Диссертация (1097736), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Ñîîòâåòñòâóþùèå íåîäíîðîäíûå óðàâíåíèÿ äëÿ ëàïëàñîâñêèõ îáðàçîâ äèôôóçíûõ ïîòîêîâèçëó÷åíèÿ I ±∂(1 + s) I˜+ (s, τ ) + I˜+ (s, τ ) = λ I˜− (s, τ ) + λ I˜0− (s, τ ) ,∂τ(3.41)∂(1 + s) I˜− (s, τ ) − I˜− (s, τ ) = λ I˜+ (s, τ ) + λ I˜0+ (s, τ ) ,∂τñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè(3.42)I˜− (s, τ0 ) = R2 I˜+ (s, τ0 ) ,(3.43)I˜+ (s, 0) = R1 I˜− (s, 0) .(3.44)Ëàïëàñîâñêèå îáðàçû (3.39) è (3.40) åñòüI˜0+ (s, τ ) =T1 e− σ τ,1 − R1 R2 e −2 σ τ0R2 T1 e σ (τ −τ0 ),1 − R1 R2 e−2 σ τ0ãäå σ = 1 + s.
Ðåøåíèå ýòèõ óðàâíåíèé íà âíåøíåé ãðàíèöåI˜0− (s, τ ) =I˜− (s, 0) =156(3.45)(3.46)ImReÐèñ. 3.4: Ïîëþñà âûðàæåíèÿ (3.47).()(()())eσ τ0 1 + eQ τ0 T1 1 + eQ τ0 (−1 + eσ τ0 ) Q R2 + −1 + eQ τ0 (eσ τ0 (−R2 σ + λ) − R2 σ + R22 λ).(e2 σ τ0 − R1 R2 ) (− ((1 + e2 Q τ0 ) Q (−1 + R1 R2 )) + (−1 + e2 Q τ0 ) (σ + R1 R2 σ − (R1 + R2 ) λ))(3.47)Ïîëþñà ýòîãî ðåøåíèÿ ïîêàçàíû íà ðèñ. 3.4. Íà áîëüøèõ âðåìåíàõ θ > 2τ0 ,àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå I − (θ, 0) îïðåäåëÿåòñÿ ñàìûì ïðàâûì ïîëþñîì (3.47)â êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè, êîòîðûé ëåæèò íà äåéñòâèòåëüíîé îñè è ìîæåò áûòüíàéäåí ÷èñëåííî. Åñëè τ0 äîñòàòî÷íî âåëèêî, ðåøåíèå íà áîëüøèõ âðåìåíàõñòðåìèòñÿ ê ðåøåíèþ äëÿ ïîëóáåñêîíå÷íîé ñðåäû (3.27).Óðàâíåíèÿ (3.41-3.42) òàêæå ìîãóò áûòü ïðèìåíåíû ê ïîëóáåñêîíå÷íîé ñðåäå ñ îòðàæàþùåé ãðàíèöåé.
Ëàïëàñîâñêèé îáðàç íåðàññåÿííîãî â ñðåäå èìïóëüñà èçëó÷åíèÿ I0+ (θ, τ ) = (1 − R1 ) e−τ δ(θ − τ ) isI˜0+ (s, τ ) = (1 − R1 ) e− στ ,(3.48)ïðè÷åì I˜0− (s, τ ) = 0. Ñîîòâåòñòâóþùåå ðåøåíèå ýòèõ óðàâíåíèé, óäîâëåòâîðÿþùåå (3.44) íà ïîâåðõíîñòè è îãðàíè÷åííîå íà áåñêîíå÷íîñòè, (3.15), çàïèñûâàåòñÿ â âèäå(1 − R1 )2 λ−˜I (s, 0) =.σ − R1 λ + Q(3.49)Âûðàæåíèå (3.49) èìååò åäèíñòâåííûé ïîëþñ s = (−2 R1 + (1 + R1 2 ) λ)/(2 R1 ),ëåæàùèé íà âåòâè Q < 0, êîòîðóþ ìû íå ðàññìàòðèâàåì. Òàêèì îáðàçîì, îñíîâíîé âêëàä â èíòåãðàë (3.25) âíîñèò ïðàâûé êîíåö ðàçðåçà (ðèñ. 3.2).
Ìîæíîïîêàçàòü, ÷òî íà áîëüøèõ âðåìåíàõ ðåøåíèå èìååò àñèìïòîòèêó (3.27), íå çàâèñÿùóþ îò êîýôôèöèåíòà îòðàæåíèÿ ãðàíèöû R1 .1573.3.4Ñëîé íà ïîëóáåñêîíå÷íîé ñðåäå îáùåì ñëó÷àå ïðîèçâîëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïàðàìåòðîâ ñðåäû λ(τ ), κ(τ ) , èc(τ ) ïî òîëùèíå ñëîÿ óðàâíåíèÿ ïåðåíîñà èçëó÷åíèÿ òðåáóåòñÿ ðåøàòü ÷èñëåííî. Îäíàêî, â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ íà îñíîâå àïðèîðíîé èíôîðìàöèè î ñòðîåíèèñðåäû [217] ìîæíî ïðèíÿòü ìîäåëü êóñî÷íî-ïîñòîÿííûõ ïàðàìåòðîâ. Ðàññìîòðèì ïðîñòåéøóþ ìîäåëü ñðåäû òàêîãî òèïà. Ðàññìîòðèì ñëîé ñðåäû, ëåæàùèéíà ïîëóïðîñòðàíñòâå.
Ïàðàìåòðû îáåèõ ñðåä áóäåì îáîçíà÷àòü ðèìñêèìè öèôðàìè 'I' è 'II' λI,II , κI,II , è cI,II äëÿ ñëîÿ è ïîëóïðîñòðàíñòâà, ñîîòâåòñòâåííî. Âíàøåé óïðîùåííîé ìîäåëè ïðèìåì κI = κII = κ è cI = cII = c.  ýòîì ñëó÷àåθI = θII = θ. Ïóñòü îïòè÷åñêàÿ òîëùèíà ñëîÿ ðàâíà τ0 . Èíòåíñèâíîñòè ïîòîêîâ±II,II(θ, τ ) â îáåèõ ñðåäàõ óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèÿì (3.12,3.13) ñ ïàðàìåòðàìè λ = λI è λ = λII , ñîîòâåòñòâåííî. Íà ïîâåðõíîñòè II+ (θ, τ ) óäîâëåòâîðÿþò±ãðàíè÷íîìó óñëîâèþ (3.16). Íà áåñêîíå÷íîé ãëóáèíå ñðåäû III(θ, τ ) îãðàíè÷åíû. Íà ãðàíèöàõ äâóõ ñðåä I è II äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèå íåïðåðûâíîñòèïîòîêîâ èçëó÷åíèÿ±II± (θ, τ0 ) = III(θ, τ0 ).(3.50)Âñå èíòåíñèâíîñòè ïîòîêîâ â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè ðàâíû íóëþ (3.14).Ïðèìåíÿÿ ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà êî âñåì óêàçàííûì óðàâíåíèÿì, ïîëó÷èìñèñòåìó îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé äëÿ ÷åòûðåõ ïîòîêîâ±I˜I,II(s, τ ).
Èíòåðåñóþùåå íàñ ðåøåíèå äëÿ îòðàæåííîãî èçëó÷åíèÿ èìååò âèäI˜I− (θ, 0) =(3.51)(()()) ()()QII −1 + e2 QI τ0 σ (λI − λII ) + 1 + e2 QI τ0 QI λII + −1 + e2 QI τ0 λI σ 2 − λII 2()() ,(1 + e2 QI τ0 ) QI QII σ + σ 2 − λII 2 + (−1 + e2 QI τ0 ) σ 3 − σ λII 2 + QII (σ 2 − λI λII )√√ãäå σ = 1 + s, QI = σ 2 − λI 2 , è QII = σ 2 − λII 2 . Ìû âèäåëè, ÷òî äëÿ áåñêîíå÷íûõ ñðåä àñèìïòîòèêè ðåøåíèé îïðåäåëÿþòñÿ òî÷êàìè âåòâëåíèÿ I − (s, τ ), âòî âðåìÿ êàê äëÿ ñëîåâ êîíå÷íîé òîëùèíû ýòè àñèìïòîòèêè îïðåäåëÿþòñÿ åãîïîëþñàìè.
Ðåøåíèå (3.51) íå çàâèñèò îò âûáîðà çíàêà âåòâè QI → (−QI ), íîèìååò òî÷êè âåòâëåíèÿ s = −1 ± λII ñîîòâåòñòâóþùèå òî÷êàì âåòâëåíèÿ QII .Ðàçðåç ïðîâîäèòñÿ ìåæäó ýòèìè äâóìÿ òî÷êàìè.Ôèçè÷åñêè ýòî çíà÷èò, ÷òî íà áîëüøèõ ïî ñðàâíåíèþ ñ âðåìåíåì ïðîõîæäåíèÿ ñëîÿ âðåìåíàõ ñïàä âûõîäÿùåãî èçëó÷åíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ åãî ðàñïðîñòðàíå158íèåì â ïîëóáåñêîíå÷íîé ïîäëîæêå. Òàêèì îáðàçîì, ïîëþñà ïðàâåå òî÷êè âåòâëåíèÿ s = −1 + λII äîëæíû îòñóòñòâîâàòü, â ÷åì íåòðóäíî óáåäèòüñÿ ÷èñëåííûìðàñ÷åòîì.
Èíòåãðèðîâàíèåì ïî êîíòóðó âîêðóã ðàçðåçà 3.2, ïîëó÷àåòñÿ àñèìïòîòè÷åñêèé âêëàä òî÷êè âåòâëåíèÿ s = −1 + λII íà áîëüøèõ âðåìåíàõ θ:κ c θ− 2 e (−1+λII ) θ (λI + λII ),(λI + λII cosh(2 τ0 Λ) + Λ sinh(2 τ0 Λ))3II− (θ, 0) = √√2 πλII(3.52)−λI 2 + λII 2 . Íà âðåìåíàõ, íå ïðåâûøàþùèõ θ < 2τ0 , ðåøåíèå ïðèáëèæàåòñÿ ê àñèìïòîòè÷åñêîìó ðåøåíèþ äëÿ ïîëóáåñêîíå÷íîé ñðåäû òèïà I.ãäå Λ =3.4 Ìîäåëü ðàäèàöèîííîãî ïåðåíîñà â äâóìåðíîé è òðåõìåðíîé ïëîñêîñëîèñòîé ñðåäå.Ðàññìîòðèì äâóìåðíóþ ïëîñêîñëîèñòóþ ìîäåëü ñðåäû, êîòîðàÿ ïðèìåíÿëàñüäëÿ èññëåäîâàíèÿ ïîäîáíûõ çàäà÷ â ñåéñìîëîãèè [245].
Íåñòàöèîíàðíîå óðàâíåíèå ïåðåíîñà èçëó÷åíèÿ çàïèñûâàåòñÿ â âèäå [246]:1 ∂I ∂I+= j − κI ,c ∂t ∂s(3.53)ãäå c ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëí â ñðåäå, I = I(r, ϕ) óãëîâîå ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè èçëó÷åíèÿ, t âðåìÿ, s ðàññòîÿíèå âäîëü òðàåêòîðèèðàñïðîñòðàíåíèÿ èçëó÷åíèÿ, κ îáúåìíûé êîýôôèöèåíò îñëàáëåíèÿ, j èíòåãðàë ðàññåÿíèÿ, â ñëó÷àå äâóìåðíîé ñðåäû ðàâíûé1j(ϕ) =2π∫πI(ϕ′ ) g(ϕ, ϕ′ )dϕ′ .(3.54)−πÑðåäà ðàññìàòðèâàåìîãî òèïà õàðàêòåðèçóåòñÿ èíäèêàòðèñîé ðàññåÿíèÿ ñïåöèàëüíîãî âèäàg(ϕ, ϕ′ ) ∝ λ(ϕ)δ(π − ϕ − ϕ′ ) ,(3.55)ïîñêîëüêó åäèíñòâåííûì ïðîöåññîì ðàññåÿíèÿ â ñðåäå ÿâëÿåòñÿ çåðêàëüíîå îòðàæåíèå îò ïëîñêîïàðàëëåëüíûõ ñëîåâ. Òàêèì îáðàçîì, ïðè ðàçäåëåíèè ïåðåìåííûõ ïðîáëåìà ñâîäèòñÿ ê ê íåçàâèñèìîìó ðåøåíèþ îäíîìåðíûõ óðàâíåíèéïåðåíîñà â äâóïîòîêîâîì ïðèáëèæåíèè I(π ± ϕ) ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðàðàçäåëåíèÿ (óãëà ϕ) [241], êàê ïîêàçàíî äàëåå.159(1)(2)Y(3)XφZÐèñ.
3.5: Ðàçëè÷íûå ñõåìû ýêñïåðèìåíòà ïî ãëóáèííîé ðàäèîëîêàöèè ñëîèñòûõïîëÿðíûõ ëüäîâ: (1) îðáèòàëüíàÿ ëîêàöèÿ, (2) îäíîïîçèöèîííàÿ ëîêàöèÿ,(3) äâóõïîçèöèîííàÿ ëîêàöèÿ160 áåçðàçìåðíûõ ïåðåìåííûõ, óðàâíåíèÿ äâóõïîòîêîâîãî ïðèáëèæåíèÿ çàïèñûâàþòñÿ â âèäå∂I +∂I +∂I ++ cos ϕ+ sin ϕ= −I + + λI − ,∂θ∂τ∂χ(3.56)∂I −∂I −∂I −− cos ϕ+ sin ϕ= −I − + λI + ,(3.57)∂θ∂τ∂χãäå dτ = κdz îïòè÷åñêàÿ òîëùèíà â íàïðàâëåíèè z , dχ = κdx îïòè÷åñêàÿòîëùèíà â íàïðàâëåíèè x, dθ = κc dt íîðìèðîâàííîå (áåçðàçìåðíîå) âðåìÿ, z ãëóáèíà â ñðåäå, κ = κ(ϕ) îáúåìíûé êîýôôèöèåíò îñëàáëåíèÿ, λ = λ(ϕ) àëüáåäî îäíîêðàòíîãî ðàññåÿíèÿ, I + = I(ϕ) è I − = I(π − ϕ) âõîäÿùèé è èñõîäÿùèé ïîòîêè ñîîòâåòñòâåííî â ïîëîæèòåëüíîì è îòðèöàòåëüíîì íàïðàâëåíèèz , c ãðóïïîâàÿ ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû â ñðåäå, ϕ óãîë ïàäåíèÿâîëíû íà ñèñòåìó ïàðàëëåëüíûõ ñëîåâ (ñì. ðèñ 3.5)).
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïàðàìåòðû ñðåäû κ = κ(ϕ) è λ = λ(ϕ) íå çàâèñÿò îò êîîðäèíàò â ïðîñòðàíñòâåè ÿâëÿþòñÿ òîëüêî ôóíêöèÿìè óãëà ϕ. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëüíîé èíòåíñèâíîñòè èçëó÷åíèÿ â ñðåäå íåîáõîäèìî ïðîèíòåãðèðîâàòü óãëîâîå ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè I ± ïî âñåì óãëàì ϕ.  ÷àñòíîñòè, ïîëíàÿ èíòåíñèâíîñòüèñõîäÿùåãî èçëó÷åíèÿ, íàáëþäàåìàÿ èçîòðîïíûì ïðèåìíèêîì íà ïîâåðõíîñòè,çàïèñûâàåòñÿ â âèäå∫π/2I − (x, 0, ϕ)dϕ.(3.58)I(x, 0) =0Îïðåäåëèì íà÷àëüíûå è ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ.
Ïðè îòñóòñòâèè èçëó÷åíèÿ âñðåäå äî ïîñòóïëåíèÿ èìïóëüñà íåîáõîäèìî ïîñòàâèòü íóëåâûå íà÷àëüíûå óñëîâèÿI ± |θ=0 = 0.(3.59)Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ íà âåðõíåé ãðàíèöå ñðåäû ñîîòâåòñòâóþò èìïóëüñó èçëó÷åíèÿ òî÷å÷íîãî èñòî÷íèêà â òî÷êå (0, 0), â ìîìåíò âðåìåíè θ = θ0 .I + |τ =0 = f (ϕ)δ(χ)δ(θ − θ0 ),(3.60)ãäå f (ϕ) ñîîòâåòñòâóåò óãëîâîìó ðàñïðåäåëåíèþ èíòåíñèâíîñòè èìïóëüñíîãî èñòî÷íèêà. Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè, ýòîò ìîìåíò âðåìåíè θ0 ìîæíî ïîëîæèòü161ðàâíûì íóëþ. Íà íèæíåé ãðàíèöå òàêæå ôîðìóëèðóåòñÿ ñîîòâåòñòâóþùåå ãðàíè÷íîå óñëîâèå.
Ïðè àíàëèçå ðàäèîëîêàöèè ìàðñèàíñêèõ ïîëÿðíûõ ëüäîâ â ðàáîòàõ [145, 241] îïòè÷åñêàÿ òîëùèíà ñëîÿ ñ÷èòàëàñü äîñòàòî÷íî áîëüøîé, è áûëîïðèáëèæåííî ïðèíÿòî óñëîâèå îãðàíè÷åííîñòè ðåøåíèÿ íà áåñêîíå÷íîé ãëóáèíåz . Ëèíåéíîé çàìåíîé ïåðåìåííûõ óðàâíåíèÿ (3.56), (3.57) ìîãóò áûòü ñâåäåíûê ïàðå îäíîìåðíûõ óðàâíåíèé ïåðåíîñà∂I +∂I ++ cos ϕ= −I + + λI − ,′∂θ∂τ∂I −∂I −= −I − + λI + .− cos ϕ′∂θ∂τ′′Íîâûå ïåðåìåííûå θ , χ îïðåäåëåíû ñëåäóþùèì îáðàçîì:( ′) ()( )θ1tan ψθ=,′2χ− cos ψ sin ψ cos ψχ(3.61)(3.62)(3.63)ãäå ψ = arctan(1/ sin ϕ).  íîâûõ ïåðåìåííûõ, íà÷àëüíîå óñëîâèå ïðèíèìàåòâèäI + |τ =0 = f (ϕ)δ(−θ cos ψ sin ψ + χ cos2 ψ)δ(θ′ )(3.64)Óðàâíåíèÿ (3.61, 3.62) ñ ãðàíè÷íûì óñëîâèåì (3.64) è íóëåâûì íà÷àëüíûì óñëîâèåì ìîæíî ðåøèòü ñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà [88, 241]  ÷àñòíîìñëó÷àå íàáëþäåíèÿ ðàññåÿííîãî ïîëÿ â òî÷êå èñòî÷íèêà (0, 0) ëèøü I − (θ)|x,y,ϕ=0âíîñèò âêëàä â íàáëþäàåìûé ñèãíàë.
Èíòåãðèðîâàíèå ñ äåëüòà-ôóíêöèåé Äèðàêà δ(·) â (3.64) ïî óãëó ϕ äàåò ìíîæèòåëü θ−1 â îêîí÷àòåëüíîì ðåçóëüòàòåI − (θ)|x,y=0 = θ−1 f (0)I − (θ, 0),(3.65)ãäå I − (θ, 0) ñîîòâåòñòâóþùåå íåñòàöèîíàðíîå ðåøåíèå ñèñòåìû îäíîìåðíûõíåñòàöèîíàðíûõ óðàâíåíèé ïåðåíîñà èçëó÷åíèÿ ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè. ñëó÷àå òðåõìåðíîé ïëîñêîñëîèñòîé ñðåäû, ðåøåíèå óðàâíåíèé ïåðåíîñàèçëó÷åíèÿ àíàëîãè÷íî äâóìåðíîìó. Ââåäåì ïàðó åäèíè÷íûõ âåêòîðîâ n± òàêèõ,−+−+−÷òî n+x = nx , ny = ny , nz = −nz , ñîîòâåòñòâåííî â íàïðàâëåíèè ïàäåíèÿ èîòðàæåíèÿ ëó÷à íà ñèñòåìó ïàðàëëåëüíûõ ñëîåâ. Óðàâíåíèÿ (3.56) è (3.57) äëÿïàðöèàëüíûõ èíòåíñèâíîñòåé I ± ïîòîêîâ â íàïðàâëåíèÿõ n± , èìåþò âèä∂I ++ n+ · ∇τ I + = −I + + λI − ,∂θ162(3.66)∂I −+ n− · ∇τ I − = −I − + λI + ,∂θ±±(3.67)±∂I∂Iãäå ãðàäèåíò ∇τ I ± ≡ κ−1 { ∂I∂x , ∂y , ∂z }, òî÷êà (·) îçíà÷àåò ñêàëÿðíîå ïðîèçâå-äåíèå òðåõìåðíûõ âåêòîðîâ.
Ýòè óðàâíåíèÿ äîëæíû áûòü ðåøåíû ñîâìåñòíî ñíóëåâûìè íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè (3.59) è ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè íà ïîâåðõíîñòè ñðåäûI + |τ =0 = f (n+ )δ(χ)δ(ξ)δ(θ) ,(3.68)ãäå dξ = κdy âòîðàÿ íîðìèðîâàííàÿ ïîïåðå÷íàÿ êîîðäèíàòà â òðåõ èçìåðåíèÿõ, f (n+ ) óãëîâîå ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè èñòî÷íèêà èçëó÷åíèÿ âòî÷êå x, y, z = 0. Íà áåñêîíå÷íîé ãëóáèíå íåîáõîäèìî ïîòðåáîâàòü îãðàíè÷åííîñòè ðåøåíèÿ.  òî÷êå èñòî÷íèêà èçëó÷åíèÿ ðåøåíèå äëÿ ðàññåÿííîãî ïîëÿçàïèñûâàåòñÿ â âèäå [242]I − (θ)|x,y,z=0 = θ−2 f (n0 )I − (θ, 0),(3.69)ãäå n0 ≡ {0, 0, 1} åäèíè÷íûé âåêòîð íîðìàëè â íàïðàâëåíèè z , I − (0, t) èñêîìîå ðåøåíèå ñèñòåìû íåñòàöèîíàðíûõ óðàâíåíèé ïåðåíîñà èçëó÷åíèÿ.3.5 ×èñëåííîå ðåøåíèå óðàâíåíèé ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ â ñëîèñòûõ ñðåäàõ.3.5.1×èñëåííîå ìîäåëèðîâàíèå ðàäèîëîêàöèîííûõ ñèãíàëîâ ñ ëèíåéíîé ÷àñòîòíîé ìîäóëÿöèåé (Ë×Ì).Àìïëèòóäà ðàäèîëîêàöèîííîãî ñèãíàëà, ïðèíÿòîãî ïîñëå îòðàæåíèÿ îò ñðåäû,ïîñëå ñîãëàñîâàííîé ôèëüòðàöèè âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé∫+∞1R(ω)F0 (ω)F̃0 (ω)H(ω)e−iωt dω,f (t) =2π(3.70)−∞ãäå F0 (ω) ñïåêòð èçëó÷àåìîãî ñèãíàëà, F̃0 (ω) ôóíêöèÿ ñîãëàñîâàííîãî ôèëüòðà [247], H(ω) ñïåêòðàëüíîå îêíî [248], R(ω) êîìïëåêñíûé êîýôôèöèåíòîòðàæåíèÿ ïîâåðõíîñòè ñðåäû.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
