò ðåøåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåé îäíîìåðíîé ïëîñêîñëîèñòîé çàäà÷è, è íà áîêîâûõ ãðàíèöàõ ïîëîæèòüðåøåíèå ðàâíûì ðåøåíèþ ñîîòâåòñòâóþùåé îäíîìåðíîé çàäà÷è äëÿ óðàâíåíèÿ∂− ΛLa = −µ−z La + µz∂z4πILa (r, Ω′ )x(Ω, Ω′ )dΩ′ + µ−z f (r)(2.263)ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì (2.259).  ñëó÷àå ðàñïðåäåëåíèÿ èñòî÷íèêîâ (2.262) íàãðàíèöå â îáëàñòè òåíè x < 0 ïðàêòè÷åñêè ðåøåíèå ìîæíî ïîëîæèòü ðàâíûìíóëþ (La = 0).Óðàâíåíèå (2.56) íà ïðàêòèêå öåëåñîîáðàçíî ðåøàòü â ïðåäñòàâëåíèè ñôåðè÷åñêèõ ãàðìîíèê (ÑÃ). Èñêîìîå ðåøåíèå è èíäèêàòðèñà ðàññåÿíèÿ çàïèñûâàþòñÿ â âèäå ðàçëîæåíèé â ðÿäû ïî ñôåðè÷åñêèì ãàðìîíèêàì Ynm (θ, ϕ) (2.7),(2.8)L=∞ ∑n∑cnm Ynm (θ, ϕ) ,(2.264)xn Ynm (θ, ϕ)Ynm (θ′ , ϕ′ ) ,(2.265)n=0 m=−n′x(Ω, Ω ) = 4π∞ ∑n∑n=0 m=−nñîîòâåòñòâåííî.
Ïðè ýòîì âõîäÿùèå â óðàâíåíèå (2.56) âåëè÷èíû µ−z ,µz , µx èèíäèêàòðèñà ðàññåÿíèÿ x ïðåäñòàâëÿþòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèìè ìàòðèöàìè. Ñèñòåìà äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé äëÿ íåèçâåñòíûõ êîýôôèöèåíòîâ ðàçëîæåíèÿ (2.7) â ìàòðè÷íîé çàïèñè ïðèíèìàåò âèä∂ ⃗∂ ⃗−−⃗⃗⃗C1 + µ̂−C1 = −µ̂−z µ̂xz C1 + µ̂z Λx̂C1 + µ̂z Λx̂f ,∂z∂xãäå C1 âåêòîð-ñòîëáåö êîýôôèöèåíòîâ cnm .132(2.266)Óðàâíåíèå (2.266) íà äèñêðåòíîé ñåòêå óçëîâ ìîæåò áûòü ðåøåíà, íàïðèìåð, ñ ïîìîùüþ ðàçíîñòíîé ñõåìû Ôðèäðèõñà [87].
Îäíàêî, ïðèìåíåíåííàÿ âýòîé ñõåìå àïïðîêñèìàöèÿ ðåøåíèÿ íà ïðåäûäóùåì øàãå â âèäå ïîëóñóììûçíà÷åíèé ðåøåíèÿ â ñîñåäíèõ óçëàõ ïëîõî àïïðîêñèìèðóåò ðåøåíèå íà ðàçðûâàõ, òèïè÷íûõ äëÿ çàäà÷ òåîðèè ïåðåíîñà ñ ðåçêèìè ãðàíèöàìè îñâåùåííûõ èòåíåâûõ îáëàñòåé. Ïî ýòîé ïðè÷èíå ðàçíîñòíóþ ñõåìó Ôðèäðèõñà öåëåñîîáðàçíî ìîäèôèöèðîâàòü.
Àïïðîêñèìèðóåì óðàâíåíèå (2.266) êîíå÷íî-ðàçíîñòíûìèñîîòíîøåíèÿìè ñëåäóþùèì îáðàçîì:Lnj+1 + Lnj−1Lnj+1 − Lnj−1nn−dz+µ̂z Lnj dz+µ̂−+B̂Lj ) = −µ̂z µ̂x α−2Ln+1z Λx̂Lj dz+µj22(2.267)nãäå Lj çíà÷åíèå âåêòîðà êîýôôèöèåíòîâ ðàçëîæåíèÿ C1 â (j, n)-òîì óçëå ðàçíîñòíîé ñõåìû, dz - øàã ðàçíîñòíîé ñõåìû âäîëü îñè z , α = dx/dz îòíîøåíèåøàãîâ ðàçíîñòíîé ñõåìû. Çäåñü â ÿâíîì âèäå ïðèìåíåíà òåéëîðîâñêàÿ àïïðîêñèìàöèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà µ−z = 2 − µz .
Âõîäÿùèå â (2.267) íåîïðåäåëåííûå ïîêàêîýôôèöèåíòû  è B̂ ïðåäîñòàâëÿþò âîçìîæíîñòü àäàïòàöèè çàïèñàííîé çäåñüðàçíîñòíîé ñõåìû äëÿ êîíêðåòíîé çàäà÷è.  ÷àñòíîñòè, âûáîð çíà÷åíèé  = 1,B̂ = 0 ñîîòâåòñòâóåò ÿâíîé ñõåìå Ôðèäðèõñà [87].Àïïðîêñèìàöèþ ðåøåíèÿ íà ïðåäûäóùåì øàãå â êðóãëûõ ñêîáêàõ â ëåâîé÷àñòè óðàâíåíèÿ (2.267) âûáåðåì òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû îáåñïå÷èòü õîðîøååïðèáëèæåíèå ðàçðûâíîãî ðåøåíèÿ âáëèçè ãðàíèö ñâåòà è òåíè ïðè ñîõðàíåíèèîáùåé óñòîé÷èâîñòè ñõåìû. Äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé çäåñü êîíôèãóðàöèè èñòî÷íèêîâ (2.262) ïðèìåì = µ̂2x ,(2.268)−(ÂLn+1jB̂ = 1 − µ̂2x .133(2.269)n+1ndzj-1jj+1dxÐèñ. 2.45: Øàáëîí ðàçíîñòíîé ñõåìû (2.267).Ïðîàíàëèçèðóåì óñòîé÷èâîñòü ðàçíîñòíîé ñõåìû (2.267).
Çàïèøåì ïðèáëèæåííîå ÷èñëåííîå ðåøåíèå â âèäå ðÿäà ÔóðüåLj =∑L̃k exp(ikj∆x) .(2.270)kÃëàâíàÿ (íå çàâèñÿùàÿ îò øàãà ∆z ) ÷àñòü ìàòðèöû ïåðåõîäà ðàçíîñòíîé ñõåìûäëÿ k − é ãàðìîíèêè ðàâíàĜ =  cos k∆x + B̂ − iαµ̂−z µ̂x sin k∆x .(2.271)Âõîäÿùèå â âûðàæåíèå (2.271) âåëè÷èíû ÿâëÿþòñÿ ñêàëÿðàìè, ëèáî îïåðàòîðàìè ìàòðè÷íîãî ïðåäñòàâëåíèÿ óìíîæåíèÿ íà âåùåñòâåííûå ñêàëÿðíûå ôóíêöèèïîëÿðíîãî óãëà íàïðàâëåíèÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ θ. Ñëåäîâàòåëüíî, âñå ýòè ìàòðèöû êîììóòèðóþò ìåæäó ñîáîé, è ìàòðèöà ïåðåõîäà G, òàêèì îáðàçîì, íîðìàëüíà (GG∗ − G∗ G = 0). Òåì ñàìûì, ïîëó÷àåì îöåíêó ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé134ìàòðèöû G è åå íîðìû [87]2∥G∥ ≤ (A cos k∆x + B)2 + (αµ−z µx sin k∆x) ,(2.272)ãäå âõîäÿùèå â (2.271) ìàòðèöû çàìåíåíû ñîîòâåòñòâóþùèìè ñêàëÿðíûìè ôóíêöèÿìè µz .
Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ äîñòàòî÷íî ìàëûõ α ïðàâàÿ ÷àñòü (2.272)ïî ìîäóëþ íå ïðåâûøàåò åäèíèöû, ñëåäîâàòåëüíî ðàçíîñòíàÿ ñõåìà óñòîé÷èâà ñîãëàñíî êðèòåðèþ ôîí Íåéìàíà [87]. Ãðàôèê ýòîé ôóíêöèè äëÿ α = 0.25ïðèâåäåí íà ðèñ. 2.7.10.75ÈGÈ0.50.250010.50Μz2-0.5kDx46-1Ðèñ. 2.46: ×èñëåííàÿ îöåíêà íîðìû ìàòðèöû ïåðåõîäà ðàçíîñòíîé ñõåìû (2.272)ïðè α = 0.25.135Ðèñ. 2.47: ×èñëåííûé ðàñ÷åò ñâåòîâîãî ïîëÿ â ìóòíîé ñðåäå âáëèçè ãðàíèöûñâåòà è òåíè. Óãëîâîå ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè âûõîäÿùåãî èçëó÷åíèÿ.τz = 1.0, τx = −0.5 .
. . 0.5. Èíäèêàòðèñà Õåíüè-Ãðèíñòåéíà, g = 0.5, Λ = 1.510t15-61-72-834-956-10ln∆-11Ðèñ. 2.48:×èñëåííûå îöåíêè ïîãðåøíîñòè ðåøåíèÿ êîíå÷íî-ðàçíîñòíûì ìåòîäîì â çàâè-ñèìîñòè îò òî÷íîñòè ó÷åòà äèñïåðñèè äëèí ïóòåé ðàñïðîñòðàíåíèÿ ðàññåÿííîãî èçëó÷åíèÿ.Ñ öåëüþ îöåíêè ïðàêòè÷åñêîãî óëó÷øåíèÿ òî÷íîñòè è ñõîäèìîñòè ðàçíîñòíûõ ñõåì äëÿ ïîëíîãî ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ ÓÏÈ ñ ïîìîùüþ ïðåäëàãàåìîãî ïîäõîäà ïðîâîäèëèñü òåñòîâûå ðàñ÷åòû ýòàëîííîé êðàåâîé çàäà÷è ÓÏÈ äëÿ íîðìàëüíîãî ïàäåíèÿ êîëëèìèðîâàííîãî èçëó÷åíèÿ ïëîñêîãî ìîíîíàïðàâëåííîãî(ÏÌ) èñòî÷íèêà íà îäíîðîäíûé ïëîñêîïàðàëëåëüíûé ñëîé ñðåäû [204].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
